ユーザーブログ:Koteitan/プリッツ予想

\(\newcommand{\if}{~{\rm if}~}\) \(\newcommand{\mod}{~{\rm mod}~}\) \(\newcommand{\nat}{~{\mathbb N}~}\)

コラッツ問題に感化されて、下記の表記 \(n[N]\) で定義される自然数 \(2^{10^{100}}-1[1]\) をプリッツ数と命名します。

\begin{eqnarray} \nat \times \nat &\rightarrow& \nat\\ (n,N) &\mapsto& n[N] \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \forall n \forall N n[N]&=&\left\{\begin{array}{ll} \frac{n}{2}[10N]&\if n\equiv 0~(\mod 2)\\ f^N(2^{b(n+1)-1}n-1)[10N]&\if n\equiv 1~(\mod 2) \land n\gt 1\\ N&\if n\equiv 1 \end{array}\right. \end{eqnarray}

ここで \(f^k(n)\) は関数 \(f\) の \(n\) への \(k\) 回合成写像で、下記で定義されます。 \begin{eqnarray} \forall k \in \nat \forall n\in \nat f^k(n)&=&\left\{\begin{array}{ll} f(f^{k-1}(n)) &\if k\geq 1\\ n & \if k=0\\\end{array}\right. \end{eqnarray}

ここで \(f(n)\) は下記で定義される関数です。 \begin{eqnarray} \forall n \in \nat f(n)&=&2^{b(n+1)-1}(2n+1)-1 \end{eqnarray}

ここで \(b(n)\) は下記で定義される関数です。 \begin{eqnarray} \forall n \in \nat b(n)&=&\left\{\begin{array}{ll} b(\frac{n}{2})+1 &\if n \equiv 0 (n \mod 2)\\ 0&\if n \equiv 1 (n \mod 2) \end{array}\right. \end{eqnarray} まあいわば \(n\) を何回 2 で割り切れるか、が \(b(n)\) になるという感じです。

プリッツ数が計算可能であるかどうかという問題をプリッツ問題と名付けます。

プリッツ数が計算可能であるという主張をプリッツ予想と名付けます。