BashicuHyudora BashicuHyudora 14時間前
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BMSの拡張と三角行列

バシク行列は巨大行列を多次元方向に拡大しても及ばないシステムです。バシク行列に巨大行列がぽこぽこあらわれるというか、全部あらわれるのは超巨大行列システムの方だったり。(そんなものあったか?)というわけで同じように巨大行列の次にバシク行列、バシク行列の次にバシク三角行列ときて、この極限を考えましょう。ここではちょうど三行以内でω未満の列を組めるように巨大行列、バシク行列、バシク三角行列の超限を考えます。とりあえず、階差数列もかかわっていき、というか階差行列なるものです(名称未定)。あ、それでバシク超行列みまん(おそらく)なのでご安心を。


A=99:dim B[∞,∞],B2[∞,∞],C[∞],C2[∞],C3[∞] for D=0 to 99  for D2=1 to A   for D3=1 to D2    B[D2,D3]=D2-D3   next  next  for D4=A to 1 step -1   A=pow(A,A)   for D5=1 to D3    if 0
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Kanrokoti Kanrokoti 14時間前
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亜原始ψ関数

英語版



  • 1 概要
  • 2 亜原始ψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 cut part探索関数
    • 2.5 親探索関数
    • 2.6 bad part1関数
    • 2.7 bad part2関数
    • 2.8 bad part3関数
    • 2.9 共終数
    • 2.10 基本列
    • 2.11 急増加関数
    • 2.12 限界関数
    • 2.13 標準形
    • 2.14 命名

亜原始ψ関数を定義します。p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元に、ψの添字にゆきと氏の亜原始数列を組み込んだ表記です。

亜原始数列の強さは\(\varphi(\omega,0)\)と予想されているため、添え字に組み込まれた数列の強さがそのネストの強さを決めるのであれば、亜原始ψ関数は\(\Gamma_0\)の強さの数列が組み込まれていると考えられるp進大好きbot氏の三関数とMrna den氏の横ネスト段階配列表記、そして私の弱ハイパーψ関数よりは弱いと予想することができます。ゆきと氏は亜原始ψ関数の強さを\(\textrm{BM4}(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,0)\)と予想しているため、亜原始ψ関数の強さを解析することで

  • 「添え字に組み込まれた数列の強さがそのネストの強さを決める」という考え方が正しいかどうか
  • 横ネスト系表記の強さ
  • ゆきと氏の予想方法の有効性

に対して一定の回答を与えることが期待できます。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である…





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Hexirp Hexirp 15時間前
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(2021-06-21) 巨大数の普及

巨大数界隈は、数十人が大きな数を作ろうと競争しています。そこには大小関係という明確な勝ち負けがあり、 Wiki や Discord や Twitter などでコミュニティは一塊になっています。

このようなコミュニティは新規参入者が減ります。まず、明確な勝敗が存在し、さらに全体的に繋がっているため、 1 人の勝者が総取りする構造になっています。次に、巨大数を作る技能は複雑になっており、トップに追いつくことは簡単ではないです。すると、初心者はすぐに諦めてしまい、コミュニティに定着しません。

このような現象に抵抗する様々な手段があります。

  1. 報酬を拡大する。
    1. 上位 10 人に 100 万円を配る。
    2. 人類への貢献をアピールする。
    3. 初心者の努力を認めて褒める。
  2. 競争相手を減らす。
    1. 自分自身とだけの競争を奨励する。
    2. 馴れ合いを奨励する。
  3. 勝者を増やす。
    1. コミュニティの外側で巨大数をやっている人たちを見つけてもそっとしておく。
    2. レーティングやジャンルや言語や国や交友関係などでコミュニティを分割する。
  4. 勝敗を明確にしない。
    1. 定義の美しさや厳密性などを重視する。
    2. 各個人が得意分野で活動する。
    3. 各個人が自分自身の基準で勝敗を判断する。
  5. 勝敗以外の基準を置く。
    1. レーティングを用意する。
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Hexirp Hexirp 1日前
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(2021-06-21) Intheo

Intheo is a programming language.



  • Cubical Type Theory: a constructive interpretation of the univalence axiom
  • Certified Programming with Dependent Types - higher-order abstract syntax
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BashicuHyudora BashicuHyudora 2日前
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バシクキューブ

??????????-------バシク極限行列 / | / | バシク行列--------バシク超行列| | | | | 原始数列/階差数列-超数列/急数列
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Kanrokoti Kanrokoti 3日前
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weird-wired数列

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/weird-wired_Sequence


  • 1 概要
  • 2 weird-wired数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
    • 2.4 階差関数
    • 2.5 展開規則
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 命名

weird-wired数列を定義します。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

いかなる\((i,j) \in \mathbb{N}^2\)と添字\(m \in \mathbb{N}\)が\([i,j]\)をわたる自然数列\((a_m)_{m = i}^j\)に対しても:

  1. \(i \le j\)ならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\((a_i, \ldots ,a_j)\)と略記する。
  2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\(()\)と略記する。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\(s \lt t\)と同値である。
\(s \lt …








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Hexirp Hexirp 3日前
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(2021-06-18) 東方巨大数

集合 \( T \) を次のように定義する。

  1. \( 0 \in T \)
  2. \( a \in T \land b \in T \longrightarrow \left( a + b \right) \in T \)
  3. \( 1 \in T \)
  4. \( a \in T \land b \in T \longrightarrow {I}_{a} \! \left( b \right) \in T \)
  5. \( a \in T \land b \in T \longrightarrow {\psi}_{a} \! \left( b \right) \in T \)

\( t \in T \) に対して、 \( \left| t \right| \in T \) を次のように定義する。

  1. \( t \) で場合分けする。
    1. \( t = 0 \) である。
      1. \( \left| 0 \right| = 0 \) である。
    2. \( {a}_{t} \in T \) と \( {b}_{t} \in T \) が存在して、 \( t = {a}_{t} + {b}_{t} \) である。
      1. \( {a}_{t} \) で場合分けする。
        1. \( {a}_{t} = 0 \) である。
          1. \( \left| 0 + {b}_{t} \right| = \left| {b}_{t} \right| \) である。
        2. である。
      2. TODO
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Hexirp Hexirp 5日前
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(2021-06-16) 消失

先日、八卦数とユウレイ数(ゴーストチェーン表記)の定義が、この世から消失していることが明らかになりました。これに危機感を抱いた Kyodaisuu さんにより、正体不明の飛行円盤と源三位頼政の弓数の定義がアーカイブされました。

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Hexirp Hexirp 6日前
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(2021-06-15) OCF

弱マーロ基数を順序数崩壊関数に組み込むテストです。効果的な崩壊が出来ていないため、弱 hyper-到達不能基数レベルの強さしかないはずです。


集合 \( {\mathcal{U}}_{0} \) とクラス \( {\mathcal{U}}_{1} \) とスーパークラス \( {\mathcal{U}}_{2} \) の 3 つの型を持つ集合論を使う。その公理系は、まだ決まってない。

\( \mathrm{Club} : {\mathcal{U}}_{2} \) を、次のように定義する。

  1. \( \mathrm{Club} = \{ C \in {\mathcal{U}}_{1} \mid \textrm{\( C \) is a club set with respect to \( \mathrm{On} \)} \} \)

\( \alpha \in \mathrm{On} \) に対して、 \( {M}_{\alpha} \in \mathrm{On} \) を次のように定義する。これが全域で well-defined であることを公理とする。

  1. \( {M}_{\alpha} = \mathrm{Enum} ( \{ \omega \} \cup \mathrm{cl} ( \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is weakly Mahlo cardinal} \} ) ) ( \alpha ) \)

\( C \in \mathrm{Club} \) と \( \alpha \in \mathrm{On} \) に対して、 \( {I}_{\alpha} ( C ) \in \mathrm{Club} \) を…


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Hexirp Hexirp 10日前
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(2021-06-11) OCF 2

\( \mathrm{Enum} \) は、 \( \mathrm{On} \) の中で club なクラスを正規関数へ変換する。 \( f [ \mathrm{On} ] \) は、正規関数を \( \mathrm{On} \) の中で club なクラスへ変換する。

\( {I}_{\alpha} ( \beta ) \) を次のように定義できるかもしれない。

  1. \( {I}_{\alpha} ( \beta ) = \mathrm{Enum} ( \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \xi \) is regular} \land \xi \in \bigcap_{\gamma < \alpha} {I}_{\gamma} [ \mathrm{On} ] \} ) ( \beta ) \)

\( {I}_{\alpha} [ \mathrm{On} ] \) を次のように定義できるかもしれない。

  1. \( {I}_{\alpha} [ \mathrm{On} ] = \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \xi \) is regular} \land \xi \in \bigcap_{\gamma < \alpha} {I}_{\gamma} [ \mathrm{On} ] \} \)

\( \mathrm{On} \) の中で club なクラス \( C \) に対して、 \( {I}_{\alpha} ( C ) [ \mathrm{On} ] \) を次のように定義できるかもしれない。

  1. \( {I}_{\alpha} ( C ) [ \mathrm{On} ] = \{ \xi \in \…
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(2021-06-11) OCF

OCF-2021-06-10-4 を ρ-到達不能基数へと拡張する。この記事で到達不能基数と言ったら弱到達不能基数であることにする。


順序数 \( {I}_{\alpha} ( \beta ) \) を次のように定める。順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) について順序数 \( \mathbb{I}_{\alpha} ( \beta ) \) が存在することを公理とする。

  1. \( {I}_{\alpha} ( \beta ) = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \xi \) is \( \alpha \)-inaccessible} \} ) ) ( \beta ) \)

順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( 1 \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \…

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Hexirp Hexirp 11日前
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(2021-06-10) OCF 5

OCF-2021-06-10-4 を到達不能基数の再帰的類似物を崩壊させるようにする。これにより公理を追加する必要がなくなる。


順序数 \( \alpha \) に対して、順序数 \( {\omega}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} \) を次のように定める。

  1. \( {\omega}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is admissible} \} ) ) ( \alpha ) \)

順序数 \( \alpha \) に対して、順序数 \( {\mathbb{I}}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} \) を次のように定める。

  1. \( {\mathbb{I}}_{\alpha}^{\mathrm{CK}} = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is recursively inaccessible} \} ) ) ( \alpha ) \)

順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \…

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Hexirp Hexirp 11日前
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(2021-06-10) OCF 4

OCF-2021-06-10-1 を到達不能基数へと拡張する。この記事で到達不能基数と言ったら弱到達不能基数であることにする。


順序数 \( \mathbb{I}_{\alpha} \) を次のように定める。全ての順序数 \( \alpha \) について \( \mathbb{I}_{\alpha} \) が定義できることを公理とする。

  1. \( \mathbb{I}_{\alpha} = \mathrm{Enum} ( \mathrm{cl} ( \{ \omega \} \cup \{ \alpha \in \mathrm{On} \mid \textrm{\( \alpha \) is inaccessible} \} ) ) ( \alpha ) \)

順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( 1 \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow {\omega}_{\xi}…

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Hexirp Hexirp 11日前
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(2021-06-10) OCF 3

OCF-2021-06-10-1 のベース関数を \( {\varphi}^{\alpha} ( \beta ) \) に取り換える。


順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow {\varphi}_{\xi} ( \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in \mathrm{On} \longrightarrow {\omega}_{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  5. 再帰
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \mu \in C ( \alpha, \beta ) \land \xi < \alpha \longrightarrow {\psi}_{\mu} ( \xi ) \in C ( \alpha, \b…

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(2021-06-10) OCF 2

OCF-2021-06-10-1 のベース関数を \( {\omega}^{\alpha} \) に取り換える。


順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow {\omega}^{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in \mathrm{On} \longrightarrow {\omega}_{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  5. 再帰
    1. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \mu \in C ( \alpha, \beta ) \land \xi < \alpha \longrightarrow {\psi}_{\mu} ( \xi ) \in C ( \alpha, \beta ) \)

順序数 \( \nu \) と順序数 \( \alpha \) に対して、順序数 \( {\psi}…


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Hexirp Hexirp 11日前
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(2021-06-10) OCF

順序数崩壊関数を定義します。バッハマンとラティエンのプサイ関数と違って添字は可変です。イェーガーとブーフホルツのプサイ関数と違って添字は全ての順序数を渡ります。ブーフホルツ関数と違って有効な崩壊が発生するのは添字が \( {\omega}_{1}, {\omega}_{2}, \ldots \) である時です。上限の予想は拡張ブーフホルツ順序数です。

添字が \( {\omega}_{1}, {\omega}_{2}, \ldots \) である時に有効な崩壊が発生するタイプの順序数崩壊関数を出来るだけ単純に定義する試みです。順序数崩壊関数を手計算する練習をする時に、役に立つかもしれません。


順序数 \( \alpha \) と順序数 \( \beta \) に対して、クラス \( C ( \alpha, \beta ) \) を次の条件を満たすような最小のクラスであるとする。

  1. 土台
    1. \( \xi \in \beta \longrightarrow \xi \in C ( \alpha, \beta ) \)
  2. 加法
    1. \( 0 \in C ( \alpha, \beta ) \)
    2. \( \xi \in C ( \alpha, \beta ) \land \zeta \in C ( \alpha, \beta ) \longrightarrow ( \xi + \zeta ) \in C ( \alpha, \beta ) \)
  3. ベース関数
    1. \( 1 \in C ( \alpha, \beta ) \)
  4. 崩壊対象
    1. \( \xi \in \mathrm{On} \longrightarrow {\omega}_{\xi} \in C ( \alpha, \beta ) \)
  5. 再帰
    1. \( \xi \in C…

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Rejafdofs Rejafdofs 12日前
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東方巨大数投稿用そのに

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Hexirp Hexirp 12日前
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(2021-06-09) UNUNOCF

UNUNOCF は、 UNOCF をオマージュした表記です。


項を次のように定める。

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Kanrokoti Kanrokoti 13日前
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mumble-jumble数列

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/mumble-jumble_Sequence


  • 1 概要
  • 2 mumble-jumble数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
    • 2.4 拡張探索関数
    • 2.5 展開規則
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 命名

mumble-jumble数列を定義します。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

添字\(m\)が\(i\)以上\(j\)以下の整数をわたる自然数列\((a_m)_{m = i}^j\)に対し:

  1. \(i \le j\)ならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\((a_i, \ldots ,a_j)\)と略記する。
  2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\(()\)と略記する。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\(s \lt t\)と同値である。
\(s \lt t\)の定義
  1. \(t = ()\)ならば、\(s \lt t\)は…








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Rejafdofs Rejafdofs 14日前
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東方巨大数投稿用

用語解説

  • 配列aが配列bよりも大きいとはのちに定義する関数を使ってa(x)がb(x)を支配するという意味
  • 配列aが配列bよりも小さいとは配列bが配列aより大きいかつaとbが等しくないという意味
  • +は配列の連結である例((()()))+(()())=((()())()())
  • Aが後続配列であるとはAがBを用いてB+(())と表せることである
  • Aが極限配列であるとはAが後続配列ではないかつAが()ではないことである
  • S(n)は後者関数である
  • [何か]を以下のように定義する
  • 1,()は[何か]である
  • 2,AとBが[何か]であるときA+Bも[何か]である
  • 3,Aが[何か]であるとき(A)も[何か]である
  • 4,1~3によって[何か]とされるものだけが何かである
  • わからん人へ
  • 適当な括弧の対応関係を調べられるテキストエディタを開いてください
  • [何か]か判別したいものをコピペしてください
  • 最後の括弧にカーソルを合わせてください
  • 最初の括弧と対応している括弧だけの配列が何かです上の文章と矛盾が生じた場合は上の文章を参照してください
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Kanrokoti Kanrokoti 17日前
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急虫数列

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Sudden_Worm_Sequence


  • 1 概要
  • 2 急虫数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
    • 2.4 階差関数
    • 2.5 展開規則
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 命名

急虫数列を定義します。BashicuHyudora氏の急数列システムの虫版を定義する試みです。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

\((i,j) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})^2\)と\((a_m)_{m = i}^j \in \mathbb{N}^{j-i+1}\)に対し:

  1. \(i \le j\)ならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\((a_i, \ldots ,a_j)\)と略記する。
  2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^j\)を\(()\)と略記する。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\(s \lt t\)と同…








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公太郎 公太郎 18日前
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ハムペアを解析する会

解析を。\(\newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\p}{\psi}\newcommand{\W}{\Omega}\)


(0,0)\(1\) (0,0)(0,0)\(2\) (0,0)(1,0)\(\w\) (0,0)(1,0)(0,0)\(\w+1\) (0,0)(1,0)(0,0)(0,0)\(\w+2\) (0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)\(\w2\) (0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)\(\w3\) (0,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^2\) (0,0)(1,0)(0,0)(1,0)(0,0)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^22\) (0,0)(1,0)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^3\) (0,0)(1,0)(1,0)\(\w^\w\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)\(\w^{\w+1}\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w2}\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^2}\) (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^3}\) (0,0)(1,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^\w}\) (0,0)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)\(\w^{\w^{\w^\w}}\)


\(\varphi\)はヴェブレン関数

(0,0)(1,0)(2,0)\(\e_0\) (…



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Kanrokoti Kanrokoti 20日前
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シフト数列

英語版



  • 1 概要
  • 2 共通定義
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
  • 3 0-シフト数列
    • 3.1 展開規則
    • 3.2 急増加関数
    • 3.3 命名
  • 4 1-シフト数列
    • 4.1 展開規則
    • 4.2 急増加関数
    • 4.3 命名
  • 5 2-シフト数列
    • 5.1 展開規則
    • 5.2 急増加関数
    • 5.3 命名
  • 6 3-シフト数列
    • 6.1 展開規則
    • 6.2 急増加関数
    • 6.3 命名

シフト数列を定義します。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

数列の記法\((a_m)_{m = i}^n\)を次のように定める:

  1. \((i,n) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})^2\)と\((a_i, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^{n-i+1}\)が存在するとする。
    1. \(i \le n\)ならば、\((a_m)_{m = i}^n := (a_i, \ldots ,a_n)\)である。
    2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^n := ()\)である。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_1, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



ここでは、非負整数のリスト同士の大小関係を辞書式順序で定義する。

\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\…









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Arakenn Arakenn 21日前
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式神巨大数エントリー

以下のプログラム(t.cpp)をc++20でコンパイルしたときに標準出力に出力された値を木数とし、式神巨大数2021のオリジナル部門に投稿します。
t.cpp

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Koteitan Koteitan 23日前
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くまむし数列数の実装

この記事は、式神巨大数2021への投稿用です。


  • 1 投稿の要綱
  • 2 説明
  • 3 テストの仕方
  • 4 ソースコード

  • プログラムの名前は、「くまむし数列数出力プログラム」です。
  • プログラムの部門は、プログラム化部門です。
  • プログラムのソースは、下記のソースコードにあるコードです。
  • プログラムの言語は、Javascriptです。
  • プログラムの実行方法は、 largenumber() です。
  • プログラムの出力方式は、目的の巨大数が関数 largenumber() の戻り値として出力されるという方式です。
  • プログラムが出力する巨大数の情報は、「このプログラムが出力する巨大数は ユーザーブログ:Kanrokoti/くまむし数列 で定義されているくまむし数列数です。」です。

  • 巨大数「くまむし数列数」は引数無しの関数 largenumber() として実装されています。
  • FGH \(f_X(n)\) は関数 fgh(s,m,n) として実装されています。
  • 展開関数 \(s[t]\) は expand(s,t) として実装されています。
  • 二項関係 \(a<b\) は compare(a,b) として実装されています。

  • fgh(), expand(), compare() のテストは、同じ関数が https://koteitan.github.io/kumawormseq/ に実装されているので、ブラウザで これを開いてデバッグモードに入る(Chromeではctrl+shift+jを押す)ことで可能です。
  • ソースコードは https://github.com/koteitan/kumawormseq/blob/main/kumawormseq.js でも見られるので、そちらの方がハイライトされて見やすいと思います。




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Hexirp Hexirp 24日前
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(2021-05-28) 英語での投稿

私は、元々の文と、それを何らかの方法で翻訳した文を併記するのが良いと思います。

I think it is better to write both the original sentence and the sentence translated in some way.

楽しみましょう。

Let's have fun.

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Antimony Star Antimony Star 24日前
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への提出式神巨大数: SuperSudden Matrix number

(この記事全体でGoogle翻訳を使用しています。ご不便をおかけして申し訳ありません。)

元の部門への提出:SSMS.py

言語: Python 3

add = lambda u,v: [u[i]+v[i] for i in range(len(u))] matrixadd = lambda A,B: [add(A[i],B[i]) for i in range(len(A))] def parents(Matrix,x,y,ignores = None): if ignores == None: ignores = [] if y == 0: scope = list(range(0,x)) else: scope = parents(Matrix,x,y-1,ignores) lesser = [] cur = Matrix[x][y] for i in range(x,-1,-1): if Matrix[i][y] < cur and i in scope: if not i in ignores: lesser.insert(0,i) cur = Matrix[i][y] elif Matrix[i][y] < cur - 1: cur -= 1 return lesser
def SSMS(Matrix,n = 3,t = 1): if Matrix == []: return n …
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Hexirp Hexirp 25日前
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(2021-05-27) Intheo

  • \( x \) - variable
  • \( x : A \Rightarrow t \) - abstraction
  • \( f ( x ) \) - application
  • \( \mathrm{let} \; x : A = t \; \mathrm{in} \; s \) - defitiniton

  • \( ( x : A ) \rightarrow B \) - function type
  • \( \mathrm{Type} \) - type of types

  • \( \mathrm{let} \; \mathrm{inductive} \; \mathrm{type} \; t ( a : A ) ( b : B ) \cdots : T \; \mathrm{where} \; \{ \; c : C; \; \ldots \; \} \; \mathrm{in} \; s \) - definition of inductive types
  • \( \mathrm{match} \; x \; \mathrm{with} \; \{ \; c ( a ) ( b ) \Rightarrow t; \; \ldots \; \} \) - pattern matching
  • \( \mathrm{fix} \; f ( a : A ) ( b : B ) \cdots : T \; \mathrm{by} \; a \; \mathrm{in} \; s \) - fixpoint

  • \( \mathrm{let} \; \mathrm{coinductive} \; \mathrm{type} \; t ( a : A ) ( b : B ) \cdots : T \; \math…
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Hexirp Hexirp 27日前
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(2021-05-25) 非再帰順序数

非再帰順序数は、分かりやすく言えば、それに届く順序数表記を決して作ることが出来ないほど大きい順序数ですなどに対して閉じています。最小の非可算順序数は \( \omega _ 1 \) として表記されますが、それに倣ってかチャーチ゠クリーネ順序数も \( \omega _ 1 ^ \mathrm{CK} \) と表記されます。


ひと昔は、 Googology Wiki において、チャーチ゠クリーネ順序数は、急増加関数に与えると、ビジービーバー関数を近似できるものとされていました。しかし、正確な証明がなく、何の基本列を使うのかも明示されていなかったので、今では記述が削除されています。



  • 1 許容順序数
  • 2 許容順序数の極限
  • 3 再帰的到達不可能順序数
  • 4 Notes
  • 5 References

許容順序数は、チャーチ゠クリーネ順序数の先への道を示します。チャーチ゠クリーネ順序数の定義においては、 \( \omega _ 2 ^ \mathrm{CK} \) などを定義していませんでした。これは許容順序数という概念を使って定義されます。


許容順序数は、 \( \mathrm{L} _ \alpha \) が \( \mathsf{KP} \) の推移的モデルとなる順序数のことである。


最小の許容順序数は \( \omega \) です。その次の許容順序数は \( \omega _ 1 ^ \mathrm{CK} \) です。というわけで、 \( \omega _ 0 ^ \mathrm{CK} = \omega \) と定めてしまいましょう。さらに、 \( \omega _ 1 ^ \mathrm{CK} \) よりも大きい最初の許容順序数を \( \omega _ 2 ^ \mathrm{CK} \) と書…






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Koteitan Koteitan 28日前
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増加行列システム

下記のC言語ソースコードで示されるプログラム増加行列システム (Fueru Matrix System) の標準出力する自然数を増加行列数(Fueru Matrix Number)と定義し、式神巨大数2021のオリジナル部門に投稿します。

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Koteitan Koteitan 5月22日 (土)
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拡張ブーフホルツ系のヒドラ表記

ブーフホルツのψ関数は、ペア数列システムを拡張したヒドラ表記ヒドヒドを作りました。ヒドヒドはラベルにヒドヒドそのものを許したルート付き有向木の形をしており、(\psi_0(\Omega_\Omega)\) までの大きさの順序数を表現できると考えられています.



  • 1 提案するヒドラ表記
    • 1.1 拡張ブーフホルツのヒドラ
    • 1.2 3変数ブーフホルツのヒドラ
    • 1.3 多変数ブーフホルツヒドラ
    • 1.4 超限変数ブーフホルツヒドラ
  • 2 References


ヒドヒドはペア数列システムに対応することと、非可算順序数に対応するラベルを使わないという特徴がありますが、ψ の添え字をそのノードのラベルのヒドラと対応させることで、ヒドヒドのヒドラ表記そのままで拡張ブーフホルツのψ関数に対応させることができます。

ここではさらにこの図を見やすくする工夫を入れます。

  • まず、ヒドヒドのヒドラ表記のヒドラを囲っている \(\bigcirc\) 印を、中のヒドラのルートノードだけを囲う様に小さく書き、中のヒドラのルートノード以外のノードをこの \(\bigcirc\) 印の外に出します。
  • すると、子ノード A から \(\bigcirc\) 印に辺が付いているときは、A の ψ が \(\bigcirc\) 印の ψ の中の丸括弧 ( ) の中にあることを示します(\(\circ=\psi_\beta(A)\) という感じ)。また、それではなく、子ノード A から \(\bigcirc\) 内のルートノード \(\times\) に辺が付いているときは、A の ψ は \(\bigcirc\) のノードの ψ の添え字であることを示します。((\circ=\psi_A(\alpha)\)という感じ。)
  • ノード A に向かって伸びているノー…




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ポトフ ポトフ 5月19日 (水)
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順序数が使える原始数列的なもの

整数コンビネータを順序数コンビネータにしようと考えてたら それなりによさそうな方法を見つけたので、 とりあえず原始数列(的なもの)で試してみる。


  • 1 定義
    • 1.1 の前に
    • 1.2 定義
  • 2 計算例
  • 3 思いついたこと
    • 3.1 追記
      • 3.1.1 2021-05-20
      • 3.1.2 2021-05-21


極限順序数\(\kappa\)について 順序数\(\alpha\)が\(\kappa\)未満であれば、任意の\(\alpha\)において、 \[ \alpha, f(\alpha), f^2(\alpha), f^3(\alpha), \dots\ \] が\(\kappa\)の基本列となるような 広義単調増加関数\(f\)を、\(\kappa\)の基本列関数と呼ぶこととする。


ある順序数\(\kappa\)以下の全ての極限順序数について、 基本列関数を一つずつ選び、 順序数\(\gamma\)の基本列関数を\(f_{\gamma}(x)\)と書くことにする。

\(\kappa\)以下の順序数からなる列\(S\)と、自然数\(n\)について、 自然数\((S)[n]\)を次の通り定める。

1. \(()[n]=n\)

ここで、上記以外の場合について、 \(\beta\)を\(S\)の最も右側にある順序数とし、 \(S'\)を\(S\)の中で\(\beta\)より左にある順序数の列とする。

2. \(\beta = 0\)ならば\((S)[n] = (S', 0)[n] = (S')[n+1] \)

3. \(S'\)が\(\beta\)未満の順序数を持たず、\(\beta\)が後続順序数であるならば、\((S)[n] = (S', \beta'+1)[n] = (S', \beta', S', \beta'+1)[n]\)

4…





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九矛乃 九矛乃 5月18日 (火)
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模造急増加関数

IFGH(Imitation Fast-growing hierarchy、模造急増加関数)
a,b,n……1以上の整数 x……0以上の整数
[]の中の()…仕切 仕切の中の数値……仕切値
(1)α……左端が(1)、右端が数値で終わる、仕切と数値が交互に並ぶ列。または列が無い。 β(b+1≦X)……左端が数値、右端が「b+1以上の数値を仕切値として持つ仕切」で終わる、数値と「b+1以上の数値を仕切値として持つ仕切」が交互に並ぶ列。または列が無い。 (1)γ(X≦b)……左端が(1)、右端が「b以下の数値を仕切値として持つ仕切」で終わる、仕切と数値が交互に並ぶ列。または列が無い。
[]F^(1)(n)=n+1 [(1)α]F^(a+1)(n)=[(1)α]F^(1)([(1)α]F^(a)(n)) [(1)α(1)a+1]F^(1)(n)=[(1)α(1)a]F^(n)(n) [(1)α(1)1]F^(1)(n)=[(1)α]F^(n)(n) [(1)α(b)0]F^(1)(n)=[(1)α(b)n]F^(1)(n)
[(1)α(b+1)1]F^(1)(n)=[(1)α]F^(1)(n) [(1)γ(X≦b)β(b+1≦X)x(b+1)a+1]F^(1)(n)=[(1)γ(X≦b)β(b+1≦X)x(b)β(b+1≦X)x(b+1)a+1]F^(1)(n)
仕切値で見る支配力の大雑把な判定法 ※仕切値以外の数値がすべて0の場合※
仕切値の最高値が高い それの右の評価が高い……[(1)0(5)0(1)1]F^(1)(8)>[(1)0(4)0(4)0(4)0(5)0]F^(1)(888) 高い仕切値の連続数が多い それの右の評価が高い 高い仕切値の連続数が多いものが多い それの右の評価が高い …






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Koteitan Koteitan 5月15日 (土)
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くまくま3変数ψ数の実装

この記事は、式神巨大数2021への投稿用です。


  • 1 投稿の要綱
  • 2 説明
  • 3 テストの仕方
  • 4 ソースコード

  • プログラムの名前は、「くまくま3変数ψ数出力プログラム」です。
  • プログラムの部門は、プログラム化部門です。
  • プログラムのソースは、下記のソースコードにあるコードです。
  • プログラムの言語は、Javascriptです。
  • プログラムの実行方法は、 thenumber() です。
  • プログラムの出力方式は、目的の巨大数が関数 thenumber() の戻り値として出力されるという方式です。
  • プログラムが出力する巨大数の情報は、「このプログラムが出力する巨大数は ユーザーブログ:Kanrokoti/くまくま3変数ψ で定義されているくまくま3変数ψ数です。」です。

  • 巨大数「くまくま3変数ψ数」は引数無しの関数 thenumber() として実装されています。
  • 巨大非可算順序数を得る関数 \(g(n)\) は g(n) として実装されています。
  • FGH \(f_X(n)\) は関数 fgh(X,n) として実装されています。
  • 関数の合成 \(f_X^m(n)\) は composition(X,n,m) として実装されています。
  • 展開関数 \(X[Y]\) は Kuma3ary.prototype.expand として実装されています。
  • dom 関数 \({\textrm{dom}}(X)\) は Kuma3ary.prototype.dom として実装されています。
  • 二項関係 \(X<Y\) は Kuma3ary.prototype.lt(X,Y) として実装されています。

  • g, fgh, composition のテストは、同じ関数が https://koteitan.github.io/kuma3arypsinum/ …




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Mitsuki1729 Mitsuki1729 5月15日 (土)
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式神巨大数投稿用

今回は2つのプログラムを式神巨大数2021に投稿します。


  • プログラムの名前:P進バーガー.sb3
  • 部門:プログラム化部門
  • ソース:GitHubのこのページにアップロードされている.sb3ファイル
  • 言語:Scratch3.0(から変数の自動桁丸め、リストの要素数上限、リストの1要素ごとの長さ上限、変数の長さ上限を無視した仮想言語)
  • 実行方法:ソースの.sb3ファイルをScratchの「コンピューターから読み込む」からScratchに読み込み、旗をクリックして実行する
  • 出力方式:プログラム停止時に変数「式神巨大数へのエントリー」に格納されている文字列を通常のアラビア数字による十進表記とみなして自然数を表す
  • 出力する巨大数の情報:ユーザーブログ:P進大好きbot/お料理巨大数投稿用記事の最後の行て定義された巨大数の定義の標準形の3に値が変わらないと予想される変更を加えたもの
  • 備考:おそらく2つめの方がでかいです

  • プログラムの名前:逆ポーランド記法リスト祭り式神巨大数三関数.sb3
  • 部門:プログラム化部門(例外条項適用)
  • ソース:GitHubのこのページにアップロードされている.sb3ファイル
  • 言語:Scratch3.0(から変数の自動桁丸め、リストの要素数上限、リストの1要素ごとの長さ上限、変数の長さ上限を無視した仮想言語)
  • 実行方法:ソースの.sb3ファイルをScratchの「コンピューターから読み込む」からScratchに読み込み、旗をクリックして実行する
  • 出力方式:プログラム停止時に変数「三数」に格納されている文字列を通常のアラビア数字による十進表記とみなして自然数を表す
  • 出力する巨大数の情報:ユーザーブログ:P進大好きbot/ヴェブレン関数→ブーフホルツのψ関数→?で定義された関数Lim(n)にn=…


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Nayuta Ito Nayuta Ito 5月15日 (土)
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2021JA-式神巨大数投稿用記事

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P進大好きbot P進大好きbot 5月9日 (日)
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告知:英語版でアドミン選挙があります

非公式な告知です。英語版のwikiで新しいアドミンを選んだり古いアドミンを解任したりする選挙があります。

投票権があるのは、

  1. 英語版wikiでブロックされていない
  2. FANDOMに登録してから少なくとも100日経過している(例えば日本語版で編集する際にもFANDOMには登録されています)
  3. 少なくとも10日は英語版wiki内で編集をしたことがある
  4. 少なくとも100回は英語版wiki内で編集をしたことがある

を満たすユーザーです。要するにある程度はアクティブだったことがないといけません。荒らし対策です。

日本語版のユーザーにこれを満たす人はあまりいないかもしれませんが、一応の宣伝です。

ちなみに解任要求を出したのはCloudyさんとUNOCFさんです。主な理由は

  • 著作権撤廃運動の支持をしており、それを自分の思想として持つだけではなくwiki全体でそれに追随させようとして、反発する編集を片っ端から取り消したり関連項目(著作権を侵害しないことを明言する文など)を片っ端から削除し続したりといった悪質なアドミン権限濫用をしたから

です。この他にも

  • ユーザーページ内(ブログなど)での日本語話者同士のみでの会話でさえ日本語を禁止したこと(他の言語は普通にユーザーページで使われており、禁止されているのは僕の知る限り日本語のみです)
  • アドミンとしての不誠実な態度(アドミン権限の濫用を指摘されても無視をするか横柄な態度を取る、アドミンの仕事を放棄しているためアドミンを追加するよう要求しても無視する)を繰り返す
  • wikiのアクティブユーザーがwikiに関する議論に参加できないようにdiscordで閉じた議論を行うことを無理やり正当化しようとしたこと(その後反発が生じ、今ではそれを禁止する規則が追加されました)
  • アドミンと一般ユ…
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公太郎 公太郎 5月4日 (火)
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式神巨大数2021投稿太郎

式神巨大数2021の投稿記事です。


  • プログラムの名前:HamPair.hs
  • プログラムの部門:オリジナル部門(非常に紛らわしいですが、プログラムをの数式的定義を先に投稿しちゃっただけです。先に存在していたのはプログラムのハズ)
  • プログラムの記述:下の「本体」に載っけてます
  • プログラムの言語:Haskell
  • プログラムの実行方法:HaskellモードのJDoodleに下記プログラムをコピーしてExecuteを押す。
  • プログラムの出力方式:Resultの中に整数が出力されます。
  • プログラムが出力する巨大数の名前:整数木の寿命
  • プログラムが出力する巨大数の説明:ユーザーブログ:公太郎/ハムペア数列


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Hexirp Hexirp 5月3日 (月)
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(2021-05-04) ハンバーガー種の解析

「ハンバーガー種の解析」では、次の四つの記事を解析する。

  1. ユーザーブログ:P進大好きbot/お料理巨大数投稿用記事
  2. ユーザーブログ:Nayuta_Ito/2021HB-p進大好きbotさんの「お料理巨大数投稿用記事」をプログラミング言語に翻訳する
  3. ユーザーブログ:P進大好きbot/Nayuta_Itoさんの式神巨大数投稿用記事をプログラミング言語に翻訳する
  4. ユーザーブログ:P進大好きbot/式神巨大数2021投稿用記事

「ハンバーガー種の解析」では、 \( \Omega \! \! \! \Omega \newcommand{\dprod}[1]{\exists #1 \ldotp \,} \newcommand{\Ha}{H} \newcommand{\Pa}{P} \newcommand{\PL}{P _ {L}} \newcommand{\PM}{P _ {M}} \newcommand{\PR}{P _ {R}} \newcommand{\Me}{M} \newcommand{\Pm}{P _ {m}} \) を使う。


「オリョウリ亜種」では、 Special:Redirect/revision/35952 を参照する。

パンズの例としてパンの (] が示されている。しかし、パンの | はパンズの例として示されていない。


ここの数式の中では、ハンバーガーを \( \Ha \) と書く。

ここの数式の中では、パティを \( \Pa \) と書く。

ここの数式の中では、 ( を \( \PL \) と書く。

ここの数式の中では、 | を \( \PM \) と書く。

ここの数式の中では、 ] を \( \PR \) と書く。

ここの数式の中では、肉を \( \Me \) と書く。

ここの数式の中では、パティ素材を …



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P進大好きbot P進大好きbot 5月3日 (月)
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式神巨大数2021投稿用記事

式神巨大数2021投稿用の記事です。ユーザーブログ:P進大好きbot/Nayuta_Itoさんの式神巨大数投稿用記事をプログラミング言語に翻訳するの巨大数をC++に翻訳しました。



  • プログラムの名前: a.cpp
  • プログラムの部門: プログラム化部門
  • プログラムの記述: 「プログラム」の節にインクルードライブラリ以外の情報を記載
  • プログラムの言語: c++
  • プログラムの実行方法: このリポジトリをダウンロードして必要ならば解凍し、そのディレクトリにa.cppを置いてコンパイルし、生成された実行ファイルa.exeを実行する。
  • プログラムの出力方式: a.cpp内の"cout
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P進大好きbot P進大好きbot 5月3日 (月)
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Nayuta Itoさんの式神巨大数投稿用記事をプログラミング言語に翻訳する

式神巨大数2021投稿用の記事です。ユーザーブログ:Nayuta_Ito/2021HB-p進大好きbotさんの「お料理巨大数投稿用記事」をプログラミング言語に翻訳するの巨大数を\(\mathbb{Q}_p\)に翻訳しました。



  • プログラムの名前: a.cpp
  • プログラムの部門: プログラム化部門
  • プログラムの記述: 「プログラム」の節にインクルードライブラリ以外の情報を記載
  • プログラムの言語: \(\mathbb{Q}p\)
  • プログラムの実行方法: \(\mathbb{Q}p\)導入ページに沿ってライブラリをインクルードした上でa.cppを\(\mathbb{Q}_p\)の標準機能でC++に翻訳し、"return 0;"の直前に"cout
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Kanrokoti Kanrokoti 4月26日 (月)
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シフトψ関数

英語版



  • 1 概要
  • 2 共通定義1
    • 2.1 表記
    • 2.2 順序
  • 3 0-シフトψ関数
    • 3.1 略記
    • 3.2 共終数
    • 3.3 基本列
    • 3.4 標準形
    • 3.5 限界関数
  • 4 1-シフトψ関数
    • 4.1 略記
    • 4.2 共終数
    • 4.3 基本列
    • 4.4 標準形
    • 4.5 限界関数
  • 5 共通定義2
    • 5.1 急増加関数
    • 5.2 命名

シフトψ関数を定義します。p進大好きbot氏による拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元にした表記です。この表記を数列化した場合、Antimony Star氏のn-SuperSudden sequenceに対応すると考えられています。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\(a \in T\)に対しても、\(\psi(a) \in PT \cap T\)である。



ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

\(T\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)ならば、\(s \le t\)は\(s \lt t\)と同値である。
\(s \lt t\)の定義
  1. \(t = 0\)ならば、\(s \lt t\)は偽である。
  2. \(t \neq 0\)かつ\(s = 0\)ならば、\(s \lt t\)は真である。
  3. \(t \neq 0\)かつ\…







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Koteitan Koteitan 4月25日 (日)
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塩わかめ数

お料理巨大数への巨大数定義の投稿です。


  • 1 レシピ
  • 2 用語
  • 3 おいしさ表
  • 4 料理の定義
  • 5 巨大数の定義

(1) 最初に皿の上に普通の無限のわかめを用意します。
(2) その後できることは、新しい皿を用意し、既に置いてあるいずれか1つの皿の上にあるわかめの半分を皿に取り分けて、塩をかけることです。


  • わかめとそれがのっている皿を「わかめ皿」と呼びます。
  • (1) だけでできるわかめ皿と、(1)のあと、(2)の手順を有限回繰り返してできるわかめ皿の列を「わかめ料理」と呼びます。
  • 最初の皿を「ファースト皿」と呼びます。
  • 最後に塩をかけてできたわかめ皿を「ファイナル皿」と呼びます。
  • ファイナル皿の1つ前に塩をかけてできたわかめ皿を「直前皿」と呼びます。
  • あるわかめ皿 C が、わかめ皿 P のわかめを取り分けてできている場合、P を「C の親皿」と呼びます。
  • あるわかめ皿 C が、わかめ皿 P のわかめを取り分けてできている場合、C を「P の子皿」と呼びます。
  • X の親皿の親皿を「おばあちゃん皿」と呼びます。
  • 同じ皿からわかめ取り分けたわかめ皿を「姉妹皿」と呼びます。
  • 姉妹皿の中で一番早く塩をかけられたわかめ皿を「長女皿」と呼びます。
  • 姉妹皿の中で一番遅く塩をかけられたわかめ皿を「末っ子皿」と呼びます。
  • X の姉妹皿の中で X の後で塩をかけられたわかめ皿の中で一番早く塩をかけられたわかめ皿を「次妹皿」と呼びます。
  • わかめ皿 A に対して、わかめ皿である「A の子孫皿」を下記のように再帰的に定義します。
    • A 自身は A の子孫皿です。
    • A の子孫皿の子皿は A の子孫皿です。

下記はわかめ料理の相対的おいしさを表したルールです。

  • 1 そのわかめ料理のファイナル皿の親皿がファースト皿だった場合
    • そのわかめ料理は、そのファイナル皿を取り除い…






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Yukkku Yukkku 4月24日 (土)
1

無限の猿定理の検証

無限の猿定理のページで、「ハムレットが出力される平均入力回数は近似値なのか厳密値なのか」という議論がありました。私なりの方法で、平均を求めてみようと思います。


  • 1 1文字の場合
  • 2 2文字の場合
    • 2.1 2文字が同じ場合
    • 2.2 2文字が違う場合
  • 3 結論

ハムレットを出力させる前に、「A」を出力することを考えます。そのページではアルファベットと記号とか含めて64種類の文字がある事になってます。

平均をnとすると、

  • 1文字目がAになる ( 1/64 )
    • 平均入力回数は1
  • 1文字目がA以外になる ( 63/64 )
    • 平均入力回数はn+1

という条件分岐が完成します。これを方程式にすると\(n=\frac{1}{64}+\frac{63}{64}(n+1)\)になり、解くと\(n=64\)になります。


2文字が同じ場合、例えば「AA」を出力することを考えます。平均をnとすると、

  • 1文字目がAになる ( 1/64 )
    • 2文字目もAになる ( 1/64 )
      • 平均入力回数は2
    • 2文字目はA以外になる ( 63/64 )
      • 平均入力回数はn+2
  • 1文字目がA以外になる ( 63/64 )
    • 平均入力回数はn+1

という条件分岐になります。同じように方程式にして\(n=\frac{1}{64}\left(\frac{2}{64}+\frac{63}{64}(n+2)\right)+\frac{63}{64}(n+1)\)、解いて\(n=4160\)になりました。びっくりですね。どこかで計算間違えたのかなってコンピューターで検証したら4000のちょい上辺りで安定したので正しいのでしょう。衝撃的ですね。

そしてこの結果から、無限の猿定理の平均入力回数は近似であることが分かりました。


2文字が同じ場合、例えば「AB」を出力することを考えます。その前に「…





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Mitsuki1729 Mitsuki1729 4月23日 (金)
2

ハンバーガーの解析

基本列計算機が謎の挙動をし始めたので手動解析



予想される順序数
ω2
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Kanrokoti Kanrokoti 4月22日 (木)
0

ネストベースψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Nest_Base_psi_Function


  • 1 概要
  • 2 ネストベース\(\psi\)関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 共終数
    • 2.5 基本列
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 限界関数
    • 2.8 標準形
    • 2.9 命名

ネストベース\(\psi\)関数を定義します。p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元にした表記です。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。



\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0(0)+\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。



ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

\(T\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \…








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Nayuta Ito Nayuta Ito 4月20日 (火)
1

2021HB-p進大好きbotさんの「お料理巨大数投稿用記事」をプログラミング言語に翻訳する

もしこの記事の「プログラム」の節の最初の行の「# version: 」の後に書かれた数式全てのパティは0個以上のハンバーガーh_1,...,h_nを用いて肉h_1肉・・・肉h_n肉と書けるので、配列[h_1,...,h_n]をフィールドに持ち、これでパティを表すことにします。

HamburgerクラスとPattyクラスには大小関係を定義するためのメソッドが定義されています。配列にを使用すると自動的に辞書的順序での比較になるため、それを活用しています。

Hamburgerクラス同士の大小比較は「豪華である」、Pattyクラス同士の大小比較は「贅沢である」、そしてHamburgerクラスとPattyクラスの間の大小比較は「パティ素材より豪華である」を実装するようにしています。

パティ素材はハンバーガーのフィールドの配列の末尾の1個か2個を参照することで実現できるのでクラスにする必要はありません。というか、Rubyが和集合型に対応していないので実装が面倒です。

土台とは単にパティ素材の最後の要素のことです。

パティを切り分けるという操作は、パティのフィールドの配列の先頭2個を取り出すことで実現できます。配列の長さが1か0であるときは、先頭2個と言っておきながら実際には2個未満しか取り出されないので長さで区別できます。

素材とするとは、パティのフィールドの配列を左から2個ごとに区切った場合に、その中に対象のパティ素材が存在することです。A,B,C,D,Eをハンバーガーとして、肉A肉B肉C肉D肉E肉というパティを考えると、このパティがA肉B, C肉D, Eを素材としていますが、B肉C, D肉Eを素材としていません。そんなことをどうやってRubyに翻訳するのかという話ですが、each_sliceを…

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Mitsuki1729 Mitsuki1729 4月20日 (火)
0

p進大好きbot氏のハンバーガーを翻訳したい

p進さんのこれが本家です。



  • 1 表記
  • 2 大小関係
  • 3 構成可能性
  • 4 標準形
  • 5 基本列
  • 6 急増加関数
  • 7 巨大数

(と)と+のみからなる文字列の集合HamPaという概念を以下のように再帰的に定義する。:

  1. 空列∈Paである。
  2. いかなるx∈Paについても、(x)∈Hamである。
  3. いかなるs,t∈Hamについても、s+t∈Hamである。
  4. いかなるs∈Hamとx∈Paについても、sx∈Paである。

また、(と)と+のみからなる文字列の集合PaTを以下のように定義する:

  1. いかなるs∈Hamについても、s∈PaTである。
  2. いかなるs,t∈Hamについても、st∈PaTである。

Paの部分集合OPaを以下のように定義する:

  1. 空列∈OPaである。
  2. いかなるa,b∈Paとc∈OPaについても、c(a)(b)∈OPaである。

空でないどのようなPaの要素xに対してもx=zsを満たすz∈OPaとs∈PaTが存在することに注意されたい。


パティが贅沢であるほどハンバーガーは豪華なものとなります。より正確には、ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対し\(s\)より\(t\)が豪華であるという関係と、パティ\(x\)と\(y\)に対し\(x\)より\(y\)が贅沢であるという関係を、以下のように同時に再帰的に定義します:

\(s\)より\(t\)が豪華であることの定義
  1. パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
    1. パティ\(y\)を用いて\(t\)が\((y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(x\)より\(y\)が贅沢であるということです。
    2. ハンバーガー\(v\)とパティ\(y\)を用いて\(t\)が\(v \frown (y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\…




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P進大好きbot P進大好きbot 4月19日 (月)
5

お料理巨大数投稿用記事

お料理巨大数投稿用の記事です。



  • 1 表記
  • 2 大小関係
  • 3 構成可能性
  • 4 標準形
  • 5 基本列
  • 6 急増加関数
  • 7 巨大数

ハンバーガーはバンズと呼ばれるパン\((]\)の間にパティと呼ばれる具を挟んだお料理です。より正確にはハンバーガーパティという概念を以下のように再帰的に定義します:

  1. \(\textsf{肉}\)はパティです。
  2. パティ\(x\)に対して、\((x]\)はハンバーガーです。
  3. ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対して、\(s \frown t\)はハンバーガーです。ただし\(s \frown t\)とは\(s\)末尾のパン\(]\)と\(t\)先頭のパン\((\)を除去した上でそれらの間にパン\(|\)を挟んで並べたもののことです。
  4. ハンバーガー\(s\)とパティ\(x\)に対して、\(\textsf{肉} s x\)はパティです。

例えば\(( \textsf{肉} ]\)や\(( \textsf{肉} | \textsf{肉} ]\)や\(( \textsf{肉} ( \textsf{肉} ] \textsf{肉} ]\)はハンバーガーですが、\(\textsf{肉}\)や\((]\)や\((( \textsf{肉} ]]\)はハンバーガーではありません。

またパティ素材という概念を以下のように定義します:

  1. ハンバーガー\(s\)に対して、\(s\)はパティ素材です。
  2. ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対して、\(s \textsf{肉} t\)はパティ素材です。

定義から、全てのパティは1個以上の\(\textsf{肉}\)を並べて間にハンバーガーを挟んだものとなります。そのように表した時に並ぶ\(\textsf{肉}\)が奇数個のパティをオッドパティと呼び、偶数個のパティをイブンパティと呼び…




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Kanrokoti Kanrokoti 4月19日 (月)
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くまむし数列

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Kuma_Worm_Sequence


  • 1 概要
  • 2 くまむし数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 非負整数のリスト
    • 2.3 順序
    • 2.4 展開規則
    • 2.5 急増加関数
    • 2.6 命名
    • 2.7 期待
    • 2.8 お料理要素

p進大好きbot氏が虫ψ関数の展開を計算する中で、偶然生まれた数列をp進大好きbot氏許可のもと定式化しました。定式化後、Okkuu氏によって無限ループが発見されたため、表記を作り直すことになりました。作り直しにあたって、Lev D. Beklemishev氏のReflection principles and provability algebras. Slides of LC2002 tutorial. Münster, August 3-9, 2002, p.28, p.29.と、p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を参考にしました。



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

数列の記法\((a_m)_{m = i}^n\)を次のように定める:

  1. \((i,n) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})^2\)と\((a_i, \ldots ,a_n) \in \mathbb{N}^{n -i + 1}\)が存在するとする。
    1. \(i \le n\)ならば、\((a_m)_{m = i}^n := (a_i, \ldots ,a_n)\)である。
    2. そうでないならば、\((a_m)_{m = i}^n := ()\)である。



ここでは、非負整数のリストを定める。

非負整数のリストの集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\…






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