ユーザーブログ:ゆきと/\(\omega\)-Y数列

概要

\(\omega\)-Y数列は、ゆきとが2020年7月に考案し、Naruyokoが2021年6月にプログラムによる定義を作成し、2021年9月にゆきとがそれを公式の定義であると宣言し、完成した表記です。大きさや停止性は未解決ですが、Y数列の極限よりも大きいと予想されています。

表記の定義

\(a\)を、自然数を要素に持つ正整数長の数列、\(n\)を自然数とする。

　　①　　　　\(\omega-Y()[n]=n\)

　　②　　　　\(\omega-Y(1,\omega)[n]=\omega-Y(1,n)[n]\)

　　③　　　　\(\omega-Y(a)[n]=\omega-Y(expand(a,n))[n+1]\)

ここで\(expand(a,n)\)は、こちらのソースコード 内にある関数expandで与えられます。

巨大数の定義

\(f(n)=\omega-Y(1,\omega)[n]\)　として

\(f^{2000}(1)\)

を、\(\omega\)-Y数列数とする。

順序数の定義

\(\omega-Y(1,\omega)\)に対応する順序数を、

\(\omega\)-Y Sequence Ordinal (\(\omega\)-YSO)

とする。

リンク

実際にここで\(expand(a,n)\)を計算することができます。

\(\omega\)-Y数列において重要な「MEGA-Mt.Fuji」を描画するプログラムはこちらです。

大まかな大きさ

\(\omega\)-Y数列は、その極限まで解析されてはいませんが、途中までだいたい以下のように近似されます。ただし、ハーディ階層で近似します。

\begin{eqnarray*}Y(1)&=&1\\Y(1,1)&=&2\\Y(1,2)&=&\omega\\Y(1,2,1,2)&=&\omega \times2\\Y(1,2,2)&=&\omega^2\\Y(1,2,2,2)&=&\omega^3\\Y(1,2,3)&=&\omega^{\omega}\\Y(1,2,3,4)&=&\omega^{\omega^{\omega}}\\Y(1,2,4)&=&\varepsilon_0\\Y(1,2,4,6)&=&\zeta_0\\Y(1,2,4,6,8)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_1(\psi_1(0))))\\Y(1,2,4,7)&=&\psi_0(\psi_2(0))\\Y(1,2,4,7,11)&=&\psi_0(\psi_3(0))\\Y(1,2,4,8)&=&\psi_0(\psi_{\omega}(0))\\Y(1,2,4,8,12)&=&\psi_0(\psi_{\omega^2}(0))\\Y(1,2,4,8,12,14)&=&\psi_0(\psi_{\psi_1(0)}(0))\\Y(1,2,4,8,12,15,9)&=&(0,(1,0,0))\end{eqnarray*}

ここで、\(\psi\)は拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記、\((0,(1,0,0))\)は多変数段階配列表記です。

また、バシク行列システムとは以下のような対応をすると期待されています。

\begin{eqnarray*}\omega-Y(1)&=&(0)\\\omega-Y(1,2)&=&(0)(1)\\\omega-Y(1,2,4)&=&(0,0)(1,1)\\\omega-Y(1,2,4,8)&=&(0,0,0)(1,1,1)\\\omega-Y(1,2,4,8,16)&=&(0,0,0,0)(1,1,1,1)\\\omega-Y(1,2,4,8,16,32)&=&(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)\\\omega-Y(1,3)&=&BMS\end{eqnarray*}

さらに、Y数列とは以下のような対応をすると期待されています。

\begin{eqnarray*}\omega-Y(1,3)&=&Y(1,3)\\\omega-Y(1,3,10)&=&Y(1,4)\\\omega-Y(1,3,10,37)&=&Y(1,5)\\\omega-Y(1,3,10,37,151)&=&Y(1,6)\\\omega-Y(1,4)&=&Y(1,\omega)\end{eqnarray*}

最後に

この表記に対してプログラムによる定義を与えてくださったNaruyokoさん

\(\omega-Y(1,4,16,19,16)\)問題を解決するきっかけを与えてくださったmrnaさん

展開が難しい例を与えてくださり、さらにMEGA-Mt.Fujiを見やすくしてくださったkoteitanさんに感謝します。