ユウレイ数

ユウレイ数は 400011Westo が2018年3月21日に考案したゴーストチェーン表記による巨大数である。第2回東方巨大数の計算可能部門 Extra ランクで優勝した。ツイートの削除とともにオリジナルの定義は消滅したが、2021年11月14日に作者により定義が復元された。

近似値は \(f_{\psi_0(\varepsilon_{\Omega_\omega+1})}^{69}(24) = f_{\psi_0(\psi_{\omega + 1}(0))}^{69}(24)\)。ただし、\(\psi\)は拡張ブーフホルツのψ関数である。

Gaoji によってゴーストチェーン表記のファンアートが作成されtwitterで公開されていたがその後非公開となり、更に後にリメイクされた。

定義

用語の定義

• 0 はボディである。
• ボディ S,T に対して、ST はボディである。ただし、0S=S とする。
• ボディ S に対して、→S はゴーストチェーンである。
• 自然数 a とゴーストチェーン G に対し、[G]_a はボディである。またこのボディのレベルを a とする。 また、[→0]_1=↓とする。
• ゴーストチェーン G に対し[G]_@はボディである。またこのボディのレベルを@とする。
• 自然数 a とボディ S と 0 でないかつ↓が並んだものでないボディ T について、 U=[→ST]_aのとき、U は T の親ボディで、T は U の子ボディである。 U=[→ST]_@のとき、U は T の親ボディで、T は U の子ボディである。
• 子ボディがないボディは核ボディである。

変形規則

自然数 n とボディ S に対し n&S を次に定める。ただし、a は自然数、T はボディとする。

• n&0=n
• n&T↓=4n&T

以下は S の子ボディの子ボディの……、と続けていった先の核ボディ (要は一番内側で右のボディ)に対する変形である。

• [→T↓]_a=[→T]_a[→T]_a…[→T]_a ([→T]_aが n 個)
• [→T↓]_@=[→T]_@ [→T]_@…[→T]_@( [→T]_@が n 個)
• [→↓]_@=[→↓]_n
• 核ボディが[→↓]_(a+1) のとき、これの親ボディのレベルを調べる。<そのレベルが a+1 未満の場合、そのボディ内のゴーストチェーンを計算範囲とし、そのレベルが a+1 以上または@のとき、さらにその親ボディのレベルを調べる。> <>内の動作を計算範囲が確定するまで繰り返す。計算範囲を r([→↓]_(a+1))とおくと、これを f^n(→↓)と変形する。ただし、f(x)=r([x]_a)とする。

計算例

• 3&[→↓]_1=3&[→0]_1[→0]_1[→0]_1=3&↓↓↓=12&↓↓=48&↓=192
• 2&[→↓↓]_1=2&[→↓]_1[→↓]_1=2&[→↓]_1↓↓=32&[→↓]_1=32×432=269
• 2&[→[→↓]_2]_1の場合、 [→[→↓]_2]_1の核ボディは[→↓]_2 であるため、計算範囲は→[→↓]_2 で、f(x)=→[x]_1 である。 したがって、2&[→[→↓]_2]_1=2&[f^2(→↓)]_1=2&[→[→[→↓]_1]_1]_1
• 3&[→[→[→↓]_3]_4]_1の場合、 [→[→[→↓]_3]_4]_1の核ボディは[→↓]_3 であるため、計算範囲は→[→[→↓]_3]_4 で、f(x)=→[→[x]_2]_4 したがって、3&[→[→[→↓]_3]_4]_1 = 3&[f^3(→↓)] = 3&[→[→[→[→[→[→[→↓]_2]_4]_2]_4]_2]_4]_1
• 3&[→[→↓]_@]_1=3&[→[→↓]_3]_1=3&[→[→[→[→↓]_2]_2]_2]_1
• 3&[→[→↓↓]_@]_1 = 3&[→[→↓]_@ [→↓]_@ [→↓]_@]_1 = 3&[→[→↓]@ [→↓]@ [→↓]_3]_1 = 3&[→[→↓]_@ [→↓]_@ [→[→↓]_@ [→↓]_@ [→[→↓]_@ [→↓]_@ [→↓]_2]_2]_2]_1

巨大数の定義

g(x)　=　x&[→[→…[→↓]_@…]_@]_1 (x 個の＠)　とするとき、ユウレイ数　=　g⁶⁹(24)とする。

評価

\(n\&0=n\)

\(n\&\downarrow=f^2_1(n)\)

\(n\&[\rightarrow\downarrow]_1\approx f_2(n)\)

\(n\&[\rightarrow\downarrow\downarrow]_1\approx f_3(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_1]_1\approx f_\omega(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_1\downarrow]_1\approx f_{\omega+1}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_1[\rightarrow\downarrow]_1]_1\approx f_{\omega\times2}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow\downarrow]_1]_1\approx f_{\omega^2}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_1]_1]_1\approx f_{\omega^\omega}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_1\approx f_{\varepsilon_0}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_1]_1\approx f_{\varepsilon_0\times2}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2\downarrow]_1]_1\approx f_{\varepsilon_0\times\omega}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_1]_1]_1\approx f_{\varepsilon_0^2}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2\downarrow]_1]_1]_1\approx f_{\varepsilon_0^\omega}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_1]_1]_1]_1\approx f_{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow\downarrow]_2]_1\approx f_{\varepsilon_1}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow\downarrow\downarrow]_2]_1\approx f_{\varepsilon_\omega}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_1]_2]_1\approx f_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2]_1\approx f_{\zeta_0}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2[\rightarrow\downarrow]_2]_1\approx f_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2]_1]_2]_1\approx f_{\varepsilon_{\zeta_0\times2}}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2[\rightarrow\downarrow]_2]_1]_2]_1\approx f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2]_2]_1\approx f_{\zeta_1}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2\downarrow]_2]_1\approx f_{\zeta_\omega}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow]_2[\rightarrow\downarrow]_2]_2]_1\approx f_{\eta_0}(n)\)

\(n\&[\rightarrow[\rightarrow[\rightarrow\downarrow\downarrow]_2]_2]_1\approx f_{\varphi(\omega,0)}(n)\)

変換写像による解析の一例で変換写像による解析がされている。予想が正しければ、ユウレイ数は適切な基本列を用いた拡張ブーフホルツのψ関数とハーディー階層の変形(\(H_{\alpha+1}(n)\)の定義が\(H_\alpha(n+1) \rightarrow H_\alpha(4n)\)に変更されている)で\(H_{\psi_0(\psi_{\omega+1}(0))}^{69}(24)\)と表される。