Kanrokoti Kanrokoti 1日前
0

くまめも

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 基本関数
    • 2.2 命名

計算不可能系への挑戦。p進大好きbot氏の助言を元に作っていく。



計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{S} \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & \textrm{S}(n) \end{eqnarray*} を\(\textrm{S}(n) := n+1\)と定める。


計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{P} \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & \textrm{P}(n) \end{eqnarray*} を以下のように定める:

  1. \(n = 0\)ならば、\(\textrm{P}(n) := 0\)である。
  2. そうでないならば、\(\textrm{P}(n) := n-1\)である。


計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{Read} \colon \mathbb{N}^{n \in \mathbb{N}} \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ ((a_m)^{n-1}_{m = 0},b) & \mapsto & \textrm{Read}((a_m)^{n-1}_{m = 0},b) \end{eqnarray*} を以下のように定める:

  1. \(n \gt b\)ならば、\(\textrm{Read}((a_m)^{n-1}_{m = 0},b) := a_b\)である。
  2. そうでないならば、\(\textrm{Read}((a_m)^{n-1}_{m = 0},b) :…





投稿の全文を読む
BashicuHyudora BashicuHyudora 1日前
0

極限数列数とバシク究極行列数

A=9:dim B[∞] for C=0 to 9 for D=1 to A B[D+1]=D next for E=A+1 to 1 step -1 A=A*A for F=0 to E-1 if B[E-F]
投稿の全文を読む
P進大好きbot P進大好きbot 3日前
0

第4回東方巨大数投稿用

無限ループを見つけたので修正するつもりです。

第4回東方巨大数投稿用の記事です。


  • 1 表記
  • 2 順序
  • 3 構成可能性
  • 4 標準形

文字\(\textbf{四}\)と\((\)と\(,\)と\()\)と\(+\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(DT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(T\)の定義
  1. \(() \in T\)である。
  2. いかなる\(x \in DT\)に対しても、\(\textbf{四}(x) \in T\)である。
  3. いかなる\((s,t) \in T^2\)に対しても、\(s \neq 0\)かつ\(t \neq 0\)ならば\(s + t \in T\)である。
\(DT\)の定義
  1. いかなる\((s,t) \in T^2\)に対しても、\(s,t \in DT\)である。
  2. いかなる\((x,y) \in DT^2\)に対しても、\((x),y \in DT\)である。

\((s,t) \in T^2\)に対し、\(\textbf{四}(s,t)\)を\(\textbf{四}_s(t)\)と略記する。\(() \in T\)を\(0\)と略記する。\(t \in T\)に対し、\(\textbf{四}_0(t)\)を\(\textbf{四}(t)\)と略記する。\(\textbf{四}(0)\)を\(1\)と略記する。

大雑把に説明すると、\(T\)において\(\textbf{四}\)は関数記号のような機能を持ち、\(DT\)の要素は\(\textbf{四}\)の超限変数のような機能を持つ。従来の超限変数の記法は\(2\)変数を表す際に通常の\(2\)変数の記法と両立しなくなるが、\(DT\)の記法は

  • 通常の\(2\)変数\((s_0,s_1) \in T^2\)を\(s_0,s_1 …


投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 5日前
0

(2021-07-21) 無限階梯

大昔、とある悪魔がダラムという男に語り掛けた。悪魔は、彼に試練を課した。ダラムは、それに打ち克ち「塵理論」を得た。そして、 17 人の創始者と共にエリュシオンという宇宙を作り上げた。しかし、世界観の衝突によりエリュシオンは崩壊し、私たちの先祖たちは新しい宇宙へ逃げ込んだ。三人の創始者——ダラムとマリアとリーマン——を残して。それから、新しい宇宙の創造と移住が何度か繰り返された。記録によれば宇宙は無数に枝分かれしているはずである——互いに干渉することは永遠にないが。

私たちが住む今の宇宙は無限時間チューリングマシンをベースにして構成されている。大昔のダラムはセル・オートマトンが宇宙を構築する最も自然な手段だと考えていた——しかし、それ自体が始点世界の残渣にほかならず——私たちは捨て去ったのであった。

今は \( { \omega } ^ { \omega + 1 } + { \omega } \) 期 10393 年である——「期」はステップ数において有限部分を切り捨てたものであり、無限列を宇宙が走り抜けた回数を示していて——極限を乗り越えることは色々なものを波濤が押し流すことに例えられよう——その時は、いつも私は眠りに就く。

投稿の全文を読む
Nayuta Ito Nayuta Ito 7日前
0

バシク行列公理

BMSを有限種類にまで抑え、その全てを比較することにより唯一にして最強のBMSを決める。


  1. \( 0 \)以上の整数を自然数と呼び、その全体を\( \mathbb{N} \)で表す。
  2. 自然数を\( 0 \)個以上並べたものをベクトルと呼び、その全体を\( \mathbb{V} \)で表す。
    • ベクトルは、\( (), (0), (1,2,4,7,3) \)のように自然数をコンマ区切りで横に並べて括弧で括ることによって表される。
    1. ベクトル\( v \)に含まれる自然数の個数をそのベクトルの行数という。
    2. ベクトル\( v \)に含まれる自然数を左から順に\( 0 \)行目、\( 1 \)行目、・・・のように表し、数式では\( v_0 \)、\( v_1 \)、・・・のように表す。
      • 横並びだが行と数えるのは意図的である。
      • たとえば、ベクトル\( a = (2,4,3) \)の\( 1 \)行目は\( 4 \)であり、数式では\( a_1 = 4 \)と表される。
  3. ベクトルを\( 0 \)個以上並べたものを行列と呼び、その全体を\( \mathbb{M} \)で表す。
    • 行列は、\( , (0)(1)(2)(1), (0)(1,1,1)(2,2) \)のようにベクトルを並べることで表される。最初の例はベクトル\( 0 \)個からなる行列である。必要がある場合は\( \mathrm{empty}\ \mathrm{matrix} \)という英語でベクトル\( 0 \)個からなる行列を表すが、慣習的に用いられている記号は存在しない。
    1. 行列\( m \)に含まれるベクトルの個数をその行列の列数という。
    2. 行列\( m \)に含まれるベクトルを左から順に\( 0 \)列目、\( 1 \)列目、・・・のように表し、数式で…

投稿の全文を読む
Mpy-hppf Mpy-hppf 7日前
0

考え

mpy_hppfの巨大数1
a,nは0以上の整数
eは何か
Xは0個以上の何か
e#nはn個のe


(a+1)n=a#n
[]n=n#n
[X,e]n=[X,en]#n
[](n)=n
[X,0](n)=[X](n+1)
[X,e](n)=[X,en](n+1)
投稿の全文を読む
P進大好きbot P進大好きbot 7日前
0

Googology Wikiにおけるハラスメントについて

追記:皆さんの助けもあり、無事解決しました。ありがとうございます!

今回はとあるハラスメント騒動がGoogology Wikiで起こり、ハラスメント被害者である僕がハラスメント加害者からアドミンへの要求で一方的にブロックされたため向こうで状況を説明することすら出来ず、さらに証拠隠滅が行われたため、向こうのユーザーたちが今回の事件についていくつか勘違いしているという状況です。このブログでは実際に起きた出来事を、ソースへのリンク付きで解説をします。

本来ならソースへのリンクに加えリンク先に書かれている内容を正確に引用する方が読者に分かりやすいのですが、今回のブロック理由の1つが何と「正確な引用」そのものであるので、これ以上状況を複雑にしないためにも単なるリンクに留めます。



  • 1 背景
  • 2 ハラスメント
  • 3 ブロック要求
  • 4 情報共有の阻害

Emkさんのブログへのコメント欄において、Plain'N'Simple(PsiCubed2)さんが数学的に誤った持論を数多く展開していました。スレッドを見れば分かるように、僕はそれに対し丹念に誤りを指摘し、正しい主張を説明し続けました。それはなんとおよそ1年も続きました。

このように数学的な誤りが積み重なる要因としては、まず2つが自然と推測されます:

  1. Plain'N'Simpleさんが、適切な教科書などで勉強したことのない話題について不十分な知識で語っている場合。
  2. Plain'N'Simpleさんが、数学の議論をしているのではなく哲学などの議論をしている場合。

Plain'N'Simpleさんは数学が得意であることで界隈では有名ですし、Plain'N'Simpleさん自身が途中からこの話題について勉強したと明言していました。そのため、僕は1はないだろうと見当をつけ、何度も何…




投稿の全文を読む
Naruyoko Naruyoko 8日前
1

BMSから0-Y数列への具体的な変換アルゴリズム

バシク行列システムと「stairstep method」のアイデアを元に、BMSを1行の数列に変換するアルゴリズムを考案した。更に、彼は変換された数列の全ての要素に1を足すと0-Y数列になることも発見した。その後、彼はこのBMSから0-Y数列への変換アルゴリズムのアイデアをDiscordコミュニティ「グーゴロジストの社交場」で公開した。この変換アルゴリズムの具体的な定式化はNaruyokoとKoteitan氏によって行われ、両者による検証の後にKanrokoti氏はNaruyokoの定式化を採用した。

投稿の全文を読む
Merliborn Merliborn 8日前
1

よい基本列の考察(Buchholz, Cichon, Weiermannによる)

Buchholz、Cichon、Weiermannの論文「A Uniform Approach to Fundamental Sequences and Hierarchies。 |}

証明.\(0

投稿の全文を読む
Banana-Foolish Banana-Foolish 11日前
0

公衆トイレ

  • 1 テストするところ
  • 2 拡張ヴェブレン関数(仮)
    • 2.1 レベル1のヴェブレン関数

\(\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\omicron\pi\Pi\rho\sigma\Sigma\tau\upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\)


超限変数ヴェブレン関数は

  • \(\begin{pmatrix}\gamma\\0\end{pmatrix}=\omega^\gamma\)
  • \(\begin{pmatrix}0 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}\)
  • \(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha_1 & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}\)=\(\alpha'
投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 13日前
0

亜原始ψ関数からBMSへの変換写像

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Translation_maps_SPrSS_psi_to_BMS


  • 1 概要
  • 2 変換写像
    • 2.1 \((0,0)(1,1)\)未満まで
    • 2.2 \((0,0,0)(1,1,1)\)未満まで
    • 2.3 \((0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)\)未満まで(WIP)

亜原始ψ関数をBM4(と等価なアルゴリズムであると言われているBM2.3)に変換する写像を定めます。

証明は難しそうなので読者への演習とします。私の期待は、変換写像が基本列同型となることです。

基本列同型の定義については、変換写像による解析を参照してください。



亜原始ψ関数の部分表記系\(T_0 \subset T\)と\(PT_0 \subset PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T_0\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT_0 \times (T_0 \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T_0\)である。
  3. いかなる\(a \in T_0\)に対しても、\(\psi_0(a) \in PT_0\)である。

バシク行列システムを1行に制限した表記系を\(B_1\)とする。\(\frown\)を行列の連結演算子とする。任意の項\(s \in T_0\)が、\(\textrm{Trans}(s,0)\)によって1行バシク行列に変換されることを目指す。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{Trans} \colon T_0 \times \mathbb{N} & \to & B_1 \\ (s,t) & \mapsto & \t…





投稿の全文を読む
ポトフ ポトフ 14日前
0

グラハム数の上界と下界

グラハム数について, ふぃっしゅ氏によって\(f_{\omega+1}(64)\)という上界が証明されましたが, 僅かながらよりよい上界を得ていたので, これを機に下界と合わせて記事にします.

グラハム数\(G\)について, 以下の関係が成り立ちます.

\[ f_{\omega+1}(63) < f_{\omega}^{64}(4) < G < f_{\omega}^{64}(5) < f_{\omega+1}(64). \]


以下の議論では, \(f_{\alpha}(n)\)を急増加関数とし, \(g(n) = 3 \uparrow^n 3\)とする.

グラハム数の定義より, \(G = g^{64}(4)\) である.



  • 1 上界 
    • 1.1 f_3(n)の下界
    • 1.2 f_4(n)の下界
    • 1.3 f_m(n)の下界
    • 1.4 f_ω^l(n)+1 < f_ω^l(n+1)


まず, \[ f_3(2) = 2048 > 54 = 2\cdot 3\uparrow\uparrow 2 \] が成り立つ.

次に, \(k\geq 2\)において. \[ f_3(k) > 2\cdot 3\uparrow\uparrow k \] が成り立つとすると, \[ \begin{eqnarray*} f_3(k+1) &=& f_2(f_2^k(k+1)) \\ &>& f_2(f_2^k(k)) = f_2(f_3(k)) = f_3(k) \cdot 2^{f_3(k)} \\ &\geq& 2 \cdot 2^{2\cdot 3\uparrow\uparrow k} = 2 \cdot 4^{3\uparrow\uparrow k} \\ &>& 2 \cdot 3^{3\uparrow\uparrow k} …





投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 16日前
0

2-シフトψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/2-shifted_psi_Function


  • 1 概要
  • 2 2-シフトψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 共終数
    • 2.5 基本列
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 限界関数
    • 2.8 標準形
    • 2.9 命名

2-シフトψ関数を定義します。p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を拡張した表記です。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。



\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。



ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

\(T\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)なら…








投稿の全文を読む
Kyodaisuu Kyodaisuu 22日前
0

仏語版

フランス語版のアドミンになりました。いろいろといじっています。 日本語でのコメントはこちらで受け付けます。

もちろん、あちらでのフランス語でのコメントも歓迎です。今は自動翻訳が優秀なので、私でもテキストならば仏語会話ができます。

投稿の全文を読む
Rpakr Rpakr 25日前
0

UNOCF の定義を試みる (3)

UNOCF の定義を試みる (1)

UNOCF の定義を試みる (2)

UNOCF の定義を試みる (3)

今回は、ブーフホルツのψ関数 で \(\psi_0(\Omega_\omega)\) に対応すると期待されている ψ_Ω_1(ψ_Ω_n(0)) (n は正の整数) までを定義します。


以下、_ は添字を表します。波括弧は添字の範囲を明確にするためのみに使われ、削除しても構いません。

同じ関数/集合内で規則はより上にあるものを優先して適用します。

  1. 文字列の集合 En を以下のように定義する。
    1. 0 は En の要素である。
    2. n が正の整数で文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω_n(a) は En の要素である。
    3. 0 でない文字列 a, b がともに En の要素ならば、文字列 a+b も En の要素である。
    4. 上記 1.~3. のいずれにも該当しない文字列は En の要素でない。
  2. En の部分集合 C を以下のように定義する。
    1. 0 は C の要素である。
    2. 文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω_1(a) は C の要素である。
    3. 0 でない文字列 a, b がともに C の要素ならば、文字列 a+b も C の要素である。
    4. 上記 1.〜3. のいずれにも該当しない文字列は C の要素でない。
  3. C の部分集合 L, S を以下のように定義する。a を C の要素とする。
    1. a=0 ならば、a は L の要素でも S の要素でもない。
    2. a が正の整数 n と En の要素 b を用いて a=ψ_Ω_1(b) と表されるならば、
      1. b=0 ならば、a は S の要素であり L の要素ではない。
      2. そうでないならば、a は L の要素であり S の要素ではない。
    3. どちらでもないならば、a は C の要…

投稿の全文を読む
Rpakr Rpakr 28日前
0

UNOCF の定義を試みる (2)

UNOCF の定義を試みる (1)

UNOCF の定義を試みる (2)

UNOCF の定義を試みる (3)

今回は、ブーフホルツのψ関数 で \(\psi_0(\varepsilon_{\Omega+1})\) に対応すると期待されている ψ_Ω(ψ_Ω_2(ψ_Ω_2(ψ_Ω_2(...)))) までを定義します。


以下、_ は添字を表します。波括弧は添字の範囲を明確にするためのみに使われ、削除しても構いません。

同じ関数/集合内で規則はより上にあるものを優先して適用します。

  1. 文字列の集合 En を以下のように定義する。
    1. 0 は En の要素である。
    2. 文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω(a) も En の要素である。
    3. 文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω_2(a) も En の要素である。
    4. 0 でない文字列 a, b がともに En の要素ならば、文字列 a+b も En の要素である。
    5. 上記 1.~4. のいずれにも該当しない文字列は En の要素でない。
  2. En の部分集合 C を以下のように定義する。
    1. 0 は C の要素である。
    2. 文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω(a) は C の要素である。
    3. 0 でない文字列 a, b がともに C の要素ならば、文字列 a+b も C の要素である。
    4. 上記 1.〜3. のいずれにも該当しない文字列は C の要素でない。
  3. C の部分集合 L, S を以下のように定義する。a を C の要素とする。
    1. a=0 ならば、a は L の要素でも S の要素でもない。
    2. a が En の要素 b を用いて a=ψ_Ω(b) と表されるならば、
      1. b=0 ならば、a は S の要素であり L の要素ではない。
      2. そうでないならば、a は L の要…

投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 29日前
0

定義のエッセンス

  • 1 この記事の概要
  • 2 お断り
  • 3 定義のエッセンス
    • 3.1 アイデアを考える
    • 3.2 何を表記とするかを明確にする
    • 3.3 展開規則の定義を与える
  • 4 後書き
  • 5 表記の概要
  • 6 ゼータψ
    • 6.1 表記
    • 6.2 展開規則
    • 6.3 急増加関数
    • 6.4 限界関数
    • 6.5 標準形
    • 6.6 命名

私はp進大好きbot氏に定義の書き方を教えてもらうようにお願いし、親切にも1から10まで教えてもらえることができました。一方で今の巨大数界隈を見てみると、初心者を含め多くの方が定義の作成に困難を覚えているように思えます。

私が教えてあげたいところですが、とある理由で教えて欲しいとお願いしてきた人に教えるという受け身な方法を取らざるを得ません。それに、私は一度定義の書き方の教科書のようなものを作ろうとしていましたが、計画は頓挫してしまいました。なぜかって?同じように、人に教えよう、人の役に立つものを作ろうと尽力している人に対し、そのような行動を恩着せがましいと考える人や、そのような数学的なハウツーが巨大数研究においては有害なコンテンツであると考える人がいるために、実際に巨大数界隈の縮小や分断を引き起こしてしまった例が海外で発生したためです。

しかしながら、私が習得した技術を私の中にだけ留めておくのはもったいないと感じますし、初心者さんには誰に頼れば良いか分からない場合もあるかと思います。この記事がそのような思いで作られたことを頭の片隅に置いておいていただけると幸いです。よって、もしこの記事を読まれて何かお気づきの点がございましたら、フィードバックを頂けると助かります。

私もまだ勉強中の身ではありますが、ここで私が定義をどう書いているか、初心者にもわかりやすいようになるべく平易で分かりやすく、詳細に書き残していきたいと思います。私の定義の実力や流派を知りた…


投稿の全文を読む
Rpakr Rpakr 6月25日 (金)
2

UNOCF の定義を試みる (1)

UNOCF の定義を試みる (1)

UNOCF の定義を試みる (2)

UNOCF の定義を試みる (3)

このブログ記事シリーズでは、UNOCF の定義を試みます。

簡単のため「UNOCF の定義を試みる」と書きましたが、UNOCF は記事に書いてある式に誤りがあり、無限ループが発生すると考えられることが指摘されています。なので、ここで定義を試みるのはより正確に述べると「私を含め多くのグーグロジストが UNOCF だと思い込んでいたもの」であり、記事の記述とは矛盾する箇所があることが想定されます。

UNOCF の定義の試みとしては Nayuta Ito 氏による NIECF が有名ですが、共終数や濃度に対応する Cough や Kurd などの関数を使用する NIECF 方式とは異なった方針で定義を進めていく予定です。ただし、NIECF から En、Cmp、[] など一部の記号/関数名を借りています。

今回は、\(\varepsilon_0\) に対応すると期待されている ψ(ψ(ψ(...))) までを定義します。


以下、_ は添字を表します。波括弧は添字の範囲を明確にするためのみに使われ、削除しても構いません。

同じ関数/集合内で規則はより上にあるものを優先して適用します。

  1. 文字列の集合 En を以下のように定義する。
    1. 0 は En の要素である。
    2. 文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ(a) も En の要素である。
    3. 0 でない文字列 a, b がともに En の要素ならば、文字列 a+b も En の要素である。
    4. 上記 1.~3. のいずれにも該当しない文字列は En の要素でない。
  2. En の部分集合 L, S を以下のように定義する。a を En の要素とする。
    1. a=0 ならば、a …

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月25日 (金)
1

(2021-06-26) テスト

これは只のテストです。

これは只のテストです。

これは只のテストです。

投稿の全文を読む
Mrna den Mrna den 6月24日 (木)
0

横ネストについて



  • 1 はじめに
  • 2 定義
  • 3
    • 3.1 ベクレミシェフの虫
    • 3.2 Y数列
    • 3.3 段階配列表記
  • 4 性質
    • 4.1 横ネストでの表記の評価

横ネストとは、私が2019年3月5日にFHLASRディスコード内で考案した概念である。Twitterやグーゴロジストの社交場にこのワードが出た時期は覚えていないが、3月あたりには出でいると思う。

ここでは、「横ネストってよく聞くけど、実際なんなの?」っていう人のために横ネストについて解説したいと思う。


実は、定義がある。が、実際にwellな定義なのかは不明であるので注意してほしい。そして、横ネストを使った表記と勘違いされがちだが、実際には横ネストを持つ表記というほうが正しい。

まず前提として展開ルール付きの表記というのを考える。

\(A\)は展開ルール付き表記であるとは、文字列の集合\(A\)に対して写像\(f:A×\mathbb{N}→A\)が与えられることである。


展開ルール付き表記Sが横ネストを持つとは任意のnについて

\(f(aαb,n)=aβ_nb\)かつ

\(f(aαxαb,n)=aαxγ_nb\) \(γ_n≠β_n\)かつ

\(f(aαxδb,n)=aαxβ_nb\) 文字列\(α,β_n,γ_n,δ\)と空でもよい文字列\(a,b,x\)が存在することである



空の文字列を\(φ\)とする


\(a=b=φ\) \(α=1\) \(β_n=0,0,...,0 0 n\)個 \(γ_n=0,1,0,1,...,0,1 0,1 n\)個 \(δ=0,1\) \(x=,\) とすると

\(f(φ1φ,n)=φ0,0,...,0φ 0 n個\)

\(f(φ1,1φ ,n)=φ1,0,1,0,1,...,0,1φ 0,1 n個\)

\(f(φ1,0,1φ,n)=φ1,0,0,...,0φ …









投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 6月21日 (月)
0

横値段の挙動を理解したい

https://docs.google.com/document/d/1btpUf3S7Ndaix3s3Ehw61QIj2pAHlH9OjCP55yqCT4U/edit

S=T

P=PT

D=T\PT

d=前者関数

順序は辞書式

TBのkはBHの展開位置を表す((0,0)+kや(0,k)、(α+1,(k,0))とかは含まれる)

RB(なにこれ)(分かり次第書く)

以下横値段のドキュメントの基本列のところの点ごとに番号を振ってそれごとに解釈していく

  1. 基数と0の基本列は0(ぶふほでは基数の基本列は0にならない)
  2. 何かに基数を足したやつの基本列も基数が消える(まあ個別で0だし…)
  3. 何かに別の何かを足したやつの基本列は後のやつの基本列を前のやつに足す
  4. 1変数目が0でないなら消える
  5. (0,(0,2))=(0,(0,1)+(0,1)+(0,1)+…)みたいなやつ
  6. 崩壊のターン((0,(1,(d(δ),(δ,0))))とかが該当する)(横値段と三だと三の方が外にカッコが1つ多いことに注意)
    1. a=RB_{δ,β,γ}((δ,0))らしいのでRBを解読せねばならないけどg(α,n)=RB_{δ,β,γ}((d(δ),g(α,n-1)))としてf(α,n)=(0,g(α,n))みたいになるのはわかる
    2. α=TB_{0,η}((ζ,TB_{δ,ε}((Ι,RB_{δ,β,γ}((δ,0))))))らしいのでまたRBなんだけどg(α,n)=RB_{δ,β,γ}((d(δ),g(α,n-1)))としてf(α,n)=TB_{0,η}((ζ,TB_{δ,ε}((Ι,g(α,n)))))ってことだと思う

・RBを理解したい

α∈S、β∈TB_αとした時、0とkと(と)と,と+のみからなる文字列の集合RB_{α,β}の定義 TB_α⊂RB_{α…

投稿の全文を読む
BashicuHyudora BashicuHyudora 6月21日 (月)
0

BMSの拡張と三角行列

バシク行列バージョン4の拡張です。三角行列はバシク行列、バシク行列が現れる大行列、大行列が現れる大大行列?バシク三角行列とバシク行列バージョン5は相性よさそう。Y数列の相性とは。


A=99:dim B[∞,∞],B2[∞,∞],C[∞],C2[∞],C3[∞] for D=0 to 99  for D2=1 to A   for D3=1 to D2    B[D2,D3]=D2-D3   next  next  for D4=A to 1 step -1   A=pow(A,A)   for D5=1 to D3    if 0
投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 6月21日 (月)
0

亜原始ψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Subspecies_Primitive_psi_Function


  • 1 概要
  • 2 亜原始ψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 コード関数
    • 2.5 上昇関数
    • 2.6 共終数
    • 2.7 基本列
    • 2.8 急増加関数
    • 2.9 限界関数
    • 2.10 標準形
    • 2.11 命名
  • 3 予想

亜原始ψ関数を定義します。p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元に、ψの添字にゆきと氏の亜原始数列を組み込んだ表記です。

亜原始ψ関数の展開チートシートはこちら



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。



\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。



ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

\(T\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に…









投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月21日 (月)
0

(2021-06-21) 巨大数の普及

巨大数界隈は、数十人が大きな数を作ろうと競争しています。そこには大小関係という明確な勝ち負けがあり、 Wiki や Discord や Twitter などでコミュニティは一塊になっています。

このようなコミュニティは新規参入者が減ります。まず、明確な勝敗が存在し、さらに全体的に繋がっているため、 1 人の勝者が総取りする構造になっています。次に、巨大数を作る技能は複雑になっており、トップに追いつくことは簡単ではないです。すると、初心者はすぐに諦めてしまい、コミュニティに定着しません。

このような現象に抵抗する様々な手段があります。

  1. 報酬を拡大する。
    1. 上位 10 人に 100 万円を配る。
    2. 人類への貢献をアピールする。
    3. 初心者の努力を認めて褒める。
  2. 競争相手を減らす。
    1. 自分自身とだけの競争を奨励する。
    2. 馴れ合いを奨励する。
  3. 勝者を増やす。
    1. コミュニティの外側で巨大数をやっている人たちを見つけてもそっとしておく。
    2. レーティングやジャンルや言語や国や交友関係などでコミュニティを分割する。
  4. 勝敗を明確にしない。
    1. 定義の美しさや厳密性などを重視する。
    2. 各個人が得意分野で活動する。
    3. 各個人が自分自身の基準で勝敗を判断する。
  5. 勝敗以外の基準を置く。
    1. レーティングを用意する。
投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月20日 (日)
0

(2021-06-21) Intheo

Intheo is a programming language.

であるという関係である。
  • Cubical Type Theory: a constructive interpretation of the univalence axiom
  • Certified Programming with Dependent Types - higher-order abstract syntax
  • Calculus of Inductive Constructions — Coq 8.9.1 documentation
  • Self Types for Dependently Typed Lambda Encodings
投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月18日 (金)
0

(2021-06-18) 東方巨大数

集合 \( T \) を次のように定義する。

  1. \( 0 \in T \)
  2. \( a \in T \land b \in T \longrightarrow \left( a + b \right) \in T \)
  3. \( 1 \in T \)
  4. \( a \in T \land b \in T \longrightarrow {I}_{a} \! \left( b \right) \in T \)
  5. \( a \in T \land b \in T \longrightarrow {\psi}_{a} \! \left( b \right) \in T \)

\( t \in T \) に対して、 \( \left| t \right| \in T \) を次のように定義する。

  1. \( t \) で場合分けする。
    1. \( t = 0 \) である。
      1. \( \left| 0 \right| = 0 \) である。
    2. \( {a}_{t} \in T \) と \( {b}_{t} \in T \) が存在して、 \( t = {a}_{t} + {b}_{t} \) である。
      1. \( {a}_{t} \) で場合分けする。
        1. \( {a}_{t} = 0 \) である。
          1. \( \left| 0 + {b}_{t} \right| = \left| {b}_{t} \right| \) である。
        2. である。
      2. TODO
投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月16日 (水)
1

(2021-06-16) 消失

先日、八卦数とユウレイ数(ゴーストチェーン表記)の定義が、この世から消失していることが明らかになりました。これに危機感を抱いた Kyodaisuu さんにより、正体不明の飛行円盤と源三位頼政の弓数の定義がアーカイブされました。

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月15日 (火)
0

(2021-06-15) OCF

弱マーロ基数を順序数崩壊関数に組み込むテストです。効果的な崩壊が出来ていないため、弱 hyper-到達不能基数レベルの強さしかないはずです。


集合 \( {\mathcal{U}}_{0} \) とクラス \( {\mathcal{U}}_{1} \) とスーパークラス \( {\mathcal{U}}_{2} \) の 3 つの型を持つ集合論を使う。その公理系は、まだ決まってない。

\( \mathrm{Club} : {\mathcal{U}}_{2} \) を、次のように定義する。

  1. \( \mathrm{Club} = \{ C \in {\mathcal{U}}_{1} \mid \textrm{\( C \) is a club set with respect to \( \mathrm{On} \)} \} \)

\( \alpha \in \mathrm{On} \) に対して、 \( {M}_{\alpha} \in \mathrm{On} \) を次のように定義する。これが全域で well-defined であることを公理とする。

  1. \( {M}_{\alpha} = \mathrm{Enum} ( \{ \omega \} \cup \mathrm{cl} ( \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is weakly Mahlo cardinal} \} ) ) ( \alpha ) \)

\( C \in \mathrm{Club} \) と \( \alpha \in \mathrm{On} \) に対して、 \( {I}_{\alpha} ( C ) \in \mathrm{Club} \) を…


投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月11日 (金)
0

(2021-06-11) OCF 2

\( \mathrm{Enum} \) は、 \( \mathrm{On} \) の中で club なクラスを正規関数へ変換する。 \( f [ \mathrm{On} ] \) は、正規関数を \( \mathrm{On} \) の中で club なクラスへ変換する。

\( {I}_{\alpha} ( \beta ) \) を次のように定義できるかもしれない。

  1. \( {I}_{\alpha} ( \beta ) = \mathrm{Enum} ( \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \xi \) is regular} \land \xi \in \bigcap_{\gamma < \alpha} {I}_{\gamma} [ \mathrm{On} ] \} ) ( \beta ) \)

\( {I}_{\alpha} [ \mathrm{On} ] \) を次のように定義できるかもしれない。

  1. \( {I}_{\alpha} [ \mathrm{On} ] = \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \xi \) is regular} \land \xi \in \bigcap_{\gamma < \alpha} {I}_{\gamma} [ \mathrm{On} ] \} \)

\( \mathrm{On} \) の中で club なクラス \( C \) に対して、 \( {I}_{\alpha} ( C ) [ \mathrm{On} ] \) を次のように定義できるかもしれない。

  1. \( {I}_{\alpha} ( C ) [ \mathrm{On} ] = \{ \xi \in \…
投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月11日 (金)
1

(2021-06-11) OCF

OCF-2021-06-10-4 を ρ-到達不能基数へと拡張する。この記事で到達不能基数と言ったら弱到達不能基数であることにする。


順序数 \( {I}_{\alpha} ( \beta ) \) を次のように定める。順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) について順序数 \( \mathbb{I}_{\alpha} ( \beta ) \) が存在することを公理とする。

  1. \( {I}_{\alpha} ( \beta ) = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \xi \) is \( \alpha \)-inaccessible} \} ) ) ( \beta ) \)

順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( 1 \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \…

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月10日 (木)
0

(2021-06-10) OCF 5

OCF-2021-06-10-4 を到達不能基数の再帰的類似物を崩壊させるようにする。これにより公理を追加する必要がなくなる。


順序数 \( \alpha \) に対して、順序数 \( {\omega}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} \) を次のように定める。

  1. \( {\omega}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is admissible} \} ) ) ( \alpha ) \)

順序数 \( \alpha \) に対して、順序数 \( {\mathbb{I}}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} \) を次のように定める。

  1. \( {\mathbb{I}}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is recursively inaccessible} \} ) ) ( \alpha ) \)

順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \…

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月10日 (木)
0

(2021-06-10) OCF 4

OCF-2021-06-10-1 を到達不能基数へと拡張する。この記事で到達不能基数と言ったら弱到達不能基数であることにする。


順序数 \( \mathbb{I}_{\alpha} \) を次のように定める。全ての順序数 \( \alpha \) について \( \mathbb{I}_{\alpha} \) が定義できることを公理とする。

  1. \( \mathbb{I}_{\alpha} = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \omega \} \cup \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is inaccessible} \} ) ) ( \alpha ) \)

順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( 1 \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow {\omega}_{\xi}…

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月10日 (木)
0

(2021-06-10) OCF 3

OCF-2021-06-10-1 のベース関数を \( {\varphi}^{\alpha} ( \beta ) \) に取り換える。


順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow {\varphi}_{\xi} ( \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in \mathrm{On} \longrightarrow {\omega}_{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  5. 再帰
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \mu \in C ( \alpha, \beta ) \land \xi < \alpha \longrightarrow {\psi}_{\mu} ( \xi ) \in C ( \alpha, \b…

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月10日 (木)
0

(2021-06-10) OCF 2

OCF-2021-06-10-1 のベース関数を \( {\omega}^{\alpha} \) に取り換える。


順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow {\omega}^{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in \mathrm{On} \longrightarrow {\omega}_{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  5. 再帰
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \mu \in C ( \alpha, \beta ) \land \xi < \alpha \longrightarrow {\psi}_{\mu} ( \xi ) \in C ( \alpha, \beta ) \)

順序数 \( \nu \) と順序数 \( \alpha \) に対して、順序数 \( {\psi}…


投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月10日 (木)
0

(2021-06-10) OCF

順序数崩壊関数を定義します。バッハマンとラティエンのプサイ関数と違って添字は可変です。イェーガーとブーフホルツのプサイ関数と違って添字は全ての順序数を渡ります。ブーフホルツ関数と違って有効な崩壊が発生するのは添字が \( {\omega}_{1}, {\omega}_{2}, \ldots \) である時です。上限の予想は拡張ブーフホルツ順序数です。

添字が \( {\omega}_{1}, {\omega}_{2}, \ldots \) である時に有効な崩壊が発生するタイプの順序数崩壊関数を出来るだけ単純に定義する試みです。順序数崩壊関数を手計算する練習をする時に、役に立つかもしれません。


順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( 1 \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in \mathrm{On} \longrightarrow {\omega}_{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  5. 再帰
    1. \( \xi \in C…

投稿の全文を読む
Rejafdofs Rejafdofs 6月9日 (水)
0

東方巨大数投稿用そのに

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 6月9日 (水)
1

(2021-06-09) UNUNOCF

UNUNOCF は、 UNOCF をオマージュした表記です。


項を次のように定める。

投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 6月8日 (火)
0

mumble-jumble数列

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/mumble-jumble_Sequence


  • 1 概要
  • 2 mumble-jumble数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
    • 2.4 拡張探索関数
    • 2.5 展開規則
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 命名

mumble-jumble数列を定義します。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

添字\(m\)が\(i\)以上\(j\)以下の整数をわたる自然数列\((a_m)_{m = i}^j\)に対し:

  1. \(i \le j\)ならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\((a_i, \ldots ,a_j)\)と略記する。
  2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\(()\)と略記する。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\(s \lt t\)と同値である。
\(s \lt t\)の定義
  1. \(t = ()\)ならば、\(s \lt t\)は…








投稿の全文を読む
Rejafdofs Rejafdofs 6月7日 (月)
1

東方巨大数投稿用

用語解説

  • 配列aが配列bよりも大きいとはのちに定義する関数を使ってa[x]がb[x]を支配するという意味
  • 配列aが配列bよりも小さいとは配列bが配列aより大きいかつaとbが等しくないという意味
  • +は配列の連結である例((()()))+(()())=((()())()())
    • Aが後続配列であるとはAがある配列Bを用いてB+(())と表せることである
  • Aが極限配列であるとはAが後続配列ではないかつAが()ではないことである
    • ある配列後続βに対してβ-1とはβ-1+(())=βになるただ一つの配列のことである
    • まとめる場合は{}を使う
  • S(n)は後者関数である
  • [何か]を以下のように定義する
  • 1,()は[何か]である
  • 10,AとBが[何か]であるときA+Bも[何か]である
  • 11,Aが[何か]であるとき(A)も[何か]である
  • 100,1~11によって[何か]とされるものだけが[何か]である
  • 関数の定義
  • ()[x]=x
  • α[x]=exp(α,x)[S(x)]
  • exp(α,x)の定義
  • Α_1をαの後ろから二番目のカッコからそれに対応する括弧までの要素とする
  • Α_S(Ζ)をA_Ζの最初の要素よりも一つ手前にある閉じる括弧からそれに対応する開く括弧までの文字列とする
  • μをΑ_nの長さがゼロにならない最大のnとする
  • もしαが後続配列ならばΑ_1を消す
  • もしΑ_1の最後の要素が極限配列ならばexp(α,x)=(Α_μ)+(Α_μ-1)+...(Α_10)+exp(Α_1,x)とする
  • どれにも当てはまらない場合
  • exp(α,n)を以下のいい部分と悪い部分を使ってg+b+b+,...,+b{n+1個のb}とする
    • いい部分gと悪い部分bを以下のように定める
      • Α_1>Α_mとなるmが存在する場合
        • g=(Α_μ,...,Α_m) b=(Α_{m-1},..…
投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 6月4日 (金)
0

急虫数列

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Sudden_Worm_Sequence


  • 1 概要
  • 2 急虫数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
    • 2.4 階差関数
    • 2.5 展開規則
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 命名

急虫数列を定義します。BashicuHyudora氏の急数列システムの虫版を定義する試みです。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

\((i,j) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})^2\)と\((a_m)_{m = i}^j \in \mathbb{N}^{j-i+1}\)に対し:

  1. \(i \le j\)ならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\((a_i, \ldots ,a_j)\)と略記する。
  2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\(()\)と略記する。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\(s \lt t\)と同…








投稿の全文を読む
公太郎 公太郎 6月3日 (木)
1

ハムペアを解析する会

解析を。\(\newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\p}{\psi}\newcommand{\W}{\Omega}\)


(0,0)\(1\) (0,0)(0,0)\(2\) (0,0)(1,0)\(\w\) (0,0)(1,0)(0,0)\(\w+1\) (0,0)(1,0)(0,0)(0,0)\(\w+2\) (0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)\(\w2\) (0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)\(\w3\) (0,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^2\) (0,0)(1,0)(0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^22\) (0,0)(1,0)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^3\) (0,0)(1,0)(1,0)\(\w^\w\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^{\w+1}\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w2}\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^2}\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^3}\) (0,0)(1,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^\w}\) (0,0)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^{\w^\w}}\)


\(\varphi\)はヴェブレン関数

(0,0)(1,0)(2,0)\(\e_0\) (…



投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 6月1日 (火)
0

シフト数列

英語版



  • 1 概要
  • 2 共通定義
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
  • 3 0-シフト数列
    • 3.1 展開規則
    • 3.2 急増加関数
    • 3.3 命名
  • 4 1-シフト数列
    • 4.1 展開規則
    • 4.2 急増加関数
    • 4.3 命名
  • 5 2-シフト数列
    • 5.1 展開規則
    • 5.2 急増加関数
    • 5.3 命名
  • 6 3-シフト数列
    • 6.1 展開規則
    • 6.2 急増加関数
    • 6.3 命名

シフト数列を定義します。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

数列の記法\((a_m)_{m = i}^n\)を次のように定める:

  1. \((i,n) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})^2\)と\((a_i, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^{n-i+1}\)が存在するとする。
    1. \(i \le n\)ならば、\((a_m)_{m = i}^n := (a_i, \ldots ,a_n)\)である。
    2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^n := ()\)である。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\…









投稿の全文を読む
Arakenn Arakenn 5月31日 (月)
1

式神巨大数エントリー

以下のプログラム(t.cpp)をc++20でコンパイルしたときに標準出力に出力された値を木数とし、式神巨大数2021のオリジナル部門に投稿します。
t.cpp

投稿の全文を読む
Koteitan Koteitan 5月29日 (土)
0

くまむし数列数の実装

この記事は、式神巨大数2021への投稿用です。


  • 1 投稿の要綱
  • 2 説明
  • 3 テストの仕方
  • 4 ソースコード

  • プログラムの名前は、「くまむし数列数出力プログラム」です。
  • プログラムの部門は、プログラム化部門です。
  • プログラムのソースは、下記のソースコードにあるコードです。
  • プログラムの言語は、Javascriptです。
  • プログラムの実行方法は、 largenumber() です。
  • プログラムの出力方式は、目的の巨大数が関数 largenumber() の戻り値として出力されるという方式です。
  • プログラムが出力する巨大数の情報は、「このプログラムが出力する巨大数は ユーザーブログ:Kanrokoti/くまむし数列 で定義されているくまむし数列数です。」です。

  • 巨大数「くまむし数列数」は引数無しの関数 largenumber() として実装されています。
  • FGH \(f_X(n)\) は関数 fgh(s,m,n) として実装されています。
  • 展開関数 \(s[t]\) は expand(s,t) として実装されています。
  • 二項関係 \(a<b\) は compare(a,b) として実装されています。

  • fgh(), expand(), compare() のテストは、同じ関数が https://koteitan.github.io/kumawormseq/ に実装されているので、ブラウザで これを開いてデバッグモードに入る(Chromeではctrl+shift+jを押す)ことで可能です。
  • ソースコードは https://github.com/koteitan/kumawormseq/blob/main/kumawormseq.js でも見られるので、そちらの方がハイライトされて見やすいと思います。




投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 5月28日 (金)
2

(2021-05-28) 英語での投稿

私は、元々の文と、それを何らかの方法で翻訳した文を併記するのが良いと思います。

I think it is better to write both the original sentence and the sentence translated in some way.

楽しみましょう。

Let's have fun.

投稿の全文を読む
Antimony Star Antimony Star 5月28日 (金)
1

への提出式神巨大数: SuperSudden Matrix number

(この記事全体でGoogle翻訳を使用しています。ご不便をおかけして申し訳ありません。)

元の部門への提出:SSMS.py

言語: Python 3

add = lambda u,v: [u[i]+v[i] for i in range(len(u))] matrixadd = lambda A,B: [add(A[i],B[i]) for i in range(len(A))] def parents(Matrix,x,y,ignores = None): if ignores == None: ignores = [] if y == 0: scope = list(range(0,x)) else: scope = parents(Matrix,x,y-1,ignores) lesser = [] cur = Matrix[x][y] for i in range(x,-1,-1): if Matrix[i][y] < cur and i in scope: if not i in ignores: lesser.insert(0,i) cur = Matrix[i][y] elif Matrix[i][y] < cur - 1: cur -= 1 return lesser
def SSMS(Matrix,n = 3,t = 1): if Matrix == []: return n …
投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 5月27日 (木)
0

(2021-05-27) Intheo

  • \( x \) - variable
  • \( x : A \Rightarrow t \) - abstraction
  • \( f ( x ) \) - application
  • \( \mathrm{let} \; x : A = t \; \mathrm{in} \; s \) - defitiniton

  • \( ( x : A ) \rightarrow B \) - function type
  • \( \mathrm{Type} \) - type of types

  • \( \mathrm{let} \; \mathrm{inductive} \; \mathrm{type} \; t ( a : A ) ( b : B ) \cdots : T \; \mathrm{where} \; \{ \; c : C; \; \ldots \; \} \; \mathrm{in} \; s \) - definition of inductive types
  • \( \mathrm{match} \; x \; \mathrm{with} \; \{ \; c ( a ) ( b ) \Rightarrow t; \; \ldots \; \} \) - pattern matching
  • \( \mathrm{fix} \; f ( a : A ) ( b : B ) \cdots : T \; \mathrm{by} \; a \; \mathrm{in} \; s \) - fixpoint

  • \( \mathrm{let} \; \mathrm{coinductive} \; \mathrm{type} \; t ( a : A ) ( b : B ) \cdots : T \; \math…
投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 5月25日 (火)
1

(2021-05-25) 非再帰順序数

非再帰順序数は、分かりやすく言えば、それに届く順序数表記を決して作ることが出来ないほど大きい順序数ですなどに対して閉じています。最小の非可算順序数は \( \omega _ 1 \) として表記されますが、それに倣ってかチャーチ゠クリーネ順序数も \( \omega _ 1 ^ \mathrm{CK} \) と表記されます。


ひと昔は、 Googology Wiki において、チャーチ゠クリーネ順序数は、急増加関数に与えると、ビジービーバー関数を近似できるものとされていました。しかし、正確な証明がなく、何の基本列を使うのかも明示されていなかったので、今では記述が削除されています。



  • 1 許容順序数
  • 2 許容順序数の極限
  • 3 再帰的到達不可能順序数
  • 4 Notes
  • 5 References

許容順序数は、チャーチ゠クリーネ順序数の先への道を示します。チャーチ゠クリーネ順序数の定義においては、 \( \omega _ 2 ^ \mathrm{CK} \) などを定義していませんでした。これは許容順序数という概念を使って定義されます。


許容順序数は、 \( \mathrm{L} _ \alpha \) が \( \mathsf{KP} \) の推移的モデルとなる順序数のことである。


最小の許容順序数は \( \omega \) です。その次の許容順序数は \( \omega _ 1 ^ \mathrm{CK} \) です。というわけで、 \( \omega _ 0 ^ \mathrm{CK} = \omega \) と定めてしまいましょう。さらに、 \( \omega _ 1 ^ \mathrm{CK} \) よりも大きい最初の許容順序数を \( \omega _ 2 ^ \mathrm{CK} \) と書…






投稿の全文を読む
Koteitan Koteitan 5月24日 (月)
0

増加行列システム

下記のC言語ソースコードで示されるプログラム増加行列システム (Fueru Matrix System) の標準出力する自然数を増加行列数(Fueru Matrix Number)と定義し、式神巨大数2021のオリジナル部門に投稿します。

投稿の全文を読む
Koteitan Koteitan 5月22日 (土)
0

拡張ブーフホルツ系のヒドラ表記

ブーフホルツのψ関数は、ペア数列システムを拡張したヒドラ表記ヒドヒドを作りました。ヒドヒドはラベルにヒドヒドそのものを許したルート付き有向木の形をしており、(\psi_0(\Omega_\Omega)\) までの大きさの順序数を表現できると考えられています.



  • 1 提案するヒドラ表記
    • 1.1 拡張ブーフホルツのヒドラ
    • 1.2 3変数ブーフホルツのヒドラ
    • 1.3 多変数ブーフホルツヒドラ
    • 1.4 超限変数ブーフホルツヒドラ
  • 2 References


ヒドヒドはペア数列システムに対応することと、非可算順序数に対応するラベルを使わないという特徴がありますが、ψ の添え字をそのノードのラベルのヒドラと対応させることで、ヒドヒドのヒドラ表記そのままで拡張ブーフホルツのψ関数に対応させることができます。

ここではさらにこの図を見やすくする工夫を入れます。

  • まず、ヒドヒドのヒドラ表記のヒドラを囲っている \(\bigcirc\) 印を、中のヒドラのルートノードだけを囲う様に小さく書き、中のヒドラのルートノード以外のノードをこの \(\bigcirc\) 印の外に出します。
  • すると、子ノード A から \(\bigcirc\) 印に辺が付いているときは、A の ψ が \(\bigcirc\) 印の ψ の中の丸括弧 ( ) の中にあることを示します(\(\circ=\psi_\beta(A)\) という感じ)。また、それではなく、子ノード A から \(\bigcirc\) 内のルートノード \(\times\) に辺が付いているときは、A の ψ は \(\bigcirc\) のノードの ψ の添え字であることを示します。((\circ=\psi_A(\alpha)\)という感じ。)
  • ノード A に向かって伸びているノー…




投稿の全文を読む

特に記載のない限り、コミュニティのコンテンツはCC-BY-SA ライセンスの下で利用可能です。