メガ (Mega) はスタインハウス・モーザー表記で「円の中の2」すなわち ②、あるいは「五角形の中の2」で表記される数である[1]。メガは \(m_0 = 256\) と \(m_{n + 1} = m_n^{m_n}\) という数列によって、再帰的に \(m_{256}\) と定義される。
スタインハウスは、メガは \(Square(256) = 256[4]\) に等しいことを示した。
\(2[5] = 2[4]_{2} = (2[4])[4] = (2[3]_{2})[4] = ((2[3])[3])[4] = (2^{2}[3])[4] = (4[3])[4] = 4^{4}[4] = 256[4] = 256[3]_{256} \)
Robert Munafoの Notable Properties of Specific Numbers [2] にリストされた数の中では2014年2月の時点で最大である。
末尾の数[]
- Sbiis Saibian は、最後の14桁を ...93539660742656 と計算した[3]。
- Sbiis Saibian は、最後の2048桁を計算した[4]。
- フィッシュは、最後の10000桁を計算した[5]。
他の表記による値と近似[]
Matt Hudelsonはこの数をゼルダと呼んだ。[6] 彼の多角形表記では、この数はTriangle(2)となる。
メガはハイパーモーザー表記でM(2,3)[7]、下矢印表記で\(2 \downarrow\downarrow\downarrow 259\)と表記される。
メガは矢印表記でこのように近似出来る。
\[10\uparrow\uparrow 257 < \text{Mega} < 10\uparrow\uparrow 258\]
ハイパーE表記によって、さらに正確に近似出来る。
\[\text{E}619\#256 < \text{Mega} < \text{E}620\#256\]
メガはm(n)変換の \(m(3)m(2)m(1)(2)\) と正確に一致し、またGoogology WikiユーザーのAllamによってこの値は急増加関数の \(2^{f_2^{257}(2)}\) とも正確に一致することが示された。[8]以下が証明である:
- \(n \in \mathbb{N}\)に関する命題「\(m_n = 2^{f_2^{1+n}(2)}\)」を\(P(n)\)と置く。任意の\(n \in \mathbb{N}\)に対し\(P(n)\)が成り立つことを数学的帰納法で示す。
- \(n=0\)ならば、\(m_0 = 256 = 2^8 = 2^{f_2(2)}\)より\(P(n)\)が成り立つ。\(n > 0\)ならば、帰納法の仮定\(P(n-1)\)より\(m_{n-1} = 2^{f_2^n(2)}\)が成り立つので、\(m_n = m_{n-1}^{m_{n-1}} = (2^{f_2^n(2)})^{2^{f_2^n(2)}} = 2^{f_2^n(2) \times 2^{f_2^n(2)}} = 2^{f_2(f_2^n(2))} = 2^{f_2^{n+1}(2)}\)となるので\(P(n)\)が成り立つ。
- 以上より、任意の\(n \in \mathbb{N}\)に対し\(P(n)\)が成り立つ。特に\(P(256)\)が成り立つので、\(m_{256} = 2^{f_2^{257}(2)}\)である。□
Daniel Corrêaは、\(256^{256} \approx 10^{616.509\dots}\)から、ハイパーE表記におけるメガの正確な近似値を以下の通りとした[9]。
\[E(n)\#255 < \text{Mega} < E(n+1)\#255\]
ここで n は
である。したがってテトレーションの連続関数を使うと[10]
\[ \begin{array}{cl} \text{Mega} &\approx& E(n)\#255\\ &\approx& E(619.299370844483)\#256\\ &\approx& E(2.791900638803519)\#257\\ &\approx& E(0.4458999580817795)\#258\\ &=& 10 \uparrow\uparrow 257.4458999580817795 \end{array} \]