なんか英語版では間違いを指摘すると個人攻撃になるらしいので、こっちにも投稿しておきます。
前提[]
FOSTで書かれた任意のZFCの定理 \(θ\) と変数割り当て \(s\) について、 \(\mathrm{Sat}([θ],s)\) が成り立つと仮定します。この記事では、この仮定ではラヨ数を定義するには不十分であることを示します。
論理[]
\(φ→ψ:= ¬(φ∧¬ψ)\) 長さ: L(φ)+9+L(ψ)
\(∀x(φ→ψ):= ¬∃x(φ∧¬ψ)\) 長さ: 4+L(φ)+9+L(ψ)
\(∀x∀y(φ→ψ):= ¬∃x∃y(φ∧¬ψ)\) 長さ: 4*2+L(φ)+9+L(ψ)
順序数[]
\(\mathrm{NotZero}(x):= ∃y(y∈x)\) 長さ: 4+3=7
\(\mathrm{IsZero}(x):= ¬\mathrm{NotZero}(x)\) 長さ: 3+7=10
\(\mathrm{NotTransitive}(x,y):= ∃z(z∈y∧¬(z∈x∧∀w(w∈z→w∈y)))\) 長さ: 4+3*5+4+3+9+3=38
∀y(y∈x→AreTransitive(x,y))の二重否定を回避するためだけに導入。単独ではそれほど役に立たない
\(\mathrm{AreTransitive}(x,y):= ¬\mathrm{NotTransitive}(x,y)\) 長さ: 3+38=41
意味: y∈xならばxもyも推移的である
\(\mathrm{IsOrdinal}(x):= ¬∃y(y∈x∧\mathrm{NotTransitive}(x,y))\) 長さ: 3+4+3+3+38=51
\(\mathrm{Succ}(x)=y:= x∈y∧¬∃z(x∈z∧z∈y)\) 長さ: 3*3+4+3*3=22
(y∈ωが成り立つときのみ有効)
\(\mathrm{IsSuccessor}(x):= ∃y(\mathrm{Succ}(y)=x)\) 長さ: 4+22=26
\(\mathrm{IsOmega}(x):=\)
\(\mathrm{NotZero}(x)∧∀y(y∈x→(\) 長さ: 7+3+4+3+9+
\(\mathrm{AreTransitive}(x,y)∧\) 41+3+
\(∃z(y∈z∧z∈x)∧\) 4+3*4+
\((\mathrm{NotZero}(y)→\mathrm{IsSuccessor}(y))))\) 7+9+26=128
順序対[]
\(\{x\}=y:= x∈y∧∀z(x∈y→x=z)\) 長さ: 3+3+4+3+9+3=25
\(\{x,y\}=z:= x∈z∧y∈z∧¬∃w(w∈z∧¬w=x∧¬w=y)\) 長さ: 3*5+4+3*7=40
\((x,y)=z:= \{x,\{x,y\}\}=z ∃w(\{x,y\}=w∧\{x,w\}=z)\) 長さ: 4+40+3+40=87
\((x,y)∈z:= ∃w((x,y)=w∧w∈z)\) 長さ: 4+87+3+3=97
濃度[]
\(\mathrm{IsInjectiveMap}(f,X,Y):=\)
\(∀x(x∈X→∃y(y∈Y∧(x,y)∈f∧\) 長さ: 4+3+9+4+3+3+97+3+
\(∀z((z∈Y∧(x,z)∈f)→y=z)∧\) 4+3+3+97+9+3+3+
\(∀z((z∈X∧(z,y)∈f)→x=z)))\) 4+3+3+97+9+3=367
\(|X|≤|Y|:= ∃f(\mathrm{IsInjectiveMap}(f,X,Y))\) 長さ: 4+367=371
\(\mathrm{IsSurjective}(f,X,Y):= ∀y(y∈Y→∃x(x∈X∧(x,y)∈f))\) 長さ: 4+3+9+4+3+3+97=123
\(|X|=|Y|:= ∃f(\mathrm{IsInjectiveMap}(f,X,Y)∧\mathrm{IsSurjective}(f,X,Y))\) 長さ: 4+367+3+123=497
アレフ[]
\(\mathrm{DefAlephs}(f):=\)
\(∀n(n∈ω→∃α((n,α)∈f)∧\) 長さ: 4+3+9+4+97+3=120
\((\mathrm{IsZero}(n)→α=ω)∧\) 長さ: 10+9+3+3=25
\(∀m∀β(((m,β)∈f∧\mathrm{Succ}(m)=n)→\) 長さ: 4*2+97+3+22+9=139
\((\mathrm{IsOrdinal}(α)∧¬|α|≤|β|∧∀γ(γ∈α→|γ|≤|β|))\) 長さ: 51+3+3+371+3+4+3+9+371=818
\())\) 長さ: 120+25+139+818=1102
意味: \((n,ℵ_n)∈f\) for \(n∈ω\)
部分集合とべき集合[]
\(x⊄y:= ∃z(z∈x∧¬z∈y)\) 長さ: 4+3*4=16
\(x⊆y:= x⊄y\) 長さ: 3+16=19
\(\mathcal{P}(x)=y:= ¬∃z(¬(¬(z⊆x∧¬z∈y)∧¬(z∈y∧z⊄x)))\) 長さ: 3+4+3+3+19+3*7+16=69
イーストンの定理[]
\(ℵ_{x_1}=2^{ℵ_0}:=\)
\(∃ω(\mathrm{IsOmega}(ω)∧∃f(\mathrm{DefAlephs}(f)∧\) 長さ: 4+128+3+4+1102=1241
\(∃X∃Y(\mathcal{P}(ω)=X∧(x_1,Y)∈f∧|X|=|Y|)\) 長さ: 4+4+69+3+97+3+497=677
\())\) 長さ: 1241+677=1918
したがって、宇宙を具体的に指定しない限り \(\mathrm{Rayo}(1918)\) はいくらでも大きくできます。
ラヨのオリジナルの設定のもとでは、非数学的な原理(すなわち哲学的実在論)により宇宙が指定されるので、\(2^{ℵ_0}<ℵ_ω\) ならば \(ℵ_n=2^{ℵ_0}\) は確定した数を命名するでしょう(それを知るすべがないとしても)。しかし結局数がいくつなのか知る上では役に立ちません。