概要

EBOCFは2変数関数であるが、本表記はψ_A(B)=ψ_0(0,A,B)のような形でそれを4変数に拡張したものである。ただし、本表記はOCFでも順序数表記でもないことに注意せよ。本表記の名称を「くまくま4変数ψ」とする。


定義

表記

ここでは、表記に用いる文字列を定める。

0とψ_と(と)と+と,のみからなる文字列の集合Tとその部分集合PTを、以下のように再帰的に定める:

1. 0∈Tである。
2. いかなるX_1,X_2,X_3,X_4∈Tに対しても、ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4)∈Tかつψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4)∈PTである。
3. いかなるX_1,...,X_m∈PT (2≦m<∞)に対しても、X_1+...+X_m∈Tである。

0を$0と略記し、ψ_0(0,0,0)∈Tを$1と略記し、1より大きい各非負整数nに対し$1+...+$1∈T ($1がn個)を$nと略記し、ψ_0(0,0,$1)∈Tを$ωと略記する。


順序

ここでは、表記間の大小関係を定義する。

X,Y∈Tに対し、2項関係X<Yを以下のように再帰的に定める:

1. もしX=0ならば、X<YはY≠0と同値である。
2. ここでX=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4)を満たすX_1,X_2,X_3,X_4∈Tが存在するとする。
2-1. もしY=0ならば、X<Yは偽である。
2-2. ここでY=ψ_{Y_1}(Y_2,Y_3,Y_4)を満たすY_1,Y_2,Y_3,Y_4∈Tが存在するとする。
2-2-1. ここでX_1=Y_1とする。
2-2-1-1. もしX_2=Y_2かつX_3=Y_3ならば、X<YはX_4<Y_4と同値である。
2-2-1-2. もしX_2=Y_2かつX_3≠Y_3ならば、X<YはX_3<Y_3と同値である。
2-2-1-3. もしX_2≠Y_2ならば、X<YはX_2<Y_2と同値である。
2-2-2. もしX_1≠Y_1ならば、X<YはX_1<Y_1と同値である。
2-3. もしY=Y_1+...+Y_{m'}を満たすY_1,...,Y_{m'}∈PT (2≦m'<∞)が存在するならば、
   X<YはX=Y_1またはX<Y_1と同値である。
3. ここでX=X_1+...+X_mを満たすX_1,...,X_m∈PT (2≦m<∞)が存在するとする。
3-1. もしY=0ならば、X<Yは偽である。
3-2. もしY=ψ_{Y_1}(Y_2,Y_3,Y_4)を満たすY_1,Y_2,Y_3,Y_4∈Tが存在するならば、
   X<YはX_1<Yと同値である。
3-3. ここでY=Y_1+...+Y_{m'}を満たすY_1,...,Y_{m'}∈PT (2≦m'<∞)が存在するとする。
3-3-1. ここでX_1=Y_1とする。
3-3-1-1. もしm=2かつm'=2ならば、X<YはX_2<Y_2と同値である。
3-3-1-2. もしm=2かつm'>2ならば、X<YはX_2<Y_2+...+Y_{m'}と同値である。
3-3-1-3. もしm>2かつm'=2ならば、X<YはX_2+...+X_m<Y_2と同値である。
3-3-1-4. もしm>2かつm'>2ならば、X<YはX_2+...+X_m<Y_2+...+Y_{m'}と同値である。
3-3-2. もしX_1≠Y_1ならば、X<YはX_1<Y_1と同値である。


共終数

ここでは、共終数という概念を定義する。

全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dom} \colon T & \to & T \\ X & \mapsto & \textrm{dom}(X) \\ \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

1. もしX=0ならば、dom(X)=0である。
2. ここでX=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4)を満たすX_1,X_2,X_3,X_4∈Tが存在するとする。
2-1. ここでdom(X_4)=0とする。
2-1-1. ここでdom(X_3)=0とする。
2-1-1-1. ここでdom(X_2)=0とする。
2-1-1-1-1. もしdom(X_1)=0またはdom(X_1)=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-1-1-2. もしdom(X_1)≠0,$1ならば、dom(X)=dom(X_1)である。
2-1-1-2. もしdom(X_2)=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-1-3. ここでdom(X_2)≠0,$1とする。
2-1-1-3-1. もしdom(X_2)<Xならば、dom(X)=dom(X_2)である。
2-1-1-3-2. そうでないならば、dom(X)=$ωである。
2-1-2. もしdom(X_3)=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-3. ここでdom(X_3)≠0,$1とする。
2-1-3-1. もしdom(X_3)<Xならば、dom(X)=dom(X_3)である。
2-1-3-2. そうでないならば、dom(X)=$ωである。
2-2. もしdom(X_4)=$1またはdom(X_4)=$ωならば、dom(X)=$ωである。
2-3. ここでdom(X_4)≠0,$1,$ωとする。
2-3-1. もしdom(X_4)<Xならば、dom(X)=dom(X_4)である。
2-3-2. そうでないならば、dom(X)=$ωである。
3. もしX=X_1+...+X_mを満たすX_1,...,X_m∈PT (2≦m<∞)が存在するならば、dom(X)=dom(X_m)である。


基本列

ここでは、基本列という概念を先で定義した共終数を用いて定義する。

全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon T \times T & \to & T \\ (X,Y) & \mapsto & X[Y] \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

1. もしX=0ならば、X[Y]=0である。
2. ここでX=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4)を満たすX_1,X_2,X_3,X_4∈Tが存在するとする。
2-1. ここでdom(X_4)=0とする。
2-1-1. ここでdom(X_3)=0とする。
2-1-1-1. ここでdom(X_2)=0とする。
2-1-1-1-1. もしdom(X_1)=0ならば、X[Y]=0である。
2-1-1-1-2. もしdom(X_1)=$1ならば、X[Y]=Yである。
2-1-1-1-3. もしdom(X_1)≠0,$1ならば、X[Y]=ψ_{X_1[Y]}(X_2,X_3,X_4)である。
2-1-1-2. もしdom(X_2)=$1ならば、X[Y]=Yである。
2-1-1-3. ここでdom(X_2)≠0,$1とする。
2-1-1-3-1. もしdom(X_2)<Xならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[Y],X_3,X_4)である。
2-1-1-3-2. そうでないならば、dom(X_2)=ψ_{P}(Q,R,0) (P,Q,R∈T)とおく。
2-1-1-3-2-1. ここでR=0とする。
2-1-1-3-2-1-1. ここでQ=0とする。
2-1-1-3-2-1-1-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(Γ,X_3,X_4)
        となるΓ∈Tが一意に存在するならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[ψ_{P[0]}(Γ,0,0)],X_3,X_4)である。
2-1-1-3-2-1-1-2. そうでないならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[ψ_{P[0]}(Q,R,0)],X_3,X_4)である。
2-1-1-3-2-1-2. ここでQ≠0とする。
2-1-1-3-2-1-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(Γ,X_3,X_4)
        となるΓ∈Tが一意に存在するならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[ψ_{P}(Q[0],Γ,0)],X_3,X_4)である。
2-1-1-3-2-1-2-2. そうでないならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[ψ_{P}(Q[0],R,0)],X_3,X_4)である。
2-1-1-3-2-2. ここでR≠0とする。
2-1-1-3-2-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(Γ,X_3,X_4)
       となるΓ∈Tが一意に存在するならば、
       X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[ψ_{P}(Q,R[0],Γ)],X_3,X_4)である。
2-1-1-3-2-2-2. そうでないならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2[ψ_{P}(Q,R[0],0)],X_3,X_4)である。
2-1-2. もしdom(X_3)=$1ならば、X[Y]=Yである。
2-1-3. ここでdom(X_3)≠0,$1とする。
2-1-3-1. もしdom(X_3)<Xならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[Y],X_4)である。
2-1-3-2. そうでないならば、dom(X_3)=ψ_{P}(Q,R,0) (P,Q,R∈T)とおく。
2-1-3-2-1. ここでR=0とする。
2-1-3-2-1-1. ここでQ=0とする。
2-1-3-2-1-1-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(X_2,Γ,X_4)
       となるΓ∈Tが一意に存在するならば、
       X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[ψ_{P[0]}(Γ,0,0)],X_4)である。
2-1-3-2-1-1-2. そうでないならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[ψ_{P[0]}(Q,R,0)],X_4)である。
2-1-3-2-1-2. ここでQ≠0とする。
2-1-3-2-1-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(X_2,Γ,X_4)
       となるΓ∈Tが一意に存在するならば、
       X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[ψ_{P}(Q[0],Γ,0)],X_4)である。
2-1-3-2-1-2-2. そうでないならば、
        X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[ψ_{P}(Q[0],R,0)],X_4)である。
2-1-3-2-2. ここでR≠0とする。
2-1-3-2-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(X_2,Γ,X_4)となるΓ∈Tが
       一意に存在するならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[ψ_{P}(Q,R[0],Γ)],X_4)である。
2-1-3-2-2-2. そうでないならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3[ψ_{P}(Q,R[0],0)],X_4)である。
2-2. ここでdom(X_4)=$1とする。
2-2-1. もしY=$1ならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[0])である。
2-2-2. もしY=$k (2≦k<∞)ならば、
   X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[0])+...+ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[0])
   (ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[0])がk個)である。
2-2-3. そのいずれでもないならば、X[Y]=0である。
2-3. もしdom(X_4)=$ωならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[Y])である。
2-4. ここでdom(X_4)≠0,$1,$ωとする。
2-4-1. もしdom(X_4)<Xならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[Y])である。
2-4-2. そうでないならば、dom(X_4)=ψ_{P}(Q,R,0) (P,Q,R∈T)とおく。
2-4-2-1. ここでR=0とする。
2-4-2-1-1. ここでQ=0とする。
2-4-2-1-1-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,Γ)となるΓ∈Tが
       一意に存在するならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[ψ_{P[0]}(Γ,0,0)])である。
2-4-2-1-1-2. そうでないならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[ψ_{P[0]}(Q,R,0)])である。
2-4-2-1-2. ここでQ≠0とする。
2-4-2-1-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,Γ)となるΓ∈Tが
       一意に存在するならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[ψ_{P}(Q[0],Γ,0)])である。
2-4-2-1-2-2. そうでないならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[ψ_{P}(Q[0],R,0)])である。
2-4-2-2. ここでR≠0とする。
2-4-2-2-1. もしY=$h (1≦h<∞)かつX[Y[0]]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,Γ)となるΓ∈Tが
       一意に存在するならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[ψ_{P}(Q,R[0],Γ)])である。
2-4-2-2-2. そうでないならば、X[Y]=ψ_{X_1}(X_2,X_3,X_4[ψ_{P}(Q,R[0],0)])である。
3. ここでX=X_1+...+X_mを満たすX_1,...,X_m∈PT (2≦m<∞)が存在するとする。
3-1. もしX_m[Y]=0かつm=2ならば、X[Y]=X_1である。
3-2. もしX_m[Y]=0かつm>2ならば、X[Y]=X_1+...+X_{m-1}である。
3-3. もしX_m[Y]≠0ならば、X[Y]=X_1+...+X_{m-1}+X_m[Y]である。


巨大関数

ここでは、急増加関数を定義する。

全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} f \colon T \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ (X,n) & \mapsto & f_X(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

1. もしX=0ならば、\(f_X(n) = n+1\)である。
2. もしX=$1またはX=Y+$1と表せられるY∈Tが存在するならば、\(f_X(n) = f_{X[0]}^n(n)\)である。
3. そのいずれでもないならば、\(f_X(n) = f_{X[$n]}(n)\)である。


巨大数

ここでは、巨大数を定義する。

全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} g \colon \mathbb{N} & \to & PT \\ n & \mapsto & g(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

1. もしn=0ならば、\(g(n) = ψ_0(0,0,0)\)である。
2. そうでないならば、\(g(n) = ψ_{g(n-1)}(0,0,0)\)である。


全域写像 \begin{eqnarray*} F \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & F(n) \end{eqnarray*} を\(F(n) = f_{ψ_0(0,0,g(n))}(n)\)と定める。

\(F^{10^{100}}(10^{100})\)を「くまくま4変数ψ数」と名付ける。


命名

ここでは、順序数に対して命名を行う。

\(ψ_0(0,ψ_{$2}(0,0,0))\)に対応する順序数をKKBHO (KumaKuma-Bachmann–Howard Ordinal)と名付ける。

\(ψ_0(0,ψ_{$ω}(0,0,0))\)に対応する順序数をKKBO (KumaKuma-Buchholz Ordinal)と名付ける。

表記の限界に対応する順序数をEKKBO (Extended KumaKuma-Buchholz Ordinal)と名付ける。

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