ユーザーブログ:Gaoji/TEKKAMAKI NOTATION

はじめに

鉄火巻き(TEKKAMAKI)のイメージ。海苔(NORI)の中にシャリ(SHARI)があってその中にマグロ(TUNA)がある事が分かる。

ブログ記事の｢ヴェブレンのφ記法とヴェブレン階層2020年2月4日（Merlibornさん）｣¹ を見てウェブレン関数の理解が進みました。そこで、その記事の中の「 \(\varphi(x_{0})=\omega^{x_{0}}\) を基にした表記」の基本列をもとにして巨大数を作ってみました。2020年2月20日にスプレッドシートで定義を公開しました²  が、こっちにもあげたいと思います。大きさがどのくらいかや、計算が停止するのか、計算の結果自然数を出力するのかなど詳しいことは調べていません。解析してくれる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。(2020/02/25追記：2020/02/24にOkkuuさんがコメント欄にて解析を行ってくださいました。LVOいったよ！うれしい！)

文字列の定義

文字列 \( \alpha \) が空列であることを \( \alpha = \varnothing \) と書く
文字列 \( \alpha \) が集合 \(T\) に含まれることを \(α \in T \) と書く
\( (,/,),[,] \) でできた文字列の集合 \(T\) を、以下に再帰的に定義する

1. \(\alpha = \varnothing\) なら \(α \in T \)
2. \(\alpha \in T\) なら \([( \alpha /)] \in T \)
3. \(\alpha ,\beta \in T \) なら \( \alpha \beta \in T \)
4. \([(\alpha_{1}/\beta_{1})\cdots(\alpha_{n}/\beta_{n})(\gamma/)] \in T \)

ただし \(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n},\beta_{1},\cdots,\beta_{n},\gamma \in T \)、\(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n},\beta_{1},\cdots,\beta_{n} \neq \varnothing \) 、 \( \beta_{1},\cdots,\beta_{n} \)は互いに異なる。

文字列変換関数 \(\{m,X\}\) の定義

互いに異なる文字列\(x,X \in T \) 、 \(0\) 以上の整数 \(m\) に対し \(\{m,X\}=x\) とする。
\(X\) についてもっとも右にある部分文字列 \(/)\) を \(S\) とする。
このとき、 \(\delta_{1} \in T\) 、 \(\delta_{2}\) を任意文字列として \[ X=\delta_{1}[\delta_{2}S] \] が成り立つ。

\(\alpha,\beta,\gamma,\rho,a,b,c \in T\) 、 \(D,d\) は任意文字列とする。

1. \(\delta_{2}=d(\alpha/\beta)(\gamma \) のとき、
   1. \(\gamma=\varnothing\)または\(\gamma=c[(/)]\) のとき、 \(\gamma=\varnothing\) ならば \(\rho=[(/)]\) 、 \(\gamma=c[(/)]\) なら \(\rho=[d(\alpha/\beta)(c/)][(/)]\)として
      1.  \(\alpha=a[(/)]\) かつ \(\beta=b[(/)]\) のとき、 \(D=\delta_{1}\underbrace{[d(a/\beta)([\cdots[d(a/\beta)(}_{m個の[d(a/\beta)(}\,\rho\,\underbrace{/b)(/)]\cdots]/b)(/)]}_{m個の/b)(/)]}\).
      2.  \(\alpha=a[(/)]\) かつ \(\beta \neq b[(/)]\) のとき、 \(D=\delta_{1}[d(a/\beta)([(/)]/\{m,\beta\})(\rho/)]\).
      3.  \(\alpha \neq a[(/)]\) のとき、 \(D=\delta_{1}[d(\{m,\alpha\}/\beta)(\rho/)]\).
   2. それ以外のとき、 \(D=\delta_{1}[d(\alpha/\beta)(\{m,\gamma\}/)]\).
2. \(\delta_{2}=(\gamma\) のとき、
   1. \(\gamma \neq \varnothing\) かつ \(\gamma \neq c[(/)]\) のとき、 \(D=\delta_{1}[(\{m,\gamma\}/)]\).
   2. \(\gamma=c[(/)]\) のとき、 \(D=\delta_{1}\underbrace{[(c/)] \cdots [(c/)]}_{m個の[(c/)]}[(/)]\).
   3. \(\gamma=\varnothing\) のとき、 \(D=\delta_{1}\).

\(D\) の部分文字列 \(/)(/)\) を \(/)\) に置換し、 \((/)]\) となる\((/)\) 以外の \((/β)\) を削除した文字列を \(x\) とする。

巨大関数「TEKKAMAKI notation」の定義

\(m_{1},m_{2}\) を \(0\) 以上の整数、 \(X \in T\)としたとき、
\[ m_{1}Xm_{2} \] を｢TEKKAMAKI notation｣と呼ぶ
\(X\) をTEKKAMAKIと呼ぶ。この時任意文字列 \(a,b,c,d\) について、 
\(X=a[b]c\) の \([\,]\) は海苔(NORI)、 \(X=a(b/c)d\) の \(()\) はシャリ(SHARI)、 \(/\) はマグロ(TUNA)と呼ぶ。

計算

\(0\) 以上の整数 \(n_{i}[1 \leqq i \leqq k]\) 、 \(t_{j} \in T[1 \leqq j \leqq k]\) について、文字列 \(\& = n_{1}t_{1}n_{2}t_{2} \cdots n_{k}t_{k}\) または \(\&=\varnothing\) とする。 \(\% \in T\) かつ \(\% \neq \varnothing\) とする。計算は右から行う。

1.  \(m_{2}=0\) の時、 \(\&m_{1}Xm_{2}=\&m_{1}\) 。
2. それ以外の時、
   1. \(X=[(/)]\) のとき、 \(\&m_{1}Xm_{2}=\&n\) ただし \(m_{1}\) に後者関数を \(m_{2}\) 回適用した数を \(n\) とする。
   2. \(X=\%[(/)]\) のとき、 \(\&m_{1}Xm_{2}= \&\underbrace{m_{1}\{m_{2},X\}m_{1}\{m_{2},X\} \cdots m_{1}\{m_{2},X\}m_{1}}_{m_{2}個のm_{1}}\) 。
   3. \(X\) がそれ以外の時、 \(\&m_{1}Xm_{2}= \&m₁\{m_{2},X\}m_{2}\) 。

極限

\(nXn\) について、 \[ X=[([(/)]/[([(/)]/\cdots[([(/)]/)(/)]\cdots)(/)])(/)] \]

計算の例

こんな感じで計算するよ \begin{align} 3[([(/)]/[(/)])(/)]3 &= 3[([([([(/)]/)]/)]/)]3 \\ &=3[([([(/)][(/)][(/)][(/)]/)]/)]3 \\ &=\cdots \end{align}

巨大数の命名

TRTRITEKAMAKION(トルトライテカマキオン)を鉄火巻きで表したもの。とってもキモくなっている。

\begin{array}{c|c|c} \hline 命名 & 対応する表記 & 解析 \\ \hline \scriptsize{TRION} & 3[(/)][(/)][(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRTRION} & 3[([([(/)]/)]/)]3 & \\ \hline \scriptsize{MAKION} & 3[([(/)]/[(/)])(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRIMAKION} & 3[([(/)]/[(/)])([(/)][(/)][(/)]/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRTRIMAKION} & 3[([(/)]/[(/)])([([([(/)]/)]/)]/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TECKION} & 3[([(/)][(/)]/[(/)])(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRTECKION} & 3[([(/)][(/)][(/)]/[(/)])(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRTRITECKION} & 3[([([([(/)]/[(/)])(/)]/[(/)])(/)]/[(/)])(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TECKAMAKION} & 3[([(/)]/[(/)][(/)])(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRTECKAMAKION} & 3[([(/)]/[(/)][(/)][(/)])(/)]3 & \\ \hline \scriptsize{TRTRITEKAMAKION} & 3[([(/)]/[([(/)]/[([(/)]/[(/)])(/)])(/)])(/)]3 & \\ \hline \end{array}

 脚注

↓考えるきっかけ

1.

https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Merliborn/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%81%AE%CF%86%E8%A8%98%E6%B3%95%E3%81%A8%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E9%9A%8E%E5%B1%A4https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Merliborn/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%81%AE%CF%86%E8%A8%98%E6%B3%95%E3%81%A8%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E9%9A%8E%E5%B1%A4

↓スプレッドシート版

2.

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1G6X-uLYd-9XjYKcQDVQSKxPuYVBTqvO4m25egog7LC8/edit?usp=drivesdk