ユーザーブログ:P進大好きbot/忠誠心崩壊関数のメモ。たぶん途中で止まってしまう。
記法[]
順序数全体のなすクラスを \( \mathrm{Ord} \) と置く。
非可算正則基数全体のなすクラスを \( \mathrm{Reg} \) と置く。これは \( \mathrm{Reg} = \{ \omega _ 1, \omega _ 2, \omega _ { \omega _ 0 + 1 }, \omega _ { \omega _ 0 + 2 }, \omega _ { \omega _ 0 + \omega _ 0 + 1 }, \omega _ { \omega _ 1 + 1 }, \ldots \} \) である。また \( \mathrm{Reg} \subset \mathrm{Ord} \) である。
コンパクト基数全体のなすクラスを \( \mathrm{Cmp} \) と置く。これは \( \mathrm{Cmp} \subset \mathrm{Reg} \) である。
クラス \( \mathrm{Cmp} \) はもしかしたら空であるかもしれない。また、有限集合であるかもしれず、可算集合であるかもしれず、真のクラスであるかもしれない。
クラス \( X \) に対して \( X \) の部分集合全体のなすクラスを \( \mathcal{P} ( X ) \) と置く。
集合の冪に似ているが、この \( \mathcal{P} ( X ) \) に含まれるのは高々集合であり、真のクラスは含まれない。
極限順序数 \( \kappa \) の中で \( C \) がクラブ集合 (club set) であることを \( \mathrm{club} ( \kappa, C ) \) とする。ここで \( C \subset \kappa \) という条件が含意されている。
クラス \( X \) に対して \( \pi \in \mathrm{Reg} \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap X \neq \emptyset \) を満たす順序数 \( \pi \) 全体のなすクラスを \( S ( X ) \) と置く。
この \( S ( X ) \) の定義は定常集合の定義に類似している。これを具体的に示すと「非可算な共終数を持つ基数 \( \kappa \) の中で \( S \) が定常集合であるとは \( S \subseteq \kappa \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \kappa, C ) \rightarrow C \cap S \neq \emptyset \) である」である。
\( \mathrm{ZFC} \) に加えて \( \bigcap _ { n \in \mathbb{N} } S ^ n ( \textrm{Cmp} ) \neq \emptyset \) を課する。ここで \( \Delta = \textrm{🍰} = \min \bigcap _ { n \in \mathbb{N} } S ^ n ( \textrm{Cmp} ) \) とする。
ここではより一般的な（弱い）公理をとっているが、ケーキ一つだけがあれば充分である。
巨大基数の復習[]
クラス \( S ( X ) \) について理解するために、巨大基数について復習する。まず、弱到達不能基数は正則基数でもあり極限基数でもある基数である。別の定義として、正則基数の極限である正則基数ともいえる。
後続を取る操作では到達できず、極限を取る操作でも到達できない。例えば \( \omega _ 0, \omega _ { \omega _ 0 }, \omega _ { \omega _ { \omega _ 0 } }, \ldots \) という列を取ったとしても、その極限は弱到達不能基数と比べればはるかにか細いものである。
弱到達不能基数の極限である弱到達不能基数が 1-弱到達不能基数である。
例えば \( I _ 0, I _ 1, I _ 2, \ldots \) と一番小さいほうから順番に可算個の弱到達不能基数を取っていき、それらの極限を取ったとしても、それは共終数が \( \omega _ 0 \) であるため 1-弱到達不能基数ではない。
これらは、正則基数を数え上げる関数を基本としたヴェブレン階層により系統立てて表すことができる。
弱マーロ基数とは、それ未満の弱到達不能基数の集合がそれの中で定常集合である弱到達不能基数である。さらに 1-弱マーロ基数とは、それ未満の弱マーロ基数がそれの中で定常集合である弱マーロ基数である。
弱コンパクト基数とは、それ個の頂点を持つ完全グラフの辺を二色に塗り分けたとき、それと同じ濃度の頂点を持つ一色に塗られた完全グラフが必ず存在する非可算基数である。
ここはまだよくわかっていないため、受け売りになってしまう。
S ( X ) とはなにか[]
クラス \( S ( X ) \) が何なのかわかっていない。なので \( \Delta \) が何なのかわかっていない。たぶん、弱コンパクト基数の次のマーロ的な何かだと思うが。なので詳しく調べてみる。
まず、クラス \( S ( \mathrm{Cmp} ) \) を考えてみる。これは \( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap \mathrm{Cmp} \neq \emptyset \} \) である。
定常集合と似ている。ここで、これを \( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K \subseteq \mathrm{Cmp} \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) と変形してみる。これが正しいのかは、実際の所、まったくわからないし、知識がないのでまったく保証できない。だが、感覚的にはあっているように思う。
さらに変形して \( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K \subseteq \mathrm{Cmp} \cap \pi \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) としてみる。こうなると、この \( K \) は \( \pi \) 内の定常集合となる。ここで \( \mathrm{Reg} \) は非可算正則基数全体のクラスで \( \pi \) は必ず非可算な共終数を持つことに注意する。
ここで \( K \) は最大限でかく取ってもいいはずである。つまり \( K = \{ k \in \mathrm{Cmp} \mid k < \pi \} \) とする。
最終的に \( S ( \mathrm{Cmp} ) \) は、それ未満の弱コンパクト基数の集合がそれの中で定常集合である非可算正則基数のクラスとなる。すなわち、それ未満の弱コンパクト基数の集合がそれの中で定常集合である弱マーロ基数である、としてもよいと思う。このような基数を短く言う方法は知らない。
式を色々変形したが、それらは全く知識的な裏付けがないものである。
……再考してみた。
\( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap \mathrm{Cmp} \neq \emptyset \} \) を \( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K \subseteq \mathrm{Cmp} \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) に変形する。これは、定常集合の性質に関わるのは、必ずしも \( \mathrm{Cmp} \) の全体ではなく、その一部分しか働かない場合もあるということである。ここで \( K = \mathrm{Cmp} \) と取れるので、この変形は正しい。
\( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K \subseteq \mathrm{Cmp} \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) を \( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K \subset \mathrm{Cmp} \cap \pi \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) に変形する。これは club 集合の性質から \( C \subset \pi \) である。よって \( C \cap K \neq \emptyset \) を成立させるためには \( K \) は \( \pi \) に含まれる範囲だけの集合だけ含んでいればよい。よって、この変形は正しい。
\( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K \subset \mathrm{Cmp} \cap \pi \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) を \( \{ \pi \in \mathrm{Reg} \mid \exists K \ldotp K = \{ k \in \mathrm{Cmp} \mid k < \pi \} \land \forall C \ldotp \mathrm{club} ( \pi, C ) \rightarrow C \cap K \neq \emptyset \} \) に変形する。これは \( C \cap K \neq \emptyset \) が \( K \) が大きくなればなるほど成立しやすくなり小さくなれば小さくなるほど成立しづらくなる、厳密にいえば \( K \) で成立したときそれを部分集合に持つ \( K' \) でも成立するため、そのような \( K \) の中でもっとも「大きい」もので代表させるのは問題ない。よって、この変形は正しい。
Mahlo operation[]
……英語版 Wikipedia を覗いてみたら Mahlo operation というものがあった。これは \( M ( X ) \) という \( X \) から新しいクラスを作る操作で、それの中でそれと \( X \) の共通部分が定常集合である非可算な共終数を持つ順序数が具体的な中身である。これは、ほぼ \( S ( X ) \) と同じだと言っても問題ないだろう。
例えば \( X \) を正則基数のクラスとする、つまり \( X = \{ \omega _ 0 \} \cup \mathrm{Reg} \) とすると、その \( M ( X ) \) は弱マーロ基数のクラスとなる。つまり \( M ( \mathrm{Reg} ) \) は弱マーロ基数のクラスである。
さらに繰り返し適用が以下のように定められる。
- \( M _ 0 ( X ) = X \) である。
- \( M _ { \alpha + 1 } ( X ) = M ( M _ \alpha ( X ) ) \) である。
- \( \alpha \) が極限順序数の時 \( M _ \alpha ( X ) = \bigcap _ { \beta < \alpha } M _ \beta ( X ) \) である。
これにより \( \alpha \)-弱マーロ基数が \( M _ \alpha ( \mathrm{Reg} ) \) によって構成できるはずである（ウィキペディア自体には書いてないが）。
さらに \( \forall \beta \ldotp \beta < \alpha \rightarrow \alpha \in M _ \beta ( X ) \) のような \( \alpha \) を取ることで対角化できる。これは hyper-弱マーロ基数などを生成する。
こうしてみると、弱到達不能基数と似たような形になっていることがわかる。
さらにこういじってみる。
- \( M _ X ( 0 ) = X \) である。
- \( M _ X ( \alpha + 1 ) = M ( M _ X ( \alpha ) ) \) である。
- \( \alpha \) が極限順序数の時 \( M _ X ( \alpha ) = \bigcap _ { \beta < \alpha } M _ X ( \beta ) \) である。
すると \( \Delta = \min M _ \mathrm{Cmp} ( \omega ) \) と綺麗に書ける。
写像[]
四つの関数がある。
\[ \begin{eqnarray*} \mathrm{Ord} ^ 2 & \rightarrow & \mathcal{P} ( \mathrm{Ord} ) \\ ( \alpha, \beta ) & \mapsto & C ( \alpha, \beta ) \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \mathrm{Ord} & \rightarrow & \mathcal{P} ( \Delta ) \\ \alpha & \mapsto & M ( \alpha ) \\ \end{eqnarrat*} \begin{eqnarray*} \mathrm{Ord} & \rightarrow & \Delta + 1 \\ \alpha & \mapsto & \mu ( \alpha ) \\ \end{eqnarrat*} \begin{eqnarray*} \mathrm{Ord} ^ 3 & \rightarrow & \mathcal{P} ( \mathrm{Ord} ) \\ ( \pi, \xi, \alpha ) & \mapsto & \delta ( \pi, \xi, \alpha ) \\ \end{eqnarray*} \]