P進大好きbot P進大好きbot 2時間前
1

超越整数観察日記

Mathematical Logic Advent Calendar 2020の3日目投稿用の記事です。有名な巨大数の概念である超越整数についての概要とその拡張について解説します。巨大数について詳しくなくても自然演繹の基礎を知っていれば読める内容だと思います。ただし超越整数はシンプルな見た目の定義な割にそれが実際に(形式的に)意味するところを解釈するのはあまり簡単ではないので、1つ1つ用語を注意しながら解説していきます。


なお僕は数理論理学の教科書を読んだことがないので、複数の流儀が存在する色々な用語についてどういう流儀が主流なのかは知りません。なのでかなり自己流な流儀になっているかもしれませんが、流儀に幅のある部分はきちんと定義は書くようにするのでそれを念頭に置いて下さい。またなるべく証明を書いていますが議論が何かしら間違っていたらこの記事のコメントやtwitterで教えて下さると助かります。



  • 1 定義
    • 1.1 定義文
    • 1.2 形式化
  • 2 脚注

超越整数は数理論理学で有名な数学者Harvey Friedmanの考案した概念です。自然数\(n\)が超越整数であるとは、

任意のチューリングマシン\(M\)に対し、\(M\)の停止性が\(\textrm{ZFC}\)公理系で\(2^{1000}\)文字以下で証明可能ならば、\(M\)は\(n\)ステップ以内に停止する

ということです。特に\(n\)が超越整数ならば\(n\)以上の任意の自然数が超越整数となるので、最小の超越整数を考えることが自然となります。


さて、最小の超越整数が\(\textrm{ZFC}\)公理系においてwell-definedであるか否かを説明します。その前に、well-defined性に言及するためにはそもそも定義文を形式化する…





投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 4時間前
0

ヴェブレン関数とくまくま4変数ψで似たようなものを作って比較してみる

4変数ヴェブレン関数とくま4をφ(a,b,c,d)→ψ_0(0,0,ψ_a(b,c,d))の写像で挙動を比較したいだけのブログだったけどめんどくさいからやっぱくま3までにするわ



くま3
ω^ω^a
ψ(0,0,ψ(0,1,0))=ε_0
ψ(0,0,ψ(0,1,0)+ψ(0,1,0))=ε_1
ψ(0,0,ψ(0,1,1))=ε_ω
ψ(0,0,ψ(0,1,ψ(0,0,1)))=ε_(ω^ω)
投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 4日前
0

基数崩壊関数の草案

ψ(θ(0,0),0)=Ω

ψ(θ(0,0)+θ(0,0),0)=Ω_2

ψ(θ(0,ψ(0,0)),0)=Ω_ω

ψ(θ(0,ψ(θ(0,0),0)),0)=Ω_Ω

ψ(θ(0,θ(0,0)),0)=OFP



p進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん大好きp進さん…


投稿の全文を読む
P進大好きbot P進大好きbot 7日前
0

ε関数観察日記

ε関数観察日記です。どんな順序数に対応させれば整合的になるかを試行錯誤中なので内容はバンバン変わっていくかもしれません。

\(\alpha \in \textrm{On}\)に対し\(1+\alpha\)番目の「弱マーロ基数またはその極限である順序数」を\(M(\alpha)\)と置き、\(\alpha = M(\alpha)\)を満たす最小の弱到達不能基数\(\alpha\)を\(N\)と置き、最小の弱\(2\)マーロ基数を\(\varepsilon(0)\)と置く。(\(I\)の階層を登っても到達できないように十分大きめに取っただけで、これらでなくても良い)

\(NT := \{N \times (1+\alpha) \mid \alpha \in \textrm{On}\}\)と置く。写像 \begin{eqnarray*} E \colon NT & \to & \textrm{On} \\ \alpha & \mapsto & E(\alpha) \end{eqnarray*} を以下のように超限再帰で定める:

  1. \(\alpha = \varepsilon(0) \times (1+\beta)\)を満たす\(\beta \in \textrm{On}\)が存在するならば、\(E(\alpha) := M(\beta)\)である。
  2. そうでないとして、\(N\)を底とする\(\alpha\)のカントール標準形を\(\sum_{i \in n} N^{1+d_i} \times (1+\beta_i)\)(\(n \in \omega \setminus \{0\}\)、\((d_i)_{i \in n}, (\beta_i)_{i \in n} \in \textrm{On…
投稿の全文を読む
Merliborn Merliborn 8日前
1

拡張Buchholzを3変数項だけで書くとどうなるか

このブログ記事以降、ずっと拡張弱Buchholzについてあれこれ弄り回しているんですが、今のところうまく結果も内容もまとまってなくてつらい状態にあります。雰囲気としてはψ(1,0)に届かない表記の順序型がバッハマン・ハワード順序数になりそうなんですが、だからと言って例えばBuchholzのψ関数をv≦1に制限したものとの間にすんなり変換写像が作れるかというとそういうわけでもなく、「証明論方向からなんとかなるかも…?」という示唆をDiscordで話してみたらAlweさんから「predicativeなところでcollapseしているからなんもわからん」という回答をいただきました。世の中甘くないですね。

この拡張弱Buchholzは、現在判明している段階では以下の予想があります:

予想 
拡張弱Buchholzの順序数表記\((OT,\prec)\)で、項\(t_1=\psi(0,u_1),t_2=\psi(0,u_2)\in OT\)について、項\(t_1\)の最内最右の0を\(t_2\)に置き換えたもの、すなわち\(t_1=\psi(0,\psi(t'_1,\cdots,\psi(t'_k,0)\cdots))\)に対して\(t_1\oplus t_2\overset{\mathrm{def}}{=}\psi(0,\psi(t'_1,\cdots,\psi(t'_k,t_2)\cdots))\)という項が\(OT\)に属するならば、\([ [t_1\oplus t_2]]=[ [t_1]]+[ [t_2]]\)。

すなわち、加法に対応する写像が上記の操作で定義できるんじゃないかという予想です。わたしの眼は大いに節穴なので最高にクールな証明方法を見落としている可能性が多大にありますが、…

投稿の全文を読む
P進大好きbot P進大好きbot 8日前
1

超限変数拡張ブーフホルツのψ関数観察日記

超限変数拡張ブーフホルツの\(\psi\)関数観察日記です。

超限変数拡張ブーフホルツの\(\psi\)関数に期待している動きを書いていきます。あくまで予測であり、全然証明していません。JGAによる拡張ブーフホルツの\(\psi\)関数 vs Rathjenの弱マーロ\(\psi\)関数の解析と整合的になっているかどうかを\(\textrm{BO}\)までは確認しながらやったので比較的あっている可能性が高いかもしれませんが、完全には確認していないので\(\textrm{BO}\)未満でも食い違っているかもしれません。


超限変数拡張ブーフホルツの\(\psi\)関数
Rathjenの弱マーロ\(\psi\)関数
































































































































































































































Wrap Zone!
Wrap Zone!














































Bonus Stage!
Bonus Stage!
















































Extra Movie!
Extra Movie!






















































































































































































































Ending Theme!
Ending Theme!














































































Special Thanks!
Special Thanks!








































































































































































































































































































































投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 10日前
0

(2020-11-20) 定義ずらしを含む順序数崩壊関数

定義ずらしとは、じぇいそん氏が発明した概念です。

この記事では、定義ずらしを含む順序数崩壊関数を作成することを試みます。ただし、これは定義ずらしとは異なる概念である可能性が高いことに注意してください。


  • 1 順序数表記
  • 2 動き
  • 3 最後に
  • 4 注釈

基本列付き順序数表記として \( \mathbb{A} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \) を取ります。

  1. \[ \T ( \alpha, \xi ) \land \xi \in \C ( \alpha, \beta ) \cap \alpha \land \pi \in \C ( \alpha, \beta ) \cap \Reg _ A \rightarrow \psi _ \pi ( \xi ) \in C ( \alpha, \beta ) \]

\( \psi _ \kappa ( \alpha ) \) を次のように定義します。

\[ \psi _ \kappa ( \alpha ) = \begin{cases} \min \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \kappa \in \C ( \alpha, \xi ) \land \C ( \alpha, \xi ) \cap \kappa \subseteq \xi \} & ( \kappa < A ) \\ \min \{ \xi \in \mathrm{On} \mid \Omega \in \C ( \alpha, \xi ) \land \C ( \alpha, \xi ) \cap \Omega \subseteq \xi \} & ( \kappa = A ) \\ \end{cases} \]


\( \A \) が \( \psi …




投稿の全文を読む
Kyodaisuu Kyodaisuu 15日前
2

記事投稿のテスト

記事投稿のテストです。

投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 17日前
0

くまくましーたの順序

ここでは、表記間の大小関係を辞書式順序で定義する。以下、PT'をPTとTPTの和集合とする。

X,Y∈Tに対し、2項関係X

投稿の全文を読む
AlweLogic AlweLogic 17日前
2

拡張Buchholzの基本的性質

拡張ブーフホルツのψ関数は基本的な性質などがあまり示されていないので少しずつ示していく。なんか示すべき命題あったら教えて下さい。


集合 \(C_\mu\) と関数 \(\psi_\mu\) は超限再帰によって以下のように定義される。

  • \(C_\nu^0(\alpha) = \Omega_\nu\)
  • \(C_\nu^{n+1}(\alpha) = \{\xi+\zeta\mid\xi\in C_\nu^n(\alpha)\land \zeta\in C_\nu^n(\alpha)\}\cup\{\psi_\mu(\xi)\mid \eta\in C_\nu^n(\alpha)\cap \alpha\}\)
  • \(C_\nu(\alpha) = \bigcup_{n < \omega} C_\nu^n (\alpha)\)
  • \(\psi_\nu(\alpha) = \min\{\xi \mid \gamma \notin C_\nu(\alpha)\}\)

ここで \(\Omega_0:=1,\Omega_\xi:=\aleph_\xi(\xi>0)\) とする。



注意4.1

以下\(\alpha,\beta,\gamma,\xi,\zeta,\eta\)と、その文字に添字を付けたものは全て順序数を表し、また\(\alpha\leq\beta\)に対し\([\alpha,\beta]:=\{\xi\mid\alpha\leq\xi\leq\beta\}\),\(]\alpha,\beta[\,:=\{\xi\mid\alpha


投稿の全文を読む
ゆきと ゆきと 18日前
0

Y数列の解説

うへぇえぇぇ

投稿の全文を読む
じぇいそん じぇいそん 19日前
1

α

間違えた

投稿の全文を読む
BashicuHyudora BashicuHyudora 19日前
0

バシク極限行列数

https://twitter.com/nas777777_/status/1325025444702289920

基本関数はA=Bas(A,A,A) でBes^1000(999)

投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 20日前
0

サンドボックス1

こいつ調子乗ってるな?以下、定義は上から順に適用される。 ‍‌


定義の都合上これら3つを相互再帰で定義することにする。一応3つに分けますが全部合わせて定義。


0とψと(と)と+と,のみからなる文字列の集合T1、T2、T、PTを以下のように相互再帰で定義する。

1. 0∈Tかつψ(0)(0)(0)(0)∈Tかつψ(0)(0)(0)(0)∈PTである。
2. X_m
投稿の全文を読む
ポトフ ポトフ 20日前
0

急増加関数f 3(n)の評価

急増加関数の\(f_3(n)\)がだいたいテトレーションくらいの強さというのは知っていても、 テトレーションと比較してどんなもんなのかが分かりづらいので 調べてみました。

結果は次の通りです。

\[ (2 \uparrow)^n n \leq f_3(n) \lt (3 \uparrow)^n n \] または \[ (2 \uparrow)^n n \leq f_3(n) \lt (2 \uparrow)^n (2n) \] が成り立ちます。

テトレーションと比較する場合は、\(n\geq 3\)で \[ 2 \uparrow\uparrow (n+1) \leq f_3(n) \lt n \uparrow\uparrow (n+1) \] や \[ 2 \uparrow\uparrow (n+1) \leq f_3(n) \lt 2 \uparrow\uparrow (2n) \] が成り立つと思います。



  • 1 f_3(n)の下界
  • 2 f_3(n)の上界
    • 2.1 3を底とする指数タワー
    • 2.2 2を底とする指数タワー
  • 3 最後に

まず、\(f_2(n)= n\cdot 2^n \geq 2^n = (2\uparrow)^1 n \)が成り立つ。

次に、\(f_2^k(n) \geq (2\uparrow)^k n \)が成り立つとすると、 \[ f_2^{k+1}(n) = f_2(f_2^k(n)) = f_2^k(n) \cdot 2^{f_2^k(n)} \geq 2^{f_2^k(n)} \geq 2^{(2\uparrow)^k n} = (2\uparrow)^{k+1} n \] となり、数学的帰納法よりすべての\(k\)について成り立つので \[ f_3(n) = f_2^n(n) …




投稿の全文を読む
公太郎 公太郎 21日前
0

公太朗の机

作成した表記やプログラムをまとめるブログを作成しました。

最近ブログのコメント件数が見にくくなったので

もし、もし、もし、私の表記のおかしいところをチェックしてくださる方がいらっしゃったら、

私のtwitterの方によろしくおねがいします。



  • 1 生きている表記やプログラム
    • 1.1 Hydra VS You
    • 1.2 Buchholz Hydra VS You
    • 1.3 H[TFBO×ω](8).js
    • 1.4 弱ハイパーペア数列
  • 2 死亡した表記
    • 2.1 構造演算子(試作)
    • 2.2 構造演算子(試作2)


ヒドラゲームのシミュレータです。正直しょぼいです。

ユーザーブログ:公太郎/Hydra VS You



ブーフホルツのヒドラのシミュレータです。

Hydra VS Youの完全上位互換となっています。

ユーザーブログ:公太郎/ブーフホルツのヒドラシミュレーター



ブーフホルツのヒドラのシミュレータの本質部分だけをくり抜いて

大きい数を計算するプログラム。数式的にはこのように定義される。


プログラムの関係上0をωとして扱っている。

https://github.com/Kotaro-Hamu/Kyodai/blob/main/Hydra/H%5BTFBO%C3%97%CF%89%5D(8).js


添字でハイパー原始をするブーフホルツのヒドラです。

それにちょっと悪あがきを加えたものです。

弱ハイパーペア数列で定義された弱ハイパーペア数列数も添えます。


弱ハイパーペア数列
性質
答え
関数の強さ予想
BM4で(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,0,0)[n]
数の大きさ予想
BM4で(0,0,0,0)(1,1,1,1)(1,1,0,0)(1,0,0,0)[8]
停止性
不明
影響を受けた表記
ペア数列 ブーフホルツのヒドラ ハイパー原…















投稿の全文を読む
Kyodaisuu Kyodaisuu 22日前
0

ラティエンのΦ関数

Rathjen (1990)

つまり、

  • \(\varphi_0\) は加算で閉じている順序数 AP を数える関数なので \(\varphi 0 \alpha = \omega^\alpha\) となり、\(\varPhi_0\) は非可算基数を数える関数なので \(\varPhi_0(\xi) = \aleph_{1+\xi}\) となる。
  • \(\varphi_1\) は \(\varphi_0(\xi) = \xi\) を満たす順序数を数える関数となるように、 \(\varPhi_1\) は \(\varPhi_0(\mu) = \mu\) を満たす基数を数える関数となる。すなわち \(\varPhi_1(\alpha)\) は \(\alpha\)番目のオメガ不動点となる。

となります。

投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 22日前
2

(2020-11-08) 順序数への体系的な命名

ここ最近、順序数への命名が話題になっています。

始まりは、バシク氏(ナスタチア氏)がバシク行列システムで表される三つの順序数に対して名前を付けたことです。それを受けて、ゆきと氏がY数列の限界に対応する順序数に対して名前をつけました。さらに、ブーフホルツのプサイ関数の順序数表記の多変数化が甘露東風氏により考案されるに従い、新しい順序数表記を作ろうとする流れが、 p進大好きbot 氏のような理論系巨大数研究者以外でも活発になりました。そして、それに伴って順序数への命名も意識されるようになりました。

私も、その流れに乗って、順序数にカッコいい名前を付けたいと思います。なお、このネタは 2020-07-23 に考案していたものです。


  • 1 外表記
  • 2 命名
  • 3
  • 4 最後に

私の命名には、その基本に外表記という概念があります。ユーザーブログ:Hexirp/(2020-08-27)_YHSS_の外表記を読んで学習してください。


YH数列システム 2.0.1 を順序数表記として見做したものを使います。次のように、命名を行います。

  1. \( (1,3) \) を、「イハミ」と名付けます。
  2. \( A \) が「甲」と名付けられているとき、
    1. \( A[0] \) を「甲ナシ」と名付けます。
    2. \( A[1] \) を「甲イツ」と名付けます。
    3. \( A[2] \) を「甲ワツ」と名付けます。
    4. \( A[3] \) を「甲シツ」と名付けます。
    5. \( A[4] \) を「甲ファツ」と名付けます。
    6. \( A[5] \) を「甲イヴ」と名付けます。

\( \varepsilon _ 0 \) は \( (1,2,4) \) であり \( (1,3)[2] \) なので、「イハミワツ」です。


もちろん、この記事はジョークです。






投稿の全文を読む
P進大好きbot P進大好きbot 23日前
1

超限変数拡張ブーフホルツのψ関数

ブーフホルツのψ関数をDenisさんが拡張した拡張ブーフホルツのψ関数を僕が順序数表記化した拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記を甘露東風さんが多変数化した表記である3変数ψを僕が順序数崩壊関数化しようとしたついでに超限変数化した超限変数拡張ブーフホルツのψ関数です。

実際に拡張ブーフホルツのψ関数の拡張であるかどうかや3変数ψと整合的であるかどうかはまだチェックしていません。3変数ψを拡張した表記である4変数ψとも整合的だと思いますが、それを更に拡張した表記であることが意図されているMitsukiさんの多変数ψと整合的であるかどうかは、多変数ψの定義をあまり確認していないので分かりません。多変数ψと整合的であれば、それと等価であることが期待されているmrnaさんの多変数段階配列表記とも整合的になるのですがやはり確認していません。多変数ψを更に拡張した表記であることが意図されているMitsukiさんの超限変数ψはまだ未完成のようなので、それとの関係も分かりません。

超限変数や高次の正則性を知らない人のためにそれらの定義も書いているので長いですが、超限変数拡張ブーフホルツのψ関数の定義自体は短いです。



  • 1 超限変数
    • 1.1 解説
    • 1.2 略記法
    • 1.3 整礎性

超限変数に関する用語を導入する。\(\textrm{On} \times (\textrm{On} \setminus \{0\})\)の有限部分集合であって写像であるものを超限引数と呼ぶ。超限引数全体のクラスを\(\textrm{TA}\)と置く。

部分集合\(S \subset \textrm{On}\)に対し、部分集合\(\textrm{TA} \cap S^2 \subset \textrm{TA}\)を\(\textrm{TA}…




投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 23日前
0

偽くま2n+2m型ψ

超限完成まで計画は一時凍結。以下、定義は上から順に適用される。


定義の都合上これら3つを相互再帰で定義することにする。一応3つに分けますが全部合わせて定義。


0とψと(と)と+と,のみからなる文字列の集合T1、T2、T、PTを以下のように相互再帰で定義する。

1. 0∈Tかつψ(0)(0)(0)(0)∈Tかつψ(0)(0)(0)(0)∈PTである。
2. X_m
投稿の全文を読む
Gaoji Gaoji 25日前
1

弱4元カッコ

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 表記全体の集合
    • 2.2 大小関係
    • 2.3 文字列変換
    • 2.4 巨大数
    • 2.5 大きさの見積もり
      • 2.5.1 \(F(x)\)の値の(F(3)からは予想です)
    • 2.6 参考

 弱3元カッコの定義によって拡張の見通しが立った。G数列のレベル3以降は作れなかったが、この方法なら想定していたレベル3の構造と同じようなシステムを作れそうなので、とりあえず作ってみた。(EBOを超えるのが夢で(プロフィール参照)、EBOを超えそうな表記をずっと考えてました。いろいろあったけど、やっと定義が完成して嬉しい!!!)


\((,/,)\) のみが並ぶ文字列の集合 \(T\) 、 \(ST\) を以下に再帰的に定義する。空列は \(\varepsilon\) と書く。

  1. \(\varepsilon \in T\)
  2. \(a\in T\land b\in T\) ならば、 \(ab\in T\)
  3. \(a\in T\land b\in T\land c\in T\) ならば、 \((a/b/c)\in T\)

集合\(ST\) (単項(カッコ1つで包まれた文字列)の集合)を以下に再帰的に定義する。

  1. \(a\in T\land b\in T\land c\in T\) ならば、 \((a/b/c)\in ST\)

\(a\in T\land b\in T\) について、二項関係 \(a\lt b\) を以下に再帰的に定義する。\(m,m'\) を \(2\) 以上の整数、 \(i\) を \(1\) 以上 \(m\) 以下の整数、 \(j\) を \(1\) 以上 \(m'\) 以下の整数とする。

  1. \(a=\varepsilon\) なら \(a\lt b\) は \(b\neq \varepsilon\) と同値
  2. \(a=(a_{…



投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 25日前
0

くまくましーた

本表記の名称を「くまくましーた」とする。



ここでは、表記に用いる文字列を定める。

0とψとθと(と)と+と,のみからなる文字列の集合Tとその部分集合PT、TPTを、以下のように再帰的に定める:

1. 0∈Tである。
2. いかなるX_1,X_2∈Tに対しても、ψ(X_1,X_2)∈Tかつψ(X_1,X_2)∈PTかつ、
  θ(X_1,X_2)∈Tかつθ(X_1,X_2)∈TPTである。
3. いかなるX_1,...,X_{m}∈PT (2≦m
投稿の全文を読む
Gaoji Gaoji 25日前
0

弱3元カッコ

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 表記全体の集合
    • 2.2 大小関係
    • 2.3 文字列変換
    • 2.4 巨大数
    • 2.5 大きさの見積もり
      • 2.5.1 \(F(x)\)の値
    • 2.6 参考

 G数列(レベル2)を定義するときに与えた関数domは着目する入れ子を一つずつ内側や外側に移しながらどんな展開にするのかを考えるための関数である。しかし人の頭の中ではそのようなことは多分していなくて、もっと場合分けを減らして考えているはずだと思った。そこで、んなぁ数を参考にしてdomを使わずにG数列(レベル2)と同じような強さのシステムを作ろうと思った。(あと、1からカッコを使った定義をする試みのリベンジでもある、、)


\((,/,)\) のみが並ぶ文字列の集合 \(T\) 、 \(ST\) を以下に再帰的に定義する。空列は \(\varepsilon\) と書く。

  1. \(\varepsilon \in T\)
  2. \(a\in T\land b\in T\) ならば、 \(ab\in T\land (a/b)\in T\)

集合 \(ST\) (単項(カッコ1つで包まれた文字列)の集合)を以下に再帰的に定義する。

  1. \(a\in T\land b\in T\) ならば、 \((a/b)\in ST\)

\(a\in T\land b\in T\) について、二項関係 \(a\lt b\) を以下に再帰的に定義する。\(m,m'\) を \(2\) 以上の整数、 \(i\) を \(1\) 以上 \(m\) 以下の整数、 \(j\) を \(1\) 以上 \(m'\) 以下の整数とする。

  1. \(a=\varepsilon\) なら \(a\lt b\) は \(b\neq \varepsilon\) と同値
  2. \(a=(a_{1}/a_{2})\land a_{1}\…



投稿の全文を読む
Naruyoko Naruyoko 27日前
0

Y(1,3)とDBMSの変換に関するツイートや考え

Y(1,3)とDBMSの変換及び証明が難航しているため、ここで思考を整理しようと思う。


2020/11/02現在において証明がなされていない命題山火事の基本性質がある。名称の通り山火事という展開規則に関する命題なのだが、実際に内容を見て貰えれば分かる通り超極悪である。「基本」性質とは名ばかりで、実際にはこの規則によって展開された数列のMt.Fujiを書いた時、展開前の数列のMt.Fujiによって推測される形と一致するというものである。つまり、もしこの命題が成り立たなければ、定義に使われたプログラムどころかY数列数のwell-defined性すら危ぶまれる。最悪、停止しなくなるだろう。

さて、この命題は、Mt.Fujiがこの性質を満たせば数列は一致するということは比較的簡単に示せるだろう、なぜならばそれには展開のアルゴリズムの最後の方に現れるObjectの性質を調べればいいだけだからだ。しかし、実際に個別の数の親がこのようになるかというと難しい。BMSと違い、数列はこのMt.Fujiを圧縮したものであり、そこで情報を失ってしまうからだ。さらに、数がどのような式で表されるかを求めようとするとこれはまた複雑である。したがって、このことについての考察や思考をTwitterでツイートした文言を交えて書いていく。


筆者のツイッターのアカウントは非公開であることに注意されたい。

投稿の全文を読む
公太郎 公太郎 27日前
0

ブーフホルツのヒドラシミュレーター

ブーフホルツのヒドラの動きをわかりやすくするプログラムです。

一番下の(+)のノードは省略しました。

https://editor.p5js.org/Hamutaro/sketches/sqSteSiWm

投稿の全文を読む
猫山にゃん太 猫山にゃん太 28日前
1

いろいろ展開プログラムを作りました

展開プログラムを書くのが趣味です。

  • アッカーマン関数(多変数対応)
  • フラン数第四形態 改二/改三

ドル関数とか強配列表記とかも作っているんですが、一番最初のレベルにしか対応していないので、せめてもう一段階上のレベルに対応させてから公開したいと思ってます。

あと、既存のもの(ふぃっしゅ数バージョン5とか)も、一気に複数ステップ進められるように改良しました。

投稿の全文を読む
Merliborn Merliborn 29日前
0

BH固定点 (0) 表記における加法についての考察

利用者:Merliborn/Bachmann-Howard固定点による順序数の特徴づけと表示系の子記事をブログにしようと思ったんですが、表記における加法の取り扱いでスタックしまくったのでめでたく独立ブログ記事になりました。はい拍手。

項の集まりを帰納的に定義した場合、それはある自己関手とその始代数として表現ができます。しかしここに加法的な存在を追加しようとすると、どの程度の性質を加法に求めているかにも依ると思いますが、とても面倒なことになります。ただの二項演算のような存在として導入するくらいならいいのですが、今回は項の定義のなかに組み込む予定なので本当に面倒くさいですし、特徴づけがどのようにできるのかちょっとわからなくなりました。



単項\(m\in M\)と項\(t\in T\)を以下の文法で帰納的に生成されるものとして定義します。

\(t::=0\mid \langle m_1,\cdots,m_k\rangle\ (1\leq k
投稿の全文を読む
Naruyoko Naruyoko 29日前
0

謎鉤謎括弧謎謎謎配列謎

自分でアイデアを一(\(f_\omega\)とかから)から考えてI WIN!やillでないものが多分GitHub pages時代の\(f_{\omega^2+\omega2}\)や謎の\(f_{\varepsilon_0}\)なので、それを超える何かを真面目に考えたい。そこで、配列表記をベースに何かができたのがこの表記。おそらく拡張ブーフホルツの極限より強くJäger's \(\psi\)より弱い(基本列は常識的なもので)。既視感が否めない。なお、名前は基本適当である。息抜き。独創性:=0


以下で単に自然数といえば非負整数のことである。

\(Not\)をある1個以上の自然数\(a_0,a_1,\cdots,a_k\)と\(k\)個の\(Hook\)の要素\((b_0,b_1,\cdots,b_{k-1})\in Hook^k\)が存在して\(a_0b_0a_1b_1\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_k\)となる文字列全体の集合とする。

\(Hook\)をある0個以上の自然数\(a_0,a_1,\cdots,a_k\)と\(\max(0,k)\)個の\(Bold_0\)の要素\((b_0,b_1,\cdots,b_{k-1})\in Bold_0^{\max(0,k)}\)が存在して\(「a_0b_0a_1b_1\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_k」\)となる文字列全体の集合とする。

\(Bold\)を条件「ある1個以上の自然数\(a_0,a_1,\cdots,a_k,a_{k+1}\)と\(\max(0,k)\)個の\(Bold\)の要素\((b_0,b_1,\cdots,b_{k-1})\in Bold^{\max(0,k)}\)が存在して\(c=『a_0…


投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 29日前
1

(2020-11-01) Functional OCFs

関数型順序数崩壊関数 (functional ordinal collapsing function) の一例に対して、定義を与えます。

functional ordinal collapsing function は、 Fejfo 氏により User_blog:Fejfo/Fucntional_OCFs で導入された概念です。順序数崩壊関数の定義に対して新基軸を与える概念であることは興味深く、しかしながら Fejfo 氏は良定義 (well-defined) な例を与えることは出来ませんでした。


甘露東風: ocfcfという概念を思い付いた

Hexirp: functional OCFs の一歩先にありそうな概念だ

甘露東風: なんじゃそりゃ

Hexirp: 普通の順序数崩壊関数は ω, ω^ω, ω^ω^ω, ... という感じに順序数に対して大きくする操作を C の中で繰り返しますが、 functional OCFs では順序数に対して強めるのを繰り返すのと同時に関数に対して強める操作を繰り返します。

甘露東風: よぐわがんね

Hexirp: ぴえん

甘露東風: 例えばどんな表記がありますか?

Hexirp: まだ well-defined な表記がないので、今作ってます。

甘露東風: ぴえん


\( \Omega \) を、 \( \omega _ 1 \) と等しい順序数であるとする。

\( \kappa \) を、次の式を満たす最小の順序数であるとする。

  1. \( \Omega < \kappa \)
  2. \( \forall \{ x _ i \} _ { i < \kappa } \ldotp ( \forall i \ldotp x _ i < \kappa ) \to \sup _ { i …


投稿の全文を読む
じぇいそん じぇいそん 10月31日 (土)
0

ε関数の解説を試みる

\(\newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\*}{×}\) \(\e\)関数の定義ができたのですが、流石にあれを読んで\(\e\)関数を理解しろというのは無理があるので、

なるべく分かりやすく解説するということに挑戦してみたいと思います。

一度に書き切るのは無理があるので、不定期に更新する形をとらせていただきます。

ただし、

  1. あくまでも\(\e\)関数の解説であって、実際に書いた定義の解説ではないこと
  2. 不正確な部分が含まれる可能性があること
  3. 分かりやすい解説であることを保証するものではないこと

以上の点を踏まえた上で読んでいただけると助かります。

なお、不正確な部分や気になるところは、コメントかTwitterに質問してください。

もしくは下記のリンクにある\(\e\)関数の定義を読んで補完して下さい。(本末転倒)


  • 1 定義
  • 2 解説について
  • 3 定義ずらし
  • 4 定義の加法
  • 5 やっと解説
    • 5.1 \(1〜EE_A(A)\)まで
    • 5.2 \(EE_A(A+E(\e([A])))\)まで
    • 5.3 \(EE_A(A+E(\e([A])×(2)))\)まで
    • 5.4 \(EE_A(A+A)\)まで
    • 5.5 \(EE_A(A+A+E(\e([A+A]))\)まで
    • 5.6 \(EE_A(A+A+E(\e([A+A])\*(2))\)まで
    • 5.7 \(EE_A(A+A+A)\)まで
    • 5.8 \(EE_A(EE_{E(\e(0)+\e([A]))}(1))\)まで
    • 5.9 \(EE_A(EE_{E(\e(0)+\e([A]))}(A))\)まで

\(\e\)関数の定義のリンク

これを読むだけで十分理解できる、という方はむしろ理解の…



投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 10月31日 (土)
0

ペア数列型ψ


ここでは、表記に用いる文字列を定める。

0とψ_と(と)と+と,のみからなる文字列の集合Tとその部分集合PTを、以下のように再帰的に定める:

1. 0∈Tである。
2. いかなるX_1,X_2∈Tに対しても、ψ_{X_1}(X_2)∈Tかつψ_{X_1}(X_2)∈PTである。
3. いかなるX_1,...,X_m∈PT (2≦m
投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 10月31日 (土)
0

くまくまメモ

本表記の名称を「くまくま3変数配列表記」とする。



ここでは、表記に用いる文字列を定める。

0と{と}と(と)と+と,のみからなる文字列の集合Tとその部分集合PTを、以下のように再帰的に定める:

1. 0∈Tである。
2. いかなるX_1,X_2,X_3∈Tに対しても、{X_1}(X_2,X_3)∈Tかつ{X_1}(X_2,X_3)∈PTである。
3. いかなるX_1,...,X_m∈PT (2≦m
投稿の全文を読む
Merliborn Merliborn 10月30日 (金)
0

BH固定点

利用者:Merliborn/Bachmann-Howard固定点による順序数の特徴づけと表示系

別件でAlweさんに紹介いただいた論文がとても興味深かったので調べてみようと思います。

投稿の全文を読む
AlweLogic AlweLogic 10月28日 (水)
1

Fodorの補題

TLで話題になっていたFodorの補題です.


定義 (閉非有界性,定常性)
  • \(\kappa\) を基数とし,\(A\) を集合とする.このとき \([A]^{

投稿の全文を読む
猫山にゃん太 猫山にゃん太 10月28日 (水)
1

Block subsequence theorem の n 関数を求めるプログラム

TREE(3) を始めとする数々の凶悪巨大数でおなじみ Harvey Friedman 氏による、 比較的おとなしい巨大数

n(3) を求めようとする Ruby プログラム

しばらく動かして、以下のような 500文字の文字列を得ました。部分列がありそうに見えて意外にも無いようです。

11221233331333333323332222222222222133333333333333 33333333333333333332332222222222222222222222222222 22222222222222222222222222222222222222222222223323 23232323232323233333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333233333 33332333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333331

投稿の全文を読む
ゆきと ゆきと 10月28日 (水)
0

Yシリーズ

Yシリーズは、亜原始数列から始まる、ゆきとが作成した一連の数列群のことである。具体的には、亜原始数列、ハイパー原始数列、\(0\)-Y数列、Y数列、そしてまだ定式化されていない3つの数列、\(\omega\)-Y数列、\(\epsilon_0\)-Y数列、\(\Omega\)-Y数列が該当する。

投稿の全文を読む
AlweLogic AlweLogic 10月27日 (火)
1

メモ


命題

\(\langle\varepsilon_{\mathrm{On}+1},\kappa^-\) かつ \(d\in(\mathrm{Hull}^{\mathrm{On}}_{\Sigma_1}(\xi\cup\{\kappa\})\cup\{\mathrm{On}\})\cap\mathcal{H}^m_{\alpha,n}(X)\) ならば \(F^{\Sigma_1}_{\xi\cup\{\kappa\}}(d)\in\mathcal{H}^{m+1}_{\alpha,n}(X)\) 。

  1. \(\mathcal{H}_{\alpha,n}(X):=\bigcup_{m\in\omega}\mathcal{H}^m_{\alpha,n}(X)\) 。
  2. \(\kappa\in\mathrm{Reg}\) とする。\(\Psi_{\kappa,n}:=\min(\{\kappa\}\cup\{\xi

投稿の全文を読む
Emk Emk 10月25日 (日)
1

TR関数の定式化の一例

ここでは理論\(T\)の言語は定数記号\(c_k\)、関数記号\(f_k\)、述語記号\(R_k\)を有限個しか持たないものに制限する。

また、長さ\(n\)の記号列に現れる変数記号を\(x_k(0≤k0\)ならば、\(\mathrm{hl}_T(n)=\mathrm{hl}_T(n-1)+(\mathrm{syms}_T+n)^n.\) 長さ\(n\)の記号列\(φ\)の\(0≤k0\)ならば、\(┌φ┐=\mathrm{hl}_T(n-1)+\sum_{k=0}^{n-1}(┌φ_k┐-1)(\mathrm{syms}_T+n)^k.\)

チューリング機械の符号化を1つ固定し、チューリング機械をその符号と同一視する。チューリング機械の状態は有限個で互いに区別が付けばいいので、自然数で表す。また停止状態は\(0\)に固定する。

\(\mathrm{state}(M,x)=y\) を、「チューリング機械\(M\)の\(x\)ステップ目の状態は\(y\)である」を意味する述語とする。

\(\mathrm{steps}(M)=x := \mathrm{state}(M,x)=0∧∀y

投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 10月23日 (金)
0

偽くま超変数ψのデバッグ兼計算

あー編集しにくいぜチキショウ


  • 1 F(0)
  • 2 F(1)
    • 2.1 ψ(0)(ψ($1)($1))[$1]の計算
      • 2.1.1 ψ($1)($1)[$1]の計算
    • 2.2 ψ(0)(ψ(0)($1))[$1]の計算
  • 3 F(2)

g(0)=$1

F(0)=f_{$1}(0)

f_{$1}(0)=f_{$1[0]}^0(0)=0


g(1)=ψ($1)($1)

F(1)=f_{ψ(0)(ψ($1)($1))}(1)

f_{ψ(0)(ψ($1)($1))}(1)=f_{ψ(0)(ψ($1)($1))[$1]}(1)


とりあえずdom(ψ($1)($1))を計算する

2-3よりdom(ψ($1)($1))=ψ($1)($1)

よってa_0=0で、2-3-4が適用される。

dom(Z_λ)=dom(ψ($1)($1))=ψ($1)($1)でXより大きいので2-3-4-2が適用される。

dom(A_τ)=$1なので2-3-4-2-1が適用される。

よって、とりあえずψ(0)(ψ($1)($1))[0]を計算する必要がある。2-3-4-2-1-4-2に飛ばされるのでψ(0)(ψ($1)($1))[0]= ψ(0)(ψ($1)($1)[$1])である。


a_0=$1で、dom(Z_λ)=$1である。

よって、2-3-1-2よりψ($1)($1)[$1]=$1である。

つまり、ψ(0)(ψ($1)($1))[0]=ψ(0)($1)=$ωである。

本題のψ(0)(ψ($1)($1))[$1]に戻るとΓ=$1かつB_τ[0]=0なので2-3-4-2-1-2-2よりψ(0)(ψ($1)($1))[$1]=ψ(0)(ψ($1)($1)[ψ(0)($1)])=ψ(0)(ψ(0)(1))である。

よって、f_{ψ(0)(ψ($1)($1))}(1)=f_{ψ(0)(…






投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 10月23日 (金)
0

くまくま超変数ψ:修正案

毎日投稿を切らしたくない(本音)。以下、定義は上から順に適用される。


定義の都合上これら3つを相互再帰で定義することにする。


0とψと(と)と+と,のみからなる文字列の集合T1、T2、T、PTを以下のように相互再帰で定義する。

1. 0∈Tかつψ(0)(0)∈Tかつψ(0)(0)∈PTである。
2. X_m
投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 10月21日 (水)
2

くまくま3変数ψ展開チートシート

https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kanrokoti/%E3%81%8F%E3%81%BE%E3%81%8F%E3%81%BE3%E5%A4%89%E6%95%B0%CF%88


  • 1 up to \(ψ_0(0,ψ_0(1,0))\)
  • 2 up to \(ψ_0(0,ψ_0(2,0))\)
  • 3 up to \(ψ_0(0,ψ_0(3,0))\)
  • 4 up to \(ψ_0(0,ψ_1(0,0))\)
  • 5 up to \(ψ_0(0,ψ_2(0,0))\)
  • 6 up to \(ψ_0(0,ψ_{ψ_0(1,0)}(0,0))\)

\(0 \to 0\)

\(ψ_0(0,0) \to 0\)

\(ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0) \to ψ_0(0,0)\)

\(ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0) \to ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0)\)

\(ψ_0(0,ψ_0(0,0)) \to ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0)+...+ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0)\)

\(ψ_0(0,ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0)) \to ψ_0(0,ψ_0(0,0))+ψ_0(0,ψ_0(0,0))+...+ψ_0(0,ψ_0(0,0))+ψ_0(0,ψ_0(0,0))\)

\(ψ_0(0,ψ_0(0,ψ_0(0,0))) \to ψ_0(0,ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0)+...+ψ_0(0,0)+ψ_0(0,0))\)

\(ψ_0(0,ψ_0(1,0)) \to ψ_0(0,ψ_0(0,ψ_0(0,...)))\)


\(ψ_0(0,ψ_…




投稿の全文を読む
BashicuHyudora BashicuHyudora 10月21日 (水)
0

バシク行列の解析2

バシク行列の解析1


\begin{array}{ll} (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega)\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega+\Phi_0(\Omega+1))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,1,0)(3,2,0)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega+\Phi_1(0)))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,0)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega+\Psi_{\Omega_2}(\Psi_2(0))))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(2,2,2)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega+\Psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega)))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(2,2,0)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega+\Psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega+\Psi_2(0))))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(2,2,1)(3,3,2)&=&\\ \Psi_\Omega(\Omega_\omega+\Psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega+\Psi_{\Omega_3}(\Omega_\omega))))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(2,2,2)&=&\\ \Psi_…


投稿の全文を読む
公太郎 公太郎 10月20日 (火)
0

構造演算子(試作2)の変換写像を用いた解析

構造演算子(試作2)の定義はこちらです


構造演算子がBM4の3行行列と対応することを示すことを目標とする.


集合\(OC\)を帰納的に定める.

1.\(\forall n \in \mathbb{N}^+,LC^n \in OC\).
2.\(\forall n \in \mathbb{N},\forall X \in OC,X[n] \in OC\).


\((OC,[])\)は基本列付き表記である.


\((OC,[])\)に対し,\(OC\)上の二項関係\(\leq_{(OC,[])}\)を定める.

1.\(\forall X \in OC\), If \(n > m\),then \(X[n] \leq_{(OC,[])} X[m]\).
2.If \(n > m\),then \( LC^n \leq_{(OC,[])} LC^m\).
投稿の全文を読む
Koteitan Koteitan 10月19日 (月)
2

(1,3)未満のY数列の定義

本物のY数列の定義を簡潔に書こうとしました。 ただし、Y(1,3)未満です。

\(\newcommand{\bm}[1]{ {\boldsymbol #1}}\) \begin{eqnarray*} \textrm{expand:}~\textrm{expand}()[n]&=&n\\ \textrm{expand}(\bm{S})[n]&=&\textrm{expand}(\bm{S}')[f(n)]\\ \textrm{activation function:}~f(n)&=&n+1\\ \textrm{Sequence:}~\bm{S}_y&=&S_{0y}S_{1y}\cdots S_{(X-1)y}\\ \textrm{Parent:}~P_{\bm{S}_y}(x)&=&\left\{ \begin{array}{ll} \max\left\{x'|x'1\\ 0 & S_{sy}\leq 1 \end{array} \right.\\ \textrm{Deepest-Non-one:}~t&=&\max\left\{y|S_{(X-1)y}>1\right\}\\ \textrm{Bad Root:}~r&=&P_{\bm{S}_t(X-1)}\\ \textrm{Bad part width:}~B&=&X-r-1\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \textrm{Copy original parentships:}&~&0\leq \forall x

投稿の全文を読む
Kanrokoti Kanrokoti 10月18日 (日)
0

くまくま3変数ψ修正草案

https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kanrokoti/%E3%81%8F%E3%81%BE%E3%81%8F%E3%81%BE3%E5%A4%89%E6%95%B0%CF%88


全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dom} \colon T & \to & T \\ X & \mapsto & \textrm{dom}(X) \\ \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

1. もしX=0ならば、dom(X)=0である。
2. ここでX=ψ_{X_1}(X_2,X_3)を満たすX_1,X_2,X_3∈Tが存在するとする。
2-1. ここでdom(X_3)=0とする。
2-1-1. ここでdom(X_2)=0とする。
2-1-1-1. もしdom(X_1)=0またはdom(X_1)=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-1-2. もしdom(X_1)≠0,$1ならば、dom(X)=dom(X_1)である。
2-1-2. もしdom(X_2)=$1ならば、dom(X)=Xである。
2-1-3. ここでdom(X_2)≠0,$1とする。
2-1-3-1. もしdom(X_2)
投稿の全文を読む
Mitsuki1729 Mitsuki1729 10月16日 (金)
0

試作:偽くま超変数ψ

バグ多過ぎて泣きそう。以下、定義は上から順に適用される。


定義の都合上これら3つを相互再帰で定義することにする。


0とψと(と)と+と,のみからなる文字列の集合T1、T2、T、PTを以下のように相互再帰で定義する。

1. 0∈Tかつψ(0)(0)∈Tかつψ(0)(0)∈PTである。
2. X_m
投稿の全文を読む
Gaoji Gaoji 10月16日 (金)
0

コピーの数がステップ数に依存するということ

 べクレミシェフの虫やヒドラゲームはコピーの回数をステップ数のみに依存させている。わたしはこれまでそのことに違和感を感じてしまっていて、ステップ数に依存させないで入力値に依存するようなものを作ってきた
 非負整数を入力して非負整数を返すんなぁぁ関数 \(NANATI(n)\) を定義する。2以上の整数 \(r\) 、配列の列 \(N=\{(0,n)\}\) について \(NNA(N,2)=\{(0,r)\}\) となる最小の \(r\) が存在し、\(NANATI(n)=r\)と定める。


\(NANATI(8777771^{87771})\)をんなぁぁ数とする。

投稿の全文を読む
じぇいそん じぇいそん 10月15日 (木)
1

徒然ε関数

徒然なるままに\(ε\)関数について書いていく

ほとんど気分転換と頭の整理が目的

決して\(ε\)関数の定義を書くことから逃げているわけではない


全てはとある亀がアスターさんの動画でふぃっしゅ数について知ったことから始まる。

当時巨大数と言う存在を知ったばかりで、知識も技術もない(今もそんなにない)亀は\(S\)変換というものに衝撃を受けました。

入れた関数から、より強い関数を出力する写像なんて考えたこともなかったですからね。その時の亀には\(S\)変換が無限\(ω\)の可能性を持っているかのように感じられたわけです。

当然\(S\)変換のような写像を使ってめっちゃでかい巨大数作ろうぜ!となるわけですが、よちよち歩きも出来ないような生まれたての初心者グーゴロジストにそんなことができるわけもなく、無駄に複雑な癖に大きいわけでもない表記クソみたいなサラダが生まれただけでした。

・・・それから時は流れ、梟動物やら鮪動物やらY誰だよやらと出会い一緒に巨大数をやっていた亀はふと考えます。

\(Ω\)が出てくるのがだんだん遅くなるようなOCFっぽい表記作ったら強いんじゃね?

そうしてできたのが\(γ\)関数というゲテモノです。

正直かなり無理がある表記でした。結局完成してないし。

その上梟が(おそらく)同様のコンセプトで作った\(κ\)関数と融合し、\(γκ\)とかいうものが生まれます。ぶっちゃけ奇跡だと思う。

\(γκ\)はあまりにも複雑で亀の手に負える代物ではなかったので、無駄を省いて簡単(?)な表記に直そうと考えます。\(δ\)計画の始まりです。名前だけはかっこいい。

「上手いこと\(Ω\)が出てくるのがだんだん遅くなるようなOCFっぽい表記は作れないだろうか・・・」

そう考える亀は\(S\)変換を思い出し…


投稿の全文を読む
Hexirp Hexirp 10月14日 (水)
0

(2020-10-14) YH数列システムのオリジナリティ

ゆきとさんがY数列はどれくらい自分のものと言えるのか疑問に思う旨のツイートをしていました。私も無関係ではないということで、YH数列システムのオリジナリティについて考察します。

構想については YNy Sequence 以前の展開の例しかなかった頃のY数列だけを参考にしています。 (1,2,4,7,10,8) の件のように私の独自のアイデアが特異なものとして認められた例もあります。しかし、それでも、YH数列システムについては、根本的に、ゆきとさんの発想によるものが本当に大きいです。

次に、数式による定義やアルゴリズムについては「山」や「 DPN 形式」などの概念を独自に定義しており、オリジナル性を十分に主張できると思います。

最後に、ソースコードについては他のソースコードからコピーするようなことなく一から書き起こしたのでオリジナリティを主張できます。

投稿の全文を読む
Gaoji Gaoji 10月14日 (水)
1

素数溶解関数

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 素数遺伝的記法
    • 2.2 素数融解関数
    • 2.3 巨大数
  • 3 大きさ

 このブログを投稿する前日ぐらいに、何番目の素数かでカッコの複雑な形を表現することができることを見つけた。なにかに使えないかなとぼんやり考えていたら、前に素数を使った巨大数を作りたいなと思って力不足で作れなかったことを思い出して、リベンジとして作っておこうと思い作ってみた。


 \(n,s,t,i,j\)を1以上の整数とする。


 1以上の整数\(n\)を入力して\(n\)番目の素数を出力する関数を\(p(n)\)とする。\(p(1)=2\)とする。このとき、2以上の任意の整数\(m\)について、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m=p(a_{1})×p(a_{2})×...p(a_{s}) \\ a_{i}\geq a_{i+1} & (1\leq i\leq s-1) \end{array} \right. \end{eqnarray} を満たす\(a_{1},a_{2},...,a_{s}\)が一意に定まる。この操作を\(a_s\)について再帰的に行うと、\(m_j[1\leq j\leq t]\)を1以上の整数として、 \[m=m_{1}\times p(m_{2}\times p(m_{3}\times ...p(m_{t-1}\times p(m_{t}\times p(1)))...))\] となる\(m_j\)が一意に存在する。この右辺のような表記を素数遺伝的記法と呼ぶ。
 またこの操作を\(a_{1},a_{2},...,a_{s}\)について再帰的に行なうと、\(m\)は\(p(1)\)、掛け算、関数\(p\)の合成のみで表すことができる。こ…




投稿の全文を読む

特に記載のない限り、コミュニティのコンテンツはCC-BY-SA ライセンスの下で利用可能です。