構文解析に失敗 (不明な関数「\newcommand」): {\displaystyle \newcommand{\ordinarycolon}{:} \newcommand{\vcentcolon}{\mathrel{\mathop\ordinarycolon}} \newcommand{\coloneqq}{\vcentcolon\mathrel{\mkern-1.2mu}=} \newcommand{\nil}{[\mkern3.0mu]} \newcommand{\cons}{\vcentcolon\mathrel{\mkern-1.2mu}\vcentcolon} \newcommand{\append}{\mathrel{{+}\mkern-3.0mu{+}}} }

この記事ではY数列 Hexirp 版の定義群を記述している。YH数列システムへとプロジェクトは移行した。

名称の経緯

Y数列はゆきと (ユーザー:ゆきと, Twitter: @Y_Y_Googology) 氏により作成された表記である。「階差を展開する」のが基本的なアイデアであり、 の時点でバシク行列システムの限界と一致すると解析されている。さらに の極限(この列を展開列として持つ表記)があり、それは と表記される。これがY数列の限界である。その増加速度は非常に大きいとみられているが、あまりにも巨大すぎるため詳しいことはわかっていない。

その正確な定義はまだ完成していない。Y数列(のアイデアと理想の展開例)が Twitter や Discord を通じて広められると、日本語圏や英語圏の人々が正確な定義を作成することを試みるようになった。その様子は p進大好きbot 氏が例えるに「Y数列の定義合戦」である[1]

この時期に公開されたY数列関係の定義は以下のとおりである。

このような状況の下、9月19日にゆきと氏から以下のようなコメントがあった。[2]

バージョンを増やされるのは最も嫌いです
Y数列はY数列、一つであるべき
みんなが考えるのは良いですが、最終的にはひとつにまとめてほしい
って誰かdiscordで言って欲しいな。。

このコメント以降のY数列に類似する表記の定義はY数列という名前を使っていない。Y数列のオリジナルと一致しないため、Y数列を名乗ろうとすると「別バージョン」となってしまうためであろうか。

また、これらと別にゆきと氏の東方巨大数3に投稿された定義を数式で形式化しようとする試みも存在する。

翻って私が投稿した記事を見ると、Y数列の定義と書いている。しかし、明確に異なる展開をする定義を別バージョンとして意図的に作ろうとしていた。これでは、ゆきと氏の意思にそぐわないのではないかと私は考えた。そのため、記事を移動することにした。

しかし、Y数列の定義を目指している以上、Y数列を名称の一部に含まないのは私として違和感がある。これについて以前にこのような質問をしたことがある。

私、 (1,2,4,8,10,8) の展開が別になっていて、それでいて定義が自然なものを見つけているんですが、その辺りは Y数列 Hexirp 版 b 版とでも書いておいて、Yukito さんが気に入ったら、 Yukito さんが公式に Y数列 x.y 版 とナンバリングするという形でいいんですかね

それに対するゆきと氏の答えはこの通りである。

そんな感じでいいんじゃないですかね。。
すみません、僕もY数列どうしたいのかイマイチよく分かってなくて。。
しっかり温めて置いてください。必ず見ますので

私はこの回答を受けて、この記事に「Y数列 Hexirp 版」というタイトルをつけることにした。

DPN形式について

DPN (Diff, Parent, and Depth) 形式は、Y数列 Hexirp 版の定義を記述するにあたって中核とした概念である。その基本的なアイデアは、Y数列の展開が山(差分を取り上に書き並べていく図)で説明されているのをみたときの体験にある。その時、どこが展開されて新しい山の元になるのか、どこが無視されて新しい山では使われないのかわからなかったのだ。

DPN_Form_1.png

上の画像で青い線で囲まれているのが展開される部分である。他の部分は無視され、後に再構成される。

このように、捨てられる部分があるのであれば、わかりやすく、その部分は除いてしまえばいいのではないか。その発想がDPN形式の始まりである。最初は Diff と Parent の二つしか含んでいなかったが、すぐに Depth も加わった。このとき、頭文字がかぶってしまったため、数式の中では Depth を主に n で表すようになった。これが DPN という名前の由来である。

DPN_Form_2.png

次の大きな変化は Parent が複数含まれるようになったことだ。これは (1,2,4,8,10,8) の展開を考察する途中で必要に迫られて加わった。上の画像を見てもらえばわかるように、この数列では親が途中で変わる。そうなるように、バシク行列システムの Upper-branch ignoring モデルを参考にして親の定義を定めた。そっちのほうが自然だったからだ。すると、この例の展開にみられるように、親の変化の履歴も保存する必要が生じた。こうして、複数の親を含めることを許すようになった。DPN形式は親が変化し始めてから最大の深さに到達するまでの親を全て記録する。

ちなみに、わかりづらいかもしれないが山の上の方になるほど「深い」としている。これは私がDPN形式を開発していた時は差分を下の方へ伸ばしていたためであるが、「山の奥深く」といった言葉があるため上の方に差分を書いていくときでも使えると思っている。

元の記事では、数列からDPN形式の変換とDPN形式から数列の変換は完成している。未完成なのはDPN形式からDPN形式の展開のみである。

Y数列の性質

仮定として、Y数列は辞書式順序によって大小比較が可能であることを置いている。この仮定に従わないように見える例も見つけることができる。例えば では辞書式順序と違って後者のほうが大きい。しかしながら、このような場合は非標準形が絡んでいるとみられる。この場合では後者が非標準形である。

Y数列 Hexirp 版 0.0

以下の内容はユーザーブログ:Hexirp/Y数列の定義として投稿されていたものである。だが前記の通りゆきと氏のコメントがあったため、ここの一部として移動された。


この節の内容はユーザーブログ:Hexirp/Y数列 Hexirp 版 0.0 として切り出された。


Y数列 Hexirp 版 0.0 は、Y数列の形式化への初めての試みとなる。致命的なバグが見つかり放棄することになったが、DPN形式の初めての形式化として意義はあったと考える。

ログ

2019年9月4日、巨大数研究wikiにおいて公開された。

2019年9月9日、一連のツイートで致命的なバグが発見された。このバグは「飛ばない山バグ」と言うべきものであり、展開の時に山が飛ぶ において途中で不整合が起きて計算できなくなる。このバグのため 以降では定義できていないとした。だが、それ未満では依然定義できているとしていた。

2019年10月29日、Y数列 Hexirp 版のプログラム化プロジェクト yhseq の実装途中において致命的なバグが発見された。このバグは「底なし山バグ」というべきものであり、これにより の計算が停止しなくなるため 以降の数列において定義できていないことがわかった。詳細はこの記事を参照してほしい。

Y数列 Hexirp 版 1.0

この節の内容はユーザーブログ:Hexirp/Y数列 Hexirp 版 1.0 として切り出された。


Y数列 Hexirp 版 1.0 は、まだ粗削りであった Hexirp 版 0.0 を清書したものである。多くの関数の定義が整理され、様々な間違いが修正された他にも、まだ定義できていないクラス 2 以上に対する展開の部分が取り除かれた。そのため、このバージョンは (1,3) 未満にしか定義されていない(繰り返し展開していくとき)。

このバージョンは、本家が意図するところの理想的なY数列の展開とは明確に違う。例として の展開を挙げる。なお、この展開は山が底なしになるバグ(底なし山バグ)がないものとしている。

本家(理想)
Hexirp 版 1.0

ログ

2019年10月14日、巨大数研究wikiにおいて公開された。

2019年10月29日、Y数列 Hexirp 版のプログラム化プロジェクト yhseq の実装途中において致命的なバグが発見された。このバグは「底なし山バグ」というべきものであり、これにより の計算が停止しなくなるため 以降の数列において定義できていないことがわかった。詳細はこの記事を参照してほしい。

Y数列 Hexirp 版 1.1

この節の内容はユーザーブログ:Hexirp/Y数列 Hexirp 版 1.1 として切り出された。


Y数列 Hexirp 版 1.1 は、ずれるかどうか(上昇するかどうか)の判定方法を理想へ近づけたものである。また、その他にも再度の清書を行っている。中核となる変更は「DPN形式の展開」の a が単純化されたことである。この変更で (1,2,4,8,10,8) の展開が一致するようになるとしていたが、致命的なバグが発見されたため有耶無耶になった。

ログ

2019年10月15日、巨大数研究wikiにおいて公開された。

2019年10月29日、Y数列 Hexirp 版のプログラム化プロジェクト yhseq の実装途中において致命的なバグが発見された。このバグは「底なし山バグ」というべきものであり、これにより の計算が停止しなくなるため 以降の数列において定義できていないことがわかった。詳細はこの記事を参照してほしい。

2019年10月30日、プログラムでの実装が完成した。

Y数列 Hexirp 版 1.1.1

Y数列 Hexirp 版 1.1.1 は、 Hexirp 版 1.1 を清書することのみを目的として作られたバージョンである。数式による定義はユーザーブログ:Hexirp/Y数列 Hexirp 版 1.1.1 にある。

ログ

2019年10月29日、Y数列 Hexirp 版のプログラム化プロジェクト yhseq の実装途中において致命的なバグが発見された。このバグは「底なし山バグ」というべきものであり、これにより の計算が停止しなくなるため 以降の数列において定義できていないことがわかった。詳細はこの記事を参照してほしい。

2019年10月31日、プログラムでの実装が完成した。

2019年11月2日、巨大数研究wikiにおいて公開された。

Y数列 Hexirp 版 2.0

Y数列 Hexirp 版 2.0 は、 Hexirp 版 1.0 の底なし山バグを修正したバージョンとして、 Hexirp 版 1.1.1 をベースとして作られたバージョンである。数式による定義はユーザーブログ:Hexirp/Y数列 Hexirp 版 2.0 にある。

ログ

2019年11月3日、プログラムでの実装が完成した。

2018年12月2日、巨大数研究wikiにおいて公開された。

Y数列 Hexirp 版 2.1

Y数列 Hexirp 版 2.1 は、 Hexirp 版 1.1 の底なし山バグを修正したバージョンとして、 Hexirp 版 1.1.1 をベースとして作られたバージョンである。数式による定義はユーザーブログ:Hexirp/Y数列 Hexirp 版 2.1 にある。

ログ

2020年7月3日、無限ループが発見された[3]

2019年11月4日、プログラムでの実装が完成した。

2018年12月2日、巨大数研究wikiにおいて公開された。

脚注

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