超限ハイパー演算子の解析

ここではユーザーブログ:Hexirp/ハイパー演算子の拡張で示した超限ハイパー演算子および超限弱ハイパー演算子について解析を行う。

共通部分[]

以下のような恒等式が成り立つ。加算については定義から自明、乗算と累乗については $b$ に関する超限帰納法で証明可能。

構文解析に失敗 (不明な関数「\begin{array}」): {\displaystyle \begin{array}{} a \langle 1 \rangle b = a [ 1 ] b = a + b \\ a \langle 2 \rangle b = a [ 2 ] b = a \times b \\ a \langle 3 \rangle b = a [ 3 ] b = a ^ b \\ \end{array} }

超限ハイパー演算子[]

全ての $4 \leq \alpha$ に対して $\omega \langle \alpha \rangle \omega = \varepsilon _ 0$ が成り立つ。確かめていないが超限帰納法で証明可能だと思われる。これ以上に行くには $( \omega \langle 4 \rangle \omega ) \langle 4 \rangle \omega = \varepsilon _ 1$ とでもすればいいが、これは超限弱ハイパー演算子の領分である。

超限弱ハイパー演算子[]

限界は $\sup \{ \omega, \omega [ \omega ] \omega, \omega [ \omega [ \omega ] \omega ] \omega, \ldots \} = \varphi ( \omega + 1, 0 )$ である^[1]。この節の解析の中に現れる恒等式の変数 $\alpha$ の範囲は $1 \leq \alpha$ である。

4[]

累乗以上テトレーション未満。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 4 ] 1 & = & \omega \\ \omega [ 4 ] 2 & = & \omega ^ \omega \\ \omega [ 4 ] 3 & = & ( \omega ^ \omega ) ^ \omega = \omega ^ { \omega ^ 2 } \\ \omega [ 4 ] 4 & = & ( \omega ^ { \omega ^ 2 } ) ^ \omega = \omega ^ { \omega ^ 3 } \\ \omega [ 4 ] ( 1 + \alpha ) & = & \omega ^ { \omega ^ \alpha } \\ \omega [ 4 ] \omega & = & \omega ^ { \omega ^ \omega } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] 2 & = & ( \omega ^ { \omega ^ \omega } ) ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega } } = \omega ^ { \omega ^ \omega \times \omega ^ { \omega ^ \omega } } = \omega ^ { \omega ^ { \omega + \omega ^ \omega } } = \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] 3 & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega \times 2 } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] 4 & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega \times 3 } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] ( 1 + \alpha ) & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega \times \alpha } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] \omega & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega \times \omega } } = \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] 2 & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } } } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] ( 1 + \alpha ) & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } } \times \alpha } } \\ \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] \omega [ 4 ] \omega & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } } \times \omega } } = \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } + 1 } } } \\ \end{eqnarray*} }

5[]

テトレーションレベル。二つの関数 $\alpha \mapsto \alpha \langle 4 \rangle \omega$ と $\alpha \mapsto \alpha [ 5 ] \omega$ は似た効果を持つ。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 5 ] 1 & = & \omega \\ \omega [ 5 ] 2 & = & \omega ^ { \omega ^ \omega } \\ \omega [ 5 ] 3 & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } } } \\ \omega [ 5 ] 4 & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } + 1 } } } \\ \omega [ 5 ] 5 & = & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } + 1 } + 1 } } } \\ \omega [ 5 ] ( 1 + \alpha ) & = & \omega ^ { \omega ^ { f ( \alpha ) } } \\ \omega [ 5 ] \omega & = & \varepsilon _ 0 \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] 2 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { \varepsilon _ 0 } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] 3 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ 2 } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] \omega & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ \omega } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] ( \omega \times 2 ) & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \omega \times 2 } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] \omega ^ 2 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \omega ^ 2 } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] \omega ^ \omega & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \omega ^ \omega } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] \omega ^ { \omega ^ \omega } & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega } } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] \varepsilon _ 0 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \varepsilon _ 0 } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] ( 1 + \alpha ) & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ \alpha } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 4 ] \omega [ 5 ] \omega & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \varepsilon _ 0 } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] 2 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \varepsilon _ 0 } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] 3 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \varepsilon _ 0 + 1 } } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] 4 & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { \varepsilon _ 0 + 1 } + 1 } } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] ( 1 + \alpha ) & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { { \varepsilon _ 0 } ^ { g ( \alpha ) } } \\ \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] \omega & = & \varepsilon _ 1 \\ \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] \omega [ 5 ] \omega & = & \varepsilon _ 2 \\ \end{eqnarray*} }

ただし、この節での $\alpha \mapsto f ( \alpha )$ は以下のように定義される関数である。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} f ( 1 ) & = & \omega \\ f ( \alpha + 1 ) & = & \omega ^ { f ( \alpha ) + 1 } \\ f ( \alpha ) & = & \sup \{ f ( \alpha' ) \mid \alpha' < \alpha \land \alpha' \neq 0 \} \quad ( \mathbf{Limit} ( \alpha ) ) \\ \end{eqnarray*} }

また $\alpha \mapsto g ( \alpha )$ は以下のように定義される関数である。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} g ( 1 ) & = & \varepsilon _ 0 \\ g ( \alpha + 1 ) & = & { \varepsilon _ 0 } ^ { g ( \alpha ) + 1 } \\ g ( \alpha ) & = & \sup \{ g ( \alpha' ) \mid \alpha' < \alpha \land \alpha' \neq 0 \} \quad ( \mathbf{Limit} ( \alpha ) ) \\ \end{eqnarray*} }

6[]

テトレーション以上と $\alpha \mapsto \varepsilon _ \alpha$ 未満。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 6 ] 1 & = & \omega \\ \omega [ 6 ] 2 & = & \varepsilon _ 0 \\ \omega [ 6 ] 3 & = & \varepsilon _ 1 \\ \omega [ 6 ] 4 & = & \varepsilon _ 2 \\ \omega [ 6 ] ( 1 + \alpha ) & = & \varepsilon _ { \alpha - 1 } \\ \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ \omega \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \omega & = & \varepsilon _ { \omega + 1 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] ( \omega \times 2 ) & = & \varepsilon _ { \omega + 2 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \omega ^ 2 & = & \varepsilon _ { \omega + \omega } = \varepsilon _ { \omega \times 2 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \omega ^ 3 & = & \varepsilon _ { \omega + \omega ^ 2 } = \varepsilon _ { \omega ^ 2 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \omega ^ \omega & = & \varepsilon _ { \omega ^ \omega } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \omega ^ { \omega ^ \omega } & = & \varepsilon _ { \omega ^ { \omega ^ \omega } } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \varepsilon _ 0 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ 0 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \varepsilon _ \omega & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] ( \omega \times ( 1 + \alpha ) ) & = & \varepsilon _ { \omega + ( \alpha - 1 ) } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 5 ] \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ { \omega + \varepsilon _ \omega } = \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] 2 & = & \varepsilon _ { \omega + \varepsilon _ \omega } = \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] 3 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega + \varepsilon _ \omega } = \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times 2 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] ( 1 + \alpha ) & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \alpha } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] 2 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega + \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } } = \varepsilon _ { \varepsilon _ { \varepsilon \omega \times \omega } } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] 3 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } \times 2 } \\ \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } \times \omega } \\ \end{eqnarray*} }

7[]

$\alpha \mapsto \varepsilon _ \alpha$ レベル。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 7 ] 1 & = & \omega \\ \omega [ 7 ] 2 & = & \varepsilon _ \omega \\ \omega [ 7 ] 3 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } \\ \omega [ 7 ] 4 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } \times \omega } \\ \omega [ 7 ] ( 1 + \alpha ) & = & f ( \alpha ) \\ \omega [ 7 ] \omega & = & \zeta _ 0 \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] 2 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 + \zeta _ 0 } = \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] 3 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times 2 + \zeta _ 0 } = \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times 3 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \omega } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] ( \omega \times 2 ) & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \omega \times 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \omega ^ 2 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \omega ^ 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \omega ^ \omega & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \omega ^ \omega } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \omega ^ { \omega ^ \omega } & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \omega ^ { \omega ^ \omega } } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \varepsilon _ 0 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \varepsilon _ 0 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \varepsilon _ \omega & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \varepsilon _ \omega } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \zeta _ 0 & = & \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \alpha & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \alpha } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \omega [ 7 ] \omega & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \zeta _ 0 } = \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 2 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 0 \times \zeta _ 0 } = \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 2 [ 6 ] 2 & = & \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 + \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } } = \varepsilon _ { \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 2 [ 6 ] 3 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \times 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 2 [ 6 ] ( 1 + \alpha ) & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \times \alpha } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 2 [ 6 ] \omega [ 7 ] \omega & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \times \zeta _ 0 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 3 & = & \varepsilon _ { \varepsilon _ { { \zeta _ 0 } ^ 2 } \times \zeta _ 0 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \alpha & = & g ( \alpha ) \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega & = & \zeta _ 1 \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] 2 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 1 \times 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] 3 & = & \varepsilon _ { \zeta _ 1 \times 3 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \alpha & = & \varepsilon _ { \zeta _ 1 \times \alpha } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega [ 6 ] \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega & = & \varepsilon _ { { \zeta _ 1 } ^ 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] 2 & = & \varepsilon _ { { \zeta _ 1 } ^ 2 } \\ \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega [ 7 ] \omega & = & \zeta _ 2 \\ \end{eqnarray*} }

ただし、この節での $\alpha \mapsto f ( \alpha )$ は以下のように定義される関数である。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} f ( 1 ) & = & \varepsilon _ \omega \\ f ( \alpha + 1 ) & = & \varepsilon _ { f ( \alpha ) \times \omega } \\ f ( \alpha ) & = & \sup \{ f ( \alpha' ) \mid \alpha' < \alpha \land \alpha' \neq 0 \} \quad ( \mathbf{Limit} ( \alpha ) ) \\ \end{eqnarray*} }

また $\alpha \mapsto g ( \alpha )$ は以下のように定義される関数である。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} g ( 1 ) & = & \zeta _ 0 \\ g ( \alpha + 1 ) & = & \varepsilon _ { f ( \alpha ) \times \zeta _ 0 } \\ g ( \alpha ) & = & \sup \{ g ( \alpha' ) \mid \alpha' < \alpha \land \alpha' \neq 0 \} \quad ( \mathbf{Limit} ( \alpha ) ) \\ \end{eqnarray*} }

8[]

$\alpha \mapsto \varepsilon _ \alpha$ 以上と $\alpha \mapsto \zeta _ \alpha$ 未満。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 8 ] 1 & = & \omega \\ \omega [ 8 ] 2 & = & \zeta _ 0 \\ \omega [ 8 ] 3 & = & \zeta _ 1 \\ \omega [ 8 ] 4 & = & \zeta _ 2 \\ \omega [ 8 ] ( 1 + \alpha ) & = & \zeta _ { \alpha - 1 } \\ \omega [ 8 ] \omega & = & \zeta _ \omega \\ \omega [ 8 ] \omega [ 7 ] 2 & = & \varepsilon _ { { \zeta _ \omega } ^2 } \\ \omega [ 8 ] \omega [ 7 ] \omega & = & \zeta _ { \omega + 1 } \\ \omega [ 8 ] \omega [ 7 ] \omega [ 8 ] \omega & = & \zeta _ { \omega + \zeta _ \omega } = \zeta _ { \zeta _ \omega } \\ \omega [ 8 ] \omega [ 8 ] 2 & = & \zeta _ { \zeta _ \omega } \\ \omega [ 8 ] \omega [ 8 ] \omega & = & \zeta _ { \zeta _ \omega \times \omega } \\ \omega [ 8 ] \omega [ 8 ] \omega [ 8 ] \omega & = & \zeta _ { \zeta _ { \zeta _ \omega \times \omega } \times \omega } \\ \end{eqnarray*} }

9[]

$\alpha \mapsto \zeta _ \alpha$ レベル。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 9 ] 1 & = & \omega \\ \omega [ 9 ] 2 & = & \zeta _ \omega \\ \omega [ 9 ] 3 & = & \zeta _ { \zeta _ \omega \times \omega } \\ \omega [ 9 ] 4 & = & \zeta _ { \zeta _ { \zeta _ \omega \times \omega } \times \omega } \\ \omega [ 9 ] \omega & = & \eta _ 0 \\ \end{eqnarray*} }

ω 以後[]

ここから先はあまり伸びない。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \begin{eqnarray*} \omega [ 1 ] \omega & = & \omega \times 2 \\ \omega [ 2 ] \omega & = & \omega ^ 2 \\ \omega [ 3 ] \omega & = & \omega ^ \omega \\ \omega [ 4 ] \omega & = & \omega ^ { \omega ^ \omega } \\ \omega [ 5 ] \omega & = & \varepsilon _ 0 = \varphi _ 1 ( 0 ) \\ \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ \omega = \varphi _ 1 ( \omega ) \\ \omega [ 7 ] \omega & = & \zeta _ 0 = \varphi _ 2 ( 0 ) \\ \omega [ 8 ] \omega & = & \zeta _ \omega = \varphi _ 2 ( \omega ) \\ \omega [ 9 ] \omega & = & \eta _ 0 = \varphi _ 3 ( 0 ) \\ \omega [ 10 ] \omega & = & \eta _ \omega = \varphi _ 3 ( \omega ) \\ \omega [ \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( 0 ) \\ \omega [ \omega ] \omega [ 1 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( 0 ) + \omega \\ \omega [ \omega ] \omega [ 2 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( 0 ) \times \omega \\ \omega [ \omega ] \omega [ 3 ] \omega & = & { \varphi _ \omega ( 0 ) } ^ \omega \\ \omega [ \omega ] \omega [ 4 ] \omega & = & { \varphi _ \omega ( 0 ) } ^ { { \varphi _ \omega ( 0 ) } ^ \omega } \\ \omega [ \omega ] \omega [ 5 ] \omega & = & \varepsilon _ { \varphi _ \omega ( 0 ) + 1 } \\ \omega [ \omega ] \omega [ 6 ] \omega & = & \varepsilon _ { \varphi _ \omega ( 0 ) \times \omega } \\ \omega [ \omega ] \omega [ 7 ] \omega & = & \zeta _ { \varphi _ \omega ( 0 ) + 1 } \\ \omega [ \omega ] \omega [ 8 ] \omega & = & \zeta _ { \varphi _ \omega ( 0 ) \times \omega } \\ \omega [ \omega ] \omega [ 9 ] \omega & = & \eta _ { \varphi _ \omega ( 0 ) + 1 } \\ \omega [ \omega ] \omega [ \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( 1 ) \\ \omega [ \omega ] \omega [ \omega ] \omega [ \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( 2 ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega + 1 ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega ] ( \omega + 1 ) & = & \varphi _ \omega ( \omega + 1 ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega ] ( \omega \times 2 ) & = & \varphi _ \omega ( \omega + 1 ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega ] \omega [ \omega + 1 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega + 1 ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega ] \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega ] \omega [ \omega + 1 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega + 2 ) \\ \omega [ \omega + 1 ] \omega [ \omega + 1 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega \times 2 ) \\ \omega [ \omega + 2 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ 2 ) \\ \omega [ \omega + 2 ] \omega [ \omega + 1 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ 2 + \omega ) \\ \omega [ \omega + 2 ] \omega [ \omega + 2 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ 2 \times 2 ) \\ \omega [ \omega + 3 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ 3 ) \\ \omega [ \omega \times 2 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ \omega ) \\ \omega [ \omega ^ 2 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ { \omega ^ 2 } ) \\ \omega [ \omega ^ \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ { \omega ^ \omega } ) \\ \omega [ \omega ^ { \omega ^ \omega } ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ \omega } } ) \\ \omega [ \epsilon _ 0 ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \epsilon _ 0 ) \\ \omega [ \omega [ \omega ] \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \varphi _ \omega ( 0 ) ) \\ \omega [ \omega [ \omega [ \omega ] \omega ] \omega ] \omega & = & \varphi _ \omega ( \varphi _ \omega ( \varphi _ \omega ( 0 ) ) ) \\ \sup \{ \omega, \omega [ \omega ] \omega, \omega [ \omega [ \omega ] \omega ] \omega, \ldots \} & = & \varphi _ { \omega + 1 } ( 0 ) \\ \end{eqnarray*} }

表[]

$a, b \mapsto \omega [ a ] b$ による表。前までの解析に書いてある部分だけ埋めてある。

${\displaystyle \begin{array}{ccccccc} \omega + 1 & \omega + 2 & \omega + 3 & \omega + 4 & \omega + 5 & \omega + 6 & \cdots \\ \omega & \omega \times 2 & \omega \times 3 & \omega \times 4 & \omega \times 5 & \omega \times 6 & \cdots \\ \omega & \omega ^ 2 & \omega ^ 3 & \omega ^ 4 & \omega ^ 5 & \omega ^ 6 & \cdots \\ \omega & \omega ^ \omega & \omega ^ { \omega ^ 2 } & \omega ^ { \omega ^ 3 } & \omega ^ { \omega ^ 4 } & \omega ^ { \omega ^ 5 } & \cdots \\ \omega & \omega ^ { \omega ^ \omega } & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } } } & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } + 1 } } } & \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \omega + 1 } + 1 } + 1 } } } & \cdots & \\ \omega & \varepsilon _ 0 & \varepsilon _ 1 & \varepsilon _ 2 & \cdots & & \\ \omega & \varepsilon _ \omega & \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } & \varepsilon _ { \varepsilon _ { \varepsilon _ \omega \times \omega } \times \omega } & \cdots & & \\ \omega & \zeta _ 0 & \zeta _ 1 & \zeta _ 2 & \cdots & & \\ \omega & \zeta _ \omega & \zeta _ { \zeta _ \omega \times \omega } & \zeta _ { \zeta _ { \zeta _ \omega \times \omega } \times \omega } & \cdots & & \\ \omega & \eta _ 0 & \cdots & & & & \\ \omega & \eta _ \omega & \cdots & & & & \\ \vdots & \vdots & & & & & \\ \end{array} }$

緩増加関数との関係[]

緩増加関数を通して、超限弱ハイパー演算子が弱ハイパー演算子の順序数への正しい拡張であるということの、ある種の「証拠」が得られる。それは、緩増加関数において以下のような関係が経験則的に成り立っているからである。

$g_{f(\omega)}(n)\approx f(n)$

これを使って $\omega [ \omega ] \omega$ がいくつになるべきなのか求めてみよう。まず、上式に代入して $g _ { \omega [ \omega ] \omega } ( n ) \approx n [ n ] n$ を得る。ここで $n [ n ] n \approx n { \uparrow ^ n } n$ であるから、 $g _ { \omega [ \omega ] \omega } ( n ) \approx n { \uparrow ^ n } n$ となる。このような式を満たす順序数を緩増加関数にある対応の一覧を逆引きすると、 $\varphi _ \omega ( 0 )$ が求める性質を満たす順序数である。そして、実際に $\omega [ \omega ] \omega = \varphi _ \omega ( 0)$ である。

補足[]

なお、ここで出てくる減算 $A-B$ は $A \setminus B$ で残った元に $A$ に沿った順序を入れたものである。

脚注[]

↑ [1]

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