メガ (Mega) はスタインハウス・モーザー表記で「円の中の2」すなわち 、あるいは「五角形の中の2」で表記される数である[1]。メガは \(m_0 = 256\) と \(m_{n + 1} = m_n^{m_n}\) という数列によって、再帰的に \(m_{256}\) と定義される。

スタインハウスは、メガは \(Square(256) = 256[4]\) に等しいことを示した。

\(2[5] = 2[4]_{2} = (2[4])[4] = (2[3]_{2})[4] = ((2[3])[3])[4] = (2^{2}[3])[4] = (4[3])[4] = 4^{4}[4] = 256[4] = 256[3]_{256} \)

Sbiis Saibian は、最後の14桁を ...93539660742656 と計算した[2]

Robert MunafoNotable Properties of Specific Numbers [3] にリストされた数の中では2014年2月の時点で最大である。

他の表記による値と近似

Matt Hudelsonはこの数をゼルダと呼んだ。[4] 彼の多角形表記では、この数はTriangle(2)となる。

メガはハイパーモーザー表記でM(2,3)[5]下矢印表記で\(2 \downarrow\downarrow\downarrow 259\)と表記される。

メガは矢印表記でこのように近似出来る。

\[10\uparrow\uparrow 257 < \text{Mega} < 10\uparrow\uparrow 258\]

ハイパーE表記によって、さらに正確に近似出来る。

\[\text{E}619\#256 < \text{Mega} < \text{E}620\#256\]

したがって、ギゴルより大きくギゴルプレックスより小さい。

メガはm(n)変換の \(m(3)m(2)m(1)(2)\) と正確に一致し、またGoogology WikiユーザーのAllamによってこの値は急増加関数の \(2^{f_2^{257}(2)}\) とも正確に一致することが示された。[6]以下が証明である:

\(n \in \mathbb{N}\)に関する命題「\(m_n = 2^{f_2^{1+n}(2)}\)」を\(P(n)\)と置く。任意の\(n \in \mathbb{N}\)に対し\(P(n)\)が成り立つことを数学的帰納法で示す。
\(n=0\)ならば、\(m_0 = 256 = 2^8 = 2^{f_2(2)}\)より\(P(n)\)が成り立つ。\(n > 0\)ならば、帰納法の仮定\(P(n-1)\)より\(m_{n-1} = 2^{f_2^n(2)}\)が成り立つので、\(m_n = m_{n-1}^{m_{n-1}} = (2^{f_2^n(2)})^{2^{f_2^n(2)}} = 2^{f_2^n(2) \times 2^{f_2^n(2)}} = 2^{f_2(f_2^n(2))} = 2^{f_2^{n+1}(2)}\)となるので\(P(n)\)が成り立つ。
以上より、任意の\(n \in \mathbb{N}\)に対し\(P(n)\)が成り立つ。特に\(P(256)\)が成り立つので、\(m_{256} = 2^{f_2^{257}(2)}\)である。□

Daniel Corrêaは、\(256^{256} \approx 10^{616.509\dots}\)から、ハイパーE表記におけるメガの正確な近似値を以下の通りとした[7]

\( \text{E} 1992373902852015408770642294514701465291622352905945582973954623675744559282901 \\ 98520965498716430372315795558677290297278377397226872438336880416507588667030476 \\ 84995147926044802500789969233229482277620428871361665114606086501621360310636409 \\ 24782250697929301283423560589245788736058378749277742479820628518236904246949744 \\ 74381582400507113232450532054313721633555246142587482700641781836005501387677455 \\ 59315784832858638844869498054620521042914198455705585134437206064557323165937735 \\ 93160578638037837801826485742243275869674347763609175148326731059534829292701801 \\ 1128165226311150554708199087683524760666293693562405279021537\#255 \\ < \text{Mega} < \\ \text{E} 1992373902852015408770642294514701465291622352905945582973954623675744559282901 \\ 98520965498716430372315795558677290297278377397226872438336880416507588667030476 \\ 84995147926044802500789969233229482277620428871361665114606086501621360310636409 \\ 24782250697929301283423560589245788736058378749277742479820628518236904246949744 \\ 74381582400507113232450532054313721633555246142587482700641781836005501387677455 \\ 59315784832858638844869498054620521042914198455705585134437206064557323165937735 \\ 93160578638037837801826485742243275869674347763609175148326731059534829292701801 \\ 1128165226311150554708199087683524760666293693562405279021538\#255 \\ \)

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