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  • 甘露東風

    2重不動点システム

    2020年2月16日(甘露東風さん)

    巨大数論七不思議の1つに、「OCFの表現には幾つかのパターンがある」というものがありますが、この変な性質を元に変な表記を作ることにしました。


    文字列として、非負整数n,ω,Ω_n,Ω_ω,ψ_n,ψ_Ω_n,ψ_Ω_ω,(,),+を用います。


    ペア数列型標準形と、ブーフホルツ型標準形の2つの標準形を用います。両者の使い分けは文字列にΩが含まれるかどうかで判定します。つまり、文字列にΩが含まれてなければペア数列型標準形を用い、含まれるならばブーフホルツ型標準形を用います。


    I WIN!

    は冗談ですが、めんどくさいので勘弁してください。何か巨大数論的に価値があるならば定義を作ろうと思います。


    0 0

    ψ_0(0) 1

    ψ_0(0)+ψ_0(0) 2

    ψ_0(ψ_0(0)) ω

    ψ_0(ψ_1(0)) ε_0

    ψ_0(ψ_1(ψ_2(0))) BHO

    ψ_0(ψ_Ω_1(0)) BO


    ψ_0(ψ_Ω_1(0)+ψ_Ω_1(0)) ψ(Ω_ω×2)

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_0(0))) ψ(Ω_ω×ω)

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_0(ψ_Ω_1(0)))) ψ(Ω_ω×ψ(Ω_ω))

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_1(0))) ?

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_1(ψ_Ω_1(0)))) ?

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_1(ψ_Ω_1(ψ_1(0))))) ?

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_1(ψ_Ω_1(ψ_2(0))))) ?

    ψ_0(ψ_Ω_1(ψ_Ω_1(0))) ψ(Ω_ω^2)?


    最終的な大きさはψ(Ω_{ω×2})とかですかね?

    駄作(・。・)

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  • Mitsuki1729

    ブーフホルツのΨ関数に基づきます。きっと。

    集合Tと関係>を以下のように定義する。

    0と空集合はTの要素である。

    A、BがTの要素なら(A),[A]_B,ABはTの要素である。

    Tの要素を共終数に移す関数cfを以下のように定義する。

    A∈Tとする。

    A=BC(B,C∈T)と表せるなら

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  • Hexirp

    解析 (i LoVe Ordinal)

    2020年2月14日(Hexirpさん)

    えのき氏により投稿された i LoVe Ordinal を解析します。定義は https://twitter.com/enoki_fugue/status/1227166763453947904 とします。


    定義をここに書き下す。一部改変しているが重要な部分はそのままである。

    花を定義する。

    • \( 0 \) は花である。
    • \( [ ] \) は花である。これは便宜上 2 行 0 列の行列である。
    • \( A \) と \( B \) が花であるとき \( A \oplus B \) は花である。
      • \( A \) が花であるとき、それと \( A \oplus 0 \) は花として等しい。
    • \( A _ 1, A _ 2, \ldots, A _ n \) と \( B _ 1, B _ 2, \ldotp. B _ n \) が花ならば、この 2 行 n 列の行列 \( \left[ \begin{matrix} A _ 1 & A _ 2 & \cdots & A _ n \\ B _ 1 & B _ 2 & \cdots & B _ n \\ \end{matrix} \right] \) は花である。
      • 下の行の要素が \( 0 \) である場合、その列を削除しても花として等しい(逆も同様)。

    関数 \( X \mapsto X' \) を定義する。まず、ここだけ定数として \( m \) を固定する。これは成長度と呼ぶ。

    • \( X \) を花とする。
      • \( X = 0 \) であれば、 \( X' \) は未定義である。
      • \( X = [ ] \) であれば、 \( X' = 0 \) である。
      • \( X = A \oplus B \) であれば、 \( X' = A \oplus B' ……

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  • 甘露東風

    ESSSver.20

    2020年2月13日(甘露東風さん)

    新しく作った表記の定義です。開発番号はESSSver.20です。これ読んだ人解析して


    規則は番号の小さい方から優先して適用する。また、等号は左から右へ適用する。

    小文字のアルファベットは非負整数、A,Bは0個以上の要素、Tは1個以上の要素。

    ESSSver.18の計算手順を以下のように再帰的に定める:

    1. 1(n){0} := n+1
    2. m(n){T} := 1(m-1(n){T}){T}
    3. 1(n){T,0} := n(n){T}
    4. 1{i}(n) := 1{i}(n)
    5. 1{i}(n) := 1{i}(n)
    6. 1{i+1}(n) := 1{i}(n) // nがn個

    3{3{3{3}(3)}(3)}(3)を"テトラトリトリネスト数"とする。

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  • 甘露東風

    バシクネストシステム

    2020年2月10日(甘露東風さん)

    BMSを用いたネスト表記を解析します。


    0 0

    (0)[0] 1

    (0)[0](1)[0]ω

    (0)[0](1)[0](2)[0] ω ^ ω

    (0)[(0)[0]] ε_0 ψ(Ω)

    (0)[(0)[0]](1)[0] ψ(Ω+1)

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]] ψ(Ω+ψ(Ω))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]] ψ(Ω+ψ(Ω)+ψ(Ω))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[0] ψ(Ω+ψ(Ω+1))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[0](3)[(0)[0]] ψ(Ω+ψ(Ω+ψ(Ω)))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[0](3)[(0)[0]](3)[0] ψ(Ω+ψ(Ω+ψ(Ω+1)))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[0](3)[(0)[0]](3)[0](4)[(0)[0]] ψ(Ω+ψ(Ω+ψ(Ω+ψ(Ω))))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[(0)[0]] ψ(Ω×2)

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]] ψ(Ω×2+ψ(Ω))

    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](2)[(0)[0]] ψ(Ω×2+ψ(Ω×2))?



    (0)[(0)[0]](1)[0](2)[(0)[0]](3)[0] ψ(Ω×ω)




    (0)[(0)](1)[(0)] ψ(Ω×2)

    キェェェ

    ……





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  • Kyodaisuu

    ユーザーブログ:BashicuHyudora/BASIC言語による巨大数のまとめがアップデートされているのでバシク三角行列の翻訳

    • オリジナル
    • Yabasic に変換
    • シミュレータ版
    • シミュレータを jdoodle に掲載

    これでうまく翻訳できているかどうかは謎です。

    • 2020/2/10 11:53 更新しました。差分。jdoodleのアドレスも変わりました(なぜか上書き保存で更新できないので)
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  • 甘露東風

    ESSSver.19

    2020年2月8日(甘露東風さん)

    新しく作った表記の定義です。開発番号はESSSver.19です。これ読んだ人解析して


    非負整数n,0,|,(,),{,},[,],+,×,^のみからなる文字列の集合Tを、以下のように再帰的に定める:

    1. 0∈Sである。
    2. いかなるA,B,C∈Sに対しても、|A|(B){C}[n]∈Sである。
    3. いかなるA,B,C,D∈Sに対しても、|A|(B){C}[D]∈Sである。
    3. いかなるA,B∈(S\{0})に対しても、
    3-1. A+B∈Sである。
    3-2. A

    Sに属する文字列を「構造」と呼ぶ。


    ここでは、項NとN'に対してN = N'と書いたら、NをN'に書き換える項書き換えを表す。ただし項書き換えは部分文字列への適用を許さない。また非負整数nと構造X,Yに対してX ↦n Yと書いたら、項書き換え

    1{n} = 1{n}

    を表す。規則は番号の小さい方から優先して適用する。

    非負整数i,j、正整数n,m,v、項N,N'、構造A,B,C,X,Yを用いて、項の書き換え規則が「許容される」という性質を、以下のように再帰的に定める:

    1. 1{n} = n+1 は許容される。
    2. m{N} = 1{m-1{N}} は許容される。(ここで、m-1は文字列ではなく、mから1を引いた数である。)
    3. 1{n} = n{n} は許容される。
    4. 0(0)[0] ↦n 0+0(0)[0] は許容される。
    5. 1{n}のXに対する項書き換え手続き"[]展開ルール(X)"を、以下のように再帰的に定める。
    ここではi(A)[B]に対して、iを「要素」と呼ぶ。
    5-1. X=A+Bのとき、
    []展開ルール(B)を実行する。
    5-2. X=i(A)[B]のとき、
    5-2-1. B=C+0(0)[0]ならば、
    i(A)[C+0 ……



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  • Mitsuki1729

    括弧式表記

    2020年2月7日(Mitsuki1729さん)

    SVOは行ったと思う。既出の予感。

    (n)がω^nに対応する様に…

    集合Sと補助集合Tを以下のように定義する。

    ()はSの要素である。

    Sの要素はTの要素である。

    Tの要素C、DについてC,DはTの要素である。

    A、BがSの要素ならAB、A:BもSの要素である。

    CがTの要素なら(C)、[C]はSの要素である。

    Sの要素を括弧列と呼ぶ。

    Sの要素の中で、丸括弧で囲われた要素を単位括弧と呼ぶ。

    Sの要素を自然数xから自然数yへの写像とみなす。

    以下、A、B、C、DはSの要素(または空)、EをTの要素(または空)とし、BとCは:を含まないものとする。

    Aがxからyへの写像であることをA(x)=yと表す。

    A()(x)=A(x+1)

    A:(x)=A(x)

    A:B(C())(x)=A:B(C):B(C):B…(B(C):をx回繰り返す)…B(C):B(C):B(C)(x+1)

    括弧の中は括弧外と同様に展開できる。

    A(D(),E,B)(x)=A(D,E,(E,B))(x)

    A((),E,B)(x)=A(E,B())(x)

    A[D(),E,B](x)=A[D,E,(E,B)](x)

    A[(),E,B](x)=A[E,B()](x)

    この時、[(()),(()),(()),(())…((())が100個)…,(()),(())](100)をSCP-033-LN-2とする。

    誰か解析して(他人任せ)

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  • 甘露東風

    ESSSver.18

    2020年2月5日(甘露東風さん)

    新しく作った表記の定義です。開発番号はESSSver.18です。これ読んだ人解析して


    規則は番号の小さい方から優先して適用する。また、等号は左から右へ適用する。

    小文字のアルファベットは非負整数、A,Bは0個以上の要素、Tは1個以上の要素。

    ESSSver.18の計算手順を以下のように再帰的に定める:

    1. 1{0}(n) := n+1
    2. m{i}(n) := 1{i}(m-1{i}(n))
    3. 1{i}(n) := n{i}(n)
    4. 1{i}(n) := 1{i}(n)
    5. 1{i}(n) := 1{i}(n)
    6. 1{i+1}(n) := 1{i}(n) // nがn個

    3{3{3{3}(3)}(3)}(3)を"テトラトリトリネスト数"とする。

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  • 甘露東風

    ESSSver.17

    2020年2月4日(甘露東風さん)

    新しく作った表記の定義です。開発番号はESSSver.17です。強さは不明です。これ読んだ人解析して


    規則は番号の小さい方から優先して適用する。また、等号は左から右へ適用する。

    ()内の数字の並びを数列と呼ぶ。小文字のアルファベットは非負整数、Aは0個以上の数列。

    ESSSver.17の計算手順を以下のように再帰的に定める:

    1. 0[0](n) := n+1
    2. i[m](a,b,A)について、
    2-1. a=0のとき、
    i[m](0,b,A) := i[m](b+1,A)
    2-2. b=0のとき、
    i[m](a,0,A) := i[m](a-1,1,A)
    2-3. それ以外のとき、
    i[m](a,b,A) := i[m](a-1,i[m](a,b-1,A),A)
    3. 0[m](n) := 0[m-1](n,n,…,n,n) // n個のn
    4. i[m](n) := i-1[i-1[…i-1[i-1[m](n)](n)…](n)](n) // [がn個

    3[3](3,3,3,3)を"テトラアッカーマトリン数"とする。

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  • Merliborn

    本稿は、ヴェブレンが1908年に著した論文『有限・超限の順序数上の連続増加関数』の項の和によって表現できる。



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  • 赤とんぼ

    赤とんぼ数

    2020年2月2日(赤とんぼさん)

    C(X)[w]=Cとおく。

    ①     C→2=C(X)[C(X)[w]]のように、

    C→wはC(X)[w]をw回代入したものとする。

    ②      C→w…→w→w = C→w…→(C→w…→w-1→w)→w-1

    ③      C→w…→w+1→1= C→w…→w+1

        C→w…→1→w+1= C→w…→w→w

    1が末尾の時、→1を切り落とすが、

    1が途中にある時、一つ右からwをもらってくる。

    その時、一つ右の数字は1小さくなる。

    ④     C(X) [w]\(\rightarrow_2w = C(X) [w]\underbrace{\rightarrow w \rightarrow \ldots \rightarrow w \rightarrow w}_w\)

    同様に、C(X) [w]\(\rightarrow_{a+1} w = C(X) [w]\underbrace{\rightarrow_{a} w \rightarrow_{a} \ldots \rightarrow_{a} w \rightarrow_{a} w}_a\)

    \(\rightarrow_ww\)はルール①~③を満たす。

    以後、この代入を\(\rightarrow_ww\)回と表す。

    また、C(a)[□](\(\rightarrow_ww\))Wとは、□にWを代入するのを\(\rightarrow_ww\)回行うということである。

    例;C(a)[□](→1)W=C(a)[w]

    C(a)[□](→2)W=C(a)[C(a)[w]]

    C(a)[□](→3)W=C(a)[C(a)[C(a)[w]]]


    ⑤      C(1)[w]=w

    ⑥     C(a+1)[w]= C(a)[□](\(\rightarrow_ww\))W

    ⑦   ……


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  • 甘露東風

    N#2の解析

    2020年1月31日(甘露東風さん)

    新しく作ったネスト表記を解析します。開発番号はN


    0 0

    0(0)[0] 1

    0(0)[0(0)[0]] ω

    0(0)[0(0)[0(0)[0]]] ω ^ ω

    0(0)[1(0)[0]] ε_0 ψ(Ω)

    0(0)[1(0)[2(0)[0]]] ψ(Ω_2) BHO

    0(0)[1(0(0)[0])[0]] ψ(Ω_ω) BO

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[0(0)[0]]]] ψ(Ω_(ω ^ ω))

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[0(0)[1(0)[0]]]]] ψ(Ω_ψ(Ω))

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[0(0)[1(0)[0(0)[0]]]]]] ψ(Ω_ψ(Ω × ω))

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[0(0)[1(0)[1(0)[0]]]]]] ψ(Ω_ψ(Ω ^ 2))

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[0(0)[1(0)[2(0)[0]]]]]] ψ(Ω_ψ(Ω_2))

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[0(0)[1(0(0)[0])[0]]]]] ψ(Ω_ψ(Ω_ω))

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[1(0)[0]]]] ψ(Ω_Ω)

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[1(0(0)[0])[0]]]] ψ(Ω_Ω_ω)

    0(0)[1(0(0)[0])[2(0(0)[0])[2(0)[0]]]] ψ(Ι)

    キェェェ

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  • Mitsuki1729

    息抜き2

    2020年1月22日(Mitsuki1729さん)

    息抜きです。A,Cは1以上の自然数、Bは0つ以上の0より大きいいくつかの自然数とします。

    (B,0)=(B)

    (A)=A+1

    (A,B,C)=(((((…(A,B,C-1),B,C-1)…),B,C-1)[(A,B,C-1)回繰り返す]

    (2,0)=3

    (n,0)=n+1

    (2,1)=(((2,0),0),0)=5

    (n,1)=2n+1

    (2,2)=(((((2,1),1),1),1),1)=((((5,1),1),1),1)=(((11,1),1),1)=((23,1),1)=(47,1)=95

    (n,2)=(n+1)2^(2n-1)-1≒4^n

    (2,3)= (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((2,2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2),2) ,2),2),2),2),2),2),2),2),2),2)= (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((96*2^(94 ……

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  • Naruyoko

    --🍝は有効な「文字」ではない。--

    「文字」を0以上の整数の「値」を持つものとし、「値」が65535以下ならばその「値」にUCS-2で割り当てられた文字で書き表すものとする。

    「文字列」を0個以上の「文字」の配列とし、「文字」を順番に書き表したもので書き表すものとする。

    ここで「空の「文字列」」というとき、これは「空の「文字列」」という「文字列」ではなく、「文字」を0個だけ含む「文字列」を意味する。また、その他の場所でも、ここでは文字通りの「文字列」ではなく、日本語として意味があるものとする。

    0以上の整数nについて、fromCharCode(n)を「値」nを持つ「文字」とする。

    「文字」cについて、charCode(c)をcの「値」とする。

    「文字」cとdについて、「cとdが等しい」とはcharCode(c)とcharCode(d)が等しいこととする。

    「文字列」sについて、length(s)をsの「文字」の数とする。

    「文字列」sと0以上length(s)未満の整数nについて、charAt(s,n)をsのn番目の「文字」とする。ただし、0から数えるものとする。

    「文字列」sとtについて、「sとtが等しい」とはlength(s)とlength(t)が等しく、かつすべての0以上length(s)未満の整数nについてcharAt(s,n)とcharAt(t,n)が等しいこととする。

    「文字」cとdについて、c+dをcとdのみを含み、cがdの前に来る「文字列」とする。

    「文字」cと「文字列」sについて、c+sをsの直前にcを足した「文字列」とする。

    「文字列」sと「文字」cについて、s+cをsの直後にcを足した「文字列」とする。

    「文字列」sと「文字列」tについて、s+tをsのあとにtを接続した「 ……

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  • Mitsuki1729

    グッドスタイン写像

    2020年1月20日(Mitsuki1729さん)

    グッドスタインシリーズの集大成になりそう。

    f(n,1)=n、f(n,0)=1を満たす二変数関数f(x,y)から1変数関数g(x)への写像Gを以下で定義します。

    関数g_n(x,f)を以下のように再帰的に定義します。

    x=Σ[t=1→m(f(n,m)>x>f(n,m-1))]a_t*f(n,t)(∀t(a_t∈N,f(n,t+1)>a_t*f(n,t)))とします。この表記の中のtおよびa_tの位置に存在するn未満の数bをg_n(b,f)でbになりうる数がなくなるまで置き換え続けます。bになりうる数がなくなったらnをn+1に置き換え計算したものをg_n(x,f)とします。

    この時G_n(x,f)を以下のように定義します。(※Gは大文字です)

    G_n(x,f)=g_(n-1)(G_(n-1)(x,f),f)

    G_2(x,f)=g_2(x,f)

    この時関数g_f(x)をG_n(x,f)=0となる最小の自然数とします。

    この時変換Gをf(x,y)からg_f(x)への変換とします。

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  • 甘露東風

    この表記は雑魚サラダです。


    ε_0のネスト構造にΩ-表記ネストベースを取り付けた表記を解析します。Ω-thの構成は暫定的で、変更する可能性があります。また、今回の構成の性質上、Ω-thを正確に実装しているわけではなく、想定より弱い、あるいは表記ネストベースの取り付けが上手くいっていない可能性もあります。


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  • Mitsuki1729

    息抜き

    2020年1月17日(Mitsuki1729さん)

    証明疲れたので値が存在するかどうかすら怪しい関数を定義します。

    f(x)を以下のように定義する。

    ある自然数nが存在し、

    10^(n+x)≦2^y

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  • Mitsuki1729

    どうせどこか間違ってると思うので見つけたら教えてください。一回データ全部消えて心折れそうになりました。

    私が定義したG_n(x)の停止証明をします。

    集合Sを次のように定義します。

    自然数はSの要素である。

    ωはSの要素である。

    A、BをSの要素とした時A+B、A*B、ω(↑^n)AはSの要素である(+や*は文字列として扱うが、自然数+自然数や自然数*自然数の場合は通常の演算子として扱う。)。以下の規則を縮約規則とする。以下この記事全てでA、B、CはSの要素でA>B>Cとし、A’(t)はAの中のωをtに置き換えて(自然数として)計算したもの、R_t(X)はXをtを底としたXの拡張遺伝表記のtをωに置き換えたものとする。

    B+A≡A+B

    A+0≡A

    B*A≡A*B

    A*0≡0

    A*1≡A

    A*(B+C)≡A*B+A*C

    ω(↑^n)1≡ω

    ≡についてはSの要素X、Y、ZについてX≡X、X≡YならY≡X、X≡YかつY≡ZならX≡Z、X=YかつY≡ZならX=Zが成り立ちます。

    S内での順序を次のように定義します。D、E、FはSの要素とします。

    A+B>A

    A*B>A

    A+B>A+C

    もしE>FならA+B>E+F⇔A>E

    A*B>A*C

    もしE>FならA*B>E*F⇔A/E>F/B

    ω(↑^n)A>A

    ω(↑^n)A>ω(↑^n)B

    tを底とする前者関数Z_t(X)を定義します。Aは取れるものの中で最大のものを取ります。

    Z_t(A+B)=A+Z_t(B)(B≠0)

    Z_t(A*B)=Z_t(A)*B+Z_t(B)(b≠0、1)

    Z_t(ω(↑^n)A)=R_t((t(↑^n)A’(t))/(t(↑^n)A’(t)-1)-1)*(ω(↑^n)Z_t(A))+Z_t(ω(↑^n)(A-1))

    Xが自然数ならZ_t(X)=X-1

    Z_t ……

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  • Hexirp

    私は巨大数界隈で間違った情報が広まっていたり、正しい情報であったとしてもその出典が分からないという状況に不満を感じています。そんな状況を解決するために、確かな論文を利用しましょう。

    この記事では "Ordinal Notations Based on a Weakly Mahlo Cardinal" (Michael Rathjen) という論文を読み、その中から出典として使える部分を抜き出してリストアップします。そのリストは記事を書きたいときに簡単に引用できるように整えてあります。私が利用するためのものですが、他の人にも使ってもらいたいと思っています。


    \[ \newcommand{\ordinarycolon}{:} \newcommand{\vcentcolon}{\mathrel{\mathop\ordinarycolon}} \newcommand{\coloneqq}{\vcentcolon\mathrel{\mkern-1.2mu}=} \]


    見出しはハーバード方式による出典の記法です。それぞれの節は一文に対応します。本文は訳であり、その後にもしあれば解説が続きます。


    この部分は Introduction です。ここに限っては一次資料ではなく二次資料として使うこともできるでしょう。


    今までに限るならば、 \( \Delta ^ 1 _ 2 \)-内包とバー帰納法により構成される二階算術のサブシステムが、その証明論的順序を私たちが算出できる最も強い理論だ。


    Up to now, the subsystem of second order arithmetic with \( \Delta _ 2 ^ 1 \)-comprehension and Bar-inductio ……






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  • Mitsuki1729

    SCP-1051-LN-3

    2020年1月11日(Mitsuki1729さん)

    とりあえず何も考えずに作ります。細かい所は後で直します。

    集合Sを次のように再帰的に定義します。ただし、以下基本的にA、BはSの要素とする。

    ①自然数はSの要素である。

    ②[A,B]はSの要素である。

    ③ABはSの要素である。

    Sの元をそれぞれ関数と対応させる。Sの元Aと関数を対応させたものをf_A(x)とします。

    その前にSの元から自分自身への写像である前者関数Z(A)を定義します。

    A∈ℕの場合Z(A)=A-1(ただしZ(0)=0そうでないならA=B[C,D]E(E∈ℕ+空集合)とした時Z(A)=Z(B)[Z(B)[C,D]E,B[C,D]Z(E)]Z(E)とします。もしB=0ならZ(A)=[Z(C),Z(D)]Eとします。Z^n(A)=0の時nをAの固有値とし、N(A)=nと表します。

    ③でもしA、Bがどちらも自然数ならABをA×Bに置き換えます。

    f_A(x)=f_Z(A)(f_A(Z(x)))、f_A(0)=A、f_0(x)=N(x)+2

    とします。

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  • Hexirp

    巨大数屋敷数を読む

    2020年1月9日(Hexirpさん)

    ユーザーブログ:P進大好きbot/PTO(ZFC)を超えたFGH | 巨大数研究 Wiki | Fandom にて、略して巨大数屋敷数という数が投稿された。この数は \( \mathrm{PTO} ( \mathrm{ZFC} ) \) を急増加関数に与えたものを疑似的に計算するものである。超越整数と似ているが、順序数を介することにより増加速度が安定している、らしい。これは記憶が不確かなので間違っているかもしれない。

    私は巨大数屋敷数の定義を以前に読もうとした。それで \( \mathrm{PTO} ( \mathrm{ZFC} ) \) レベルであることの証明を追えるまでとはいかないものの、定義のそれぞれの意図は把握できたと思う。それらをかつてツイートしたのだが、今ここに纏めて清書しようと思う。


    ここで、コード配列の例で導入した\(\Theta_{\omega}\)と\(\Phi_{\omega}\)を用いる。\(k \in \mathbb{N}\)に対し\(a_{\omega}^{k} = (\Theta_{\omega},k,\Phi_{\omega})\)と置く。

    \(A\)を順序数配列とし、\(n \in \mathbb{N}\)とする。順序数配列\(A[n]\)を以下のように再帰的に定める:

    1. \(L = \textrm{Lng}(A)\)と置く。
    2. \(L = 0\)ならば、\(A[n] = A\)である。
    3. \(L > 0\)とする。
      1. \((\Theta,k,\Phi) = A_{L-1}\)と置く。
      2. \(n\)以下の各\(i \in \mathbb{N}\)に対し、\(b_i \in \mathbb{N}\)を以下のように再帰的に定める:
        1. \(i = 0\)とする。
          1. \(A_ ……

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  • Mitsuki1729

    強いかもしれない関数

    2020年1月7日(Mitsuki1729さん)

    強いか弱いかよくわからない関数を定義します。誰か解析お願いします。

    :[a_1,a_2,a_3,…,a_n]とする。

    [a_1,a_2,…,a_(n-1),0]=[a_1,a_2,…,a_(n-1)]

    [a_1,a_2,a_3,…,a_n](a_n≠0)=[[a_1],[a_1,a_2],[a_1,a_2,a_3],…,[a_1,a_2,a_3,…a_(n-1)],(a_n)-1]

    [n]=n^2

    この時、[3,3,3,3,3,…,3](3がn個)=f(n)として、f^(f^3(3))(1729)をSCP-1051-LN-2とする。

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  • 甘露東風

    表記ネストベースの解説

    2020年1月6日(甘露東風さん)

    私が作り出したネスト構造の「表記ネストベース」とは何かについて、解説します。


    まず、ベースとは何かについて、私なりの考え方(?)を解説します。

    一般化したものは難しくて書けないので、雰囲気を掴んでもらいます。

    2項演算f(a,b)があったとします。このとき、別の2項演算g(a,b)を用いて、

    f(a,b+1) = g(f(a,b),c)

    とかけるとき、gをfに対するベースと呼びます(イメージです)。

    つまり、するものと、されるものがあったときに、するものに1を足すために必要な操作をベースと呼んでいるわけですね。

    例を見ていきます。最初は簡単なものから行きましょう。足し算のベースについて考えます。ベースのイメージを掴みやすくするために、便宜上()で括っています。

    (a+(b+1)) = (a+b)+1

    従って、足し算のベースは1を足すことになります。何だか当たり前のことをさも難しく言っているだけのような気さえします。

    では、掛け算ではどうでしょうか。

    (a×(b+1)) = (a×b)+a

    従って、掛け算のベースはされるものを足すことになります。まだ簡単ですね。

    同様に、冪やテトレーションなどについてもベースを考えることができます。しかし、普通これらの演算についてベースを考えることはないと思います。それでは、ベースはどこで使われているのか、いつ考えるのか・・。

    そう、OCFです。OCFには加法ベース、冪ベース、φベースなどがありますね。

    加法ベースOCFでは、例えば、

    ψ(Ω+1) = ψ(Ω)+ψ(Ω)+…

    ですし、冪ベースOCFでは、例えば、

    ψ(Ω+1) = ψ(Ω)^ψ(Ω)^…

    です。さあ、これでベースについて何となくイメージを掴んでもらえたかと思います。私は、今までこのベースについて研究してきまし ……



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  • Rpakr

    二重原始数列

    2020年1月5日(Rpakrさん)

    English

    略称: DPrSS (Double Primitive Sequence System)

    ゆきとのTY数列(2018/7/2にdiscordで公開)の定義を目的としている。

    以下、\(p\in\mathbb{N}\cup\{0\}\)に対し\(\mathbb{N}_p=\{i|i\in\mathbb{N}\land i\leq p\}\)とする。


    \((a_1,a_2,...,a_k)[n]\) ただし、\(\forall m\in\mathbb{N}_k(a_m\in\mathbb{N})\land n\in\mathbb{N}\)とする。

    \(k=0\)のとき、\((a_1,a_2,...,a_k)[n]=n\) (Rule 1)
    \(k>0\land\nexists i\in\mathbb{N}_{k-1}(a_i0\land\exists i\in\mathbb{N}_{k-1}(a_i
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  • Mitsuki1729

    108hassiumさんの階差表記の解析のようなことをしていきます。ちょくちょく更新します。

    とりあえずa[b,c]d型の展開規則を考えます。

    A[B]C=A,AC+B

    a_1[a_2,a_3]n=a_1[(a_1+a_2)[(a_1+a_2+a_3)](n-1)](n-1)=a_1[a_1+a_2,n*a_1+n_a_2+a_3](n-1)

    a_1→a_1

    a_2→a_1+a_2

    a_3→n*a_1+n*a_2+a_3

    a_1[a_2,a_3]n=a_1,n*a_1+a_2,((n^3+2*n)/3)*a_1+((n^2+n)/2)*a_2+a_3

    同様に

    a_1[a_2,a_3,a_4]n=a_1[(a_1+a_2)[(a_1+a_2+a_3)[a_1+a_2+a_3+a_4](n-1)](n-1)](n-1)

    =a_1[(a_1+a_2)[a_1+a_2+a_3,n*a_1+n*a_2+n*a_3+a_4](n-1)](n-1)

    =a_1[a_1+a_2,n*a_1+n*a_2+a_3,(n^3-3n^2-5n-1)(a_1+a_2)/3+(n^2-n)(a_1+a_2+a_3)/2+n*a_1+n*a_2+n*a_3+a_4](n-1)

    = a_1[a_1+a_2,n*a_1+n*a_2+a_3,(2n^3-3n^2-12n-2)a_1/6+(2n^3-3n^2-12n-2)a_2/6+(3n^2-2n)a_3/6+a_4](n-1)

    a_1→a_1

    a_2→a_1+a_2

    a_3→n*a_1+n*a_2+a_3

    a_4→(2n^3-3n^2-12n-2)a_1/6+(2n^3-3n^2-12n-2)a_2/6+(3n^2-2n)a_3/6+a_4

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  • Okkuu

    Veblen関数に伴う順序数表記

    2019年12月31日(Okkuuさん)

    Veblen関数に伴う順序数表記を作成しました。

    順序数表記の作成は初めてなのでミスがあるかもしれません。



    \((\)と\()\)と\(+\)のみからなる文字列の集合\(T\)を以下のように再帰的に定める:

    1. \(() \in T\)である。
    2. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\((ab) \in T\)である。
    3. いかなる\((a,b) \in (T \setminus \{()\})^2\)に対しても、\(a+b \in T\)である。

    \(0 = ()\)と置き、部分集合\(PT \subset T\)を以下のように定める:

    1. \(0 \notin PT\)である。
    2. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\((ab) \in PT\)である。
    3. いかなる\((a,b) \in (T \setminus \{0\})^2\)に対しても、\(a+b \notin PT\)である。

    \(T\)上の\(2\)項関係\(s < t\)と\(s \leq t\)を以下のように再帰的に定める:

    1. \(s \leq t\)は\(s < t\)または\(s = t\)と同値である。
    2. \(s = 0\)ならば、\(s < t\)は\(t \neq 0\)と同値である。
    3. \(s \neq 0\)かつ\(t = 0\)ならば、\(s < t\)は成り立たない。
    4. \(s = (ab)\)かつ\(t = (cd)\)を満たす\((a,b) \in T^2\)と\((c,d) \in T^2\)が存在するとする。
      1. \(a = c\)ならば、\(s < t\)は\(b < d\)と同値である:
      2. \(a \neq c\)ならば、\(s < t\)は以下のいずれかが成り立つことと同値である:
        1. \(a < ……



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  • Hexirp

    (2019-12-30) 順序数の階乗

    2019年12月30日(Hexirpさん)

    こんなツイートがあった。

    一番目がこれだ。


    0! = 1 であるべき理由をプログラマが一瞬で納得する方法:

    与えられた配列の要素の総積を計算する関数を fold で実装するとき、初期値に与えるのは 1 で、n! はそれに [1, 2, ... n] を入れた特殊なものと考えれば、0! は特に空配列を与えた場合なんだから、その値はもちろん初期値の 1 ☝️


    二番目がこれだ。


    なるほど、階乗って一般の整礎順序入りモノイドに拡張できるのかあ、とかいうことをこのツイートを見て思った。群だったら二項係数も拡張できそう。 >rt


    それなら、順序数がおあつらえ向きだ。


    ある適切な基本列系を取る。それは \( \alpha = \beta + 1 \) であったとき \( \forall \eta \ldotp \alpha [ \eta ] = \beta \) でなければならない。

    \[ \alpha ! _ n \coloneqq \begin{cases} 1 & ( \alpha = 0 ) \\ \alpha \times \alpha [ n ] ! _ n & ( \alpha > 0 ) \\ \end{cases} \]

    あるいは、また別の適切な基本列系を取る。ゼロであるというクラスを \( \mathrm{O} \) とし後続順序数であるというクラスを \( \mathrm{S} \) とし極限順序数であるというクラスを \( \mathrm{L} \) とする。前者を求める関数を \( \mathrm{pred} ( \_ ) \) とする。

    \[ \alpha ! _ n \coloneqq \begin{cases} 1 & ( \alpha \in \mathrm{O} ) ……






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  • Mitsuki1729

    幻巨2出場その2

    2019年12月30日(Mitsuki1729さん)

    急増加関数を強くしてみる(本当に強いかは知らん)

    関数f_a(x)を以下のように定義する。ただしnは後続順序数、aは極限順序数を表す。

    f_0(x)=x+1

    f_n(x)=(f_(n-1))^(f_(n-1)(x))(x)

    f_a(x)=f_(a[x]+x)(x)

    この時f(ε_0)(100)を「超(仮)急増加関数v1」とする。

    あくまで数の名前なので超(仮)急増加関までが一塊です。

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  • Okkuu

    この記事を参考にして多項数列数とN階差多項数列数の数式的定義を書きました。


    \[\begin{eqnarray*} \mathrm{巨大数:}~K&=&\mathrm{Multinomial}^{10}(9)\\ \mathrm{巨大関数:}~\mathrm{Multinomial}(n)&=&\mathrm{expand}\left((0,1,\cdots,n)[n]\right)\\ \mathrm{発展ルール:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}((S_0,S_1,\cdots,S_{X-2})[f(n)])&(\mathrm{if}~S_{X-1}=0) \\ \mathrm{expand}((S_0, S_1, \cdots, S_{X-2}, \underbrace{S_r, S_r, \cdots S_r}_{f(n)~\mathrm{times}})[f(n)])&(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.\\ \mathrm{活性化関数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{数列:}~{\boldsymbol S}&=&(S_0, S_1, \cdots, S_{X-1})\\ \mathrm{Bad~root:}~r &=& \max\{p|p \lt X-1 \land S_p \lt S_{X-1}\}\\ \end{eqnarray*}\]


    ……

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  • Mitsuki1729

    幻巨2出場

    2019年12月27日(Mitsuki1729さん)

    以下A(↑^B)Cを[A,B,C]と略記します。また、[a,0,b]=ab、[a,b,0]=1とします。

    自然数xを自然数t,nを使って以下のように表します。

    x=a_0+[t,n,1]×a_1+[t,n,2]×a_2+…[t,n,m]×a_m

    (∀y([t,n,y]×a_y<[t,n,y+1]))

    この表記法を"xの{t,n}進表記"とします。

    xの{t,n}進表記内のtより大きい数を再度{t,n}進表記する(注:nは{t,n}進表記しない)ことを全ての数がt以下になるまで繰り返します。こうして出来る表記を"{t,n}を底とするxの拡張遺伝表記"とします。

    この時、拡張グッドスタイン関数G_n(x)をt=2から初めて{{t,n}を底とするxの拡張遺伝表記のtにt+1を代入して1を引いた値をxに代入する}をxが0になるまで繰り返した時の繰り返し回数とします。

    この時、(G_4)^4(2↑↑↑↑3)×2-1をSCP-033-LNとします。

    ε_0を越えたかった…

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  • ベーコン

    БχNメモ

    2019年12月26日(ベーコンさん)

    БχN(Бacon's χ notation)のメモを書きます。 \(БχN=UNOCF\)で比較をします。


    \(0=0\)

    \(1=1\)

    \(2=2\)

    \(\chi (0)=\omega\)

    \(1\chi (0)=\omega +1\)

    \(2 \chi (0)=\omega +2\)

    \(\chi (0 \chi (0))=\omega ×2\)

    \(1 \chi (0 \chi (0))=\omega ×2+1\)

    \(\chi(0 \chi (0 \chi (0)))=\omega ×3\)

    \(\chi (1)=\omega ^2\)

    \(1\chi (1)=\omega ^2+1\)

    \(\chi (0\chi (1))=\omega ^2+\omega\)

    \(\chi (1\chi (1))=\omega ^2×2\)

    \(1\chi (1\chi (1))=\omega ^2×2+1\)

    \(\chi(1 \chi(1 \chi (1)))=\omega ^2×3\)

    \(\chi (2)=\omega ^3\)

    \(\chi (\chi (0))=\omega ^\omega\)

    \(\chi (\chi (\chi (0)))=\omega ^{\omega ^\omega}\)


    \(\chi (\Omega (0))=\psi (\Omega)=\epsilon_0\)

    \(\chi (\chi [1\Omega (0)])=\psi (\Omega ×\omega)\)

    \(\chi (1\chi [1\Omega (0)])=\psi (\Omega ×\omega^2)\)

    \(\chi (\chi (\chi (\Omega (0)) \chi [1\Omega (0)])) ……



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  • Mitsuki1729

    グッドスタイン数列を拡張したらε_0から抜け出せていなかったので軽く萎えてるmitsukiです。因みに、幻巨2に間に合わせようとテンパってるのでミスがあるかもしれません。

    グッドスタイン数列を拡張出来る条件を考えます。

    まず一般の二変数関数f(A,B)についての拡張を以下のように表します。

    f(A,B)を[A,B]と略記します。

    自然数xを自然数nを使って以下のように表します。

    x=a_0+[n,1]×a_1+[n,2]×a_2+…[n,m]×a_m

    (∀y([n,y]×a_y<[n,y+1]))

    この表記法を"xの拡張n進表記"とします。

    xの拡張n進表記内のnより大きい数を再度拡張n進表記することを全ての数がn以下になるまで繰り返します。こうして出来る表記を"{n,f}を底とするxの拡張遺伝表記"とします。

    この時、拡張グッドスタイン関数G(x,f)をt=2から初めて{ {t,f}を底とするxの拡張遺伝表記のtにt+1を代入して1を引いた値をxに代入する}をxが0になるまで繰り返した時のtとします。

    G(x,f)が定義出来る条件を考えます。

    ① どのようなxに対してもa_0≦tと出来る

    ② {t,f}を底とするxの拡張遺伝表記のtにωを代入したもの≧{ {t,f}を底とするxの拡張遺伝表記のtにt+1を代入して1を引いた値をxに代入する}を1回行ってから{t,f}を底とするxの拡張遺伝表記のtにωを代入したもの

    の二つが成り立つことが必要です。

    ①はf(t,1)=tと同値です。

    ②の条件についてはまだ検討しきれていません。(誰か協力してください…)

    因みに増加速度はf(ω,f(ω,f(ω,f(ω,…))))くらいになると考えています。

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  • P進大好きbot

    第2回幻想巨大数投稿用の記事です。



    大妖精さんはVeblen関数を勉強してブログや動画でていねいに解説しました。チルノさんを始めとするたくさんの妖精達に見てもらうために、次はどうやって解説しようかと考えています。

    大妖精「よっしゃ今度はVeblen関数を使った順序数表記を作って解説してやるからな!!」



    \((\)と\()\)と\(+\)のみからなる文字列の集合\(T\)を以下のように再帰的に定める:

    1. \(() \in T\)である。
    2. いかなる\((a,b,c) \in T^3\)に対しても、\((abc) \in T\)である。
    3. いかなる\((a,b) \in (T \setminus \{()\})^2\)に対しても、\(a+b \in T\)である。

    \(0 = ()\)と置き、部分集合\(PT \subset T\)を以下のように定める:

    1. \(0 \notin PT\)である。
    2. いかなる\((a,b,c) \in T^3\)に対しても、\((abc) \in PT\)である。
    3. いかなる\((a,b) \in (T \setminus \{0\})^2\)に対しても、\(a+b \notin PT\)である。

    例えば\((000) \in PT\)だが\((000) + (000) \in T \setminus PT\)である。

    大妖精「いきなり多変数Veblen関数全体は難しいから3変数で行くぞ!!」



    \(T\)上の\(2\)項関係\(s < t\)と\(s \leq t\)を以下のように再帰的に定める:

    1. \(s \leq t\)は\(s < t\)または\(s = t\)と同値である。
    2. \(s = 0\)ならば、\(s < t\)は\(t \neq 0\)と同値である。
    3. \(s \neq ……






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  • 甘露東風

    N#1の定義置き場

    2019年12月23日(甘露東風さん)

    新しく作った表記の定義です。開発番号はN#1です。強さは不明です。これ読んだ人解析して


    非負整数i、(,),[,],+のみからなる文字列の集合Sを、以下のように再帰的に定める:

    1. 0∈Sである。
    2. いかなるA,B∈Sに対しても、 i(A)[B]∈Sである。
    3. いかなるA,B∈(S\{0})に対しても、A+B∈Sである。

    Sに属する文字列を「構造」と呼ぶ。



    非負整数、{,},,(,),[,],+のみからなる文字列の集合Tを、以下のように再帰的に定める:

    1. いかなる非負整数iに対しても、i∈Tである。
    2. いかなる正整数m,n、構造Xに対しても、m{n}∈Tである。

    Tに属する文字列を「項」と呼ぶ。



    ここでは、項NとN'に対してN = N'と書いたら、NをN'に書き換える項書き換えを表す。ただし項書き換えは部分文字列への適用を許さない。また非負整数nと構造X,Yに対してX ↦n Yと書いたら、項書き換え

    1{n} = 1{n}

    を表す。規則は番号の小さい方から優先して適用する。

    「不動点」という概念を以下のように定義する。

    あるネスト構造をとる表記i()[]の不動点を、そのネスト構造をn回繰り返したものとする。
    また、その不動点へネストする構造を「ネスト単位」と呼ぶことにする。

    非負整数i,j、正整数n,m,v、項N,N'、構造A,B,C,X,Yを用いて、項の書き換え規則が「許容される」という性質を、以下のように再帰的に定める:

    1. 1{n} = n+1 は許容される。
    2. m{N} = 1{m-1{N}} は許容される。(ここで、m-1は文字列ではなく、mから1を引いた数である。)
    3. 1{n} = n{n} は許容される。
    4. 0(0)[0] ↦n 0+0(0)[0] は許容される。 ……






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  • Naruyoko

    幻想巨大数えんたーをおjf

    2019年12月22日(Naruyokoさん)

    --🍝は有効な「文字」ではない。--

    「文字」を0以上の整数の「値」を持つものとし、「値」が65535以下ならばその「値」にUCS-2で割り当てられた文字で書き表すものとする。

    「文字列」を0個以上の「文字」の配列とし、「文字」を順番に書き表したもので書き表すものとする。

    ここで「空の「文字列」」というとき、これは「空の「文字列」」という「文字列」ではなく、「文字」を0個だけ含む「文字列」を意味する。また、その他の場所でも、ここでは文字通りの「文字列」ではなく、日本語として意味があるものとする。

    0以上の整数nについて、fromCharCode(n)を「値」nを持つ「文字」とする。

    「文字」cについて、charCode(c)をcの「値」とする。

    「文字」cとdについて、「cとdが等しい」とはcharCode(c)とcharCode(d)が等しいこととする。

    「文字列」sについて、length(s)をsの「文字」の数とする。

    「文字列」sと0以上length(s)未満の整数nについて、charAt(s,n)をsのn番目の「文字」とする。ただし、0から数えるものとする。

    「文字列」sとtについて、「sとtが等しい」とはlength(s)とlength(t)が等しく、かつすべての0以上length(s)未満の整数nについてcharAt(s,n)とcharAt(t,n)が等しいこととする。

    「文字」cとdについて、c+dをcとdのみを含み、cがdの前に来る「文字列」とする。

    「文字」cと「文字列」sについて、c+sをsの直前にcを足した「文字列」とする。

    「文字列」sと「文字」cについて、s+cをsの直後にcを足した「文字列」とする。

    「文字列」sと「文字列」tについて、s+tをsのあとにtを接続した「 ……

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  • じぇいそん

    前回)の定義は論理式で書かれている




    ・・・・・・おや!?

    定義ずらしの ようすが・・・・・・!

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  • P進大好きbot

    無理矢印表記観察日記

    2019年12月22日(P進大好きbotさん)

    じぇいそんさんの無理矢印表記の解析です。何か不備があったら教えて下さい。

    \(n \in \mathbb{N}\)に対し\(\mathbb{N}_{>n} = \{i \in \mathbb{N} \mid i > n\}\)と置く。\(X = \mathbb{N}_{>1} \times \mathbb{N}_{>0}\)と置き、\(Y = \{(c,\Delta) \in \mathbb{R}^2 \mid c > 0 \land \Delta \geq 0\}\)と置き、写像 \begin{eqnarray*} L \colon (0,\infty) & \to & (- \infty,1) \\ x & \mapsto & \log_{x+1}(x) \end{eqnarray*} を\(L\)と置く。

    各\(n \in \omega 2\)に対し、部分集合\(Y_n \subset Y\)と写像 \begin{eqnarray*} \uparrow_n \colon X \times Y_n & \to & \mathbb{N}_{>1} \\ (x,y) & \mapsto & \uparrow_n(x,y) \end{eqnarray*} と写像 \begin{eqnarray*} d_n \colon X \times \{(c,\Delta) \in Y \mid (c-1,\Delta) \in Y_n\} & \to & \mathbb{N}_{>1} \\ (x,y) & \mapsto & d_n(x,y) \end{eqnarray*} と写像 \begin{eqnarray*} T_n \colon X \times \{(c,\Delta) ……

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  • Mitsuki1729

    拡張グッドスタイン数列

    2019年12月22日(Mitsuki1729さん)

    グッドスタイン数列を拡張します。以下A(↑^B)Cを[A,B,C]と略記します。また、[a,0,b]=abとします。

    自然数xを自然数t,nを使って以下のように表します。

    x=a_0+[t,n,1]×a_1+[t,n,2]×a_2+…[t,n,m]×a_m

    (∀y([t,n,y]×a_y<[t,n,y+1]))

    この表記法を"xの{t,n}進表記"とします。

    xの{t,n}進表記内のtより大きい数を再度{t,n}進表記する(注:nは{t,n}進表記しない)ことを全ての数がt以下になるまで繰り返します。こうして出来る表記を"{t,n}を底とするxの拡張遺伝表記"とします。

    この時、拡張グッドスタイン関数G_n(x)をt=2から初めて{{t,n}を底とするxの拡張遺伝表記のtにt+1を代入して1を引いた値をxに代入する}をxが0になるまで繰り返した時の繰り返し回数とします。

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  • Hexirp

    二階述語順序数論

    2019年12月16日(Hexirpさん)

    ユーザーブログ:Merliborn/一階順序数算術というブログ記事がこないだ投稿された。その前文を読んで共感を覚えた。私も一階述語論理で集合が排除されている順序数の理論を作ろうとした時があったからだ。そして、それは大量の公理が必要になりそうで、少なくとも面白いものにはならなさそうと感じてやめたのだ。

    さて、この記事に動機付けされて順序数の理論を再考してみる。しかし、一階述語論理ではだめそうなのだ。そこで、新たに順序数から順序数への関数を言語に加えることにする。すなわち、二階述語順序数論 (second-order ordinal theory, SOOT) だ。


    二階述語論理と言ったら普通は、個体の集合と、個体を受け取る述語と、個体を受け取って返す関数についても量化できるものを指す。このブログでは、もともと一つの個体を受け取って返す関数だけを量化できる範囲に追加していたが、コメントによる議論を経て、通常の二階述語論理で扱える範囲に言語を広げることにした。


    これらの公理には不要なものがあるかもしれない。


    \[ \exists x \ldotp \forall y \ldotp x = y \lor x < y \]


    \[ \forall x \ldotp \exists y \ldotp x < y \]


    \[ \forall x \ldotp \forall f \ldotp \exists y \ldotp \forall z \ldotp ( \exists w \ldotp w < x \land z < f ( w ) ) \rightarrow z = y \lor z < y \]


    \[ \forall y \ldotp \forall y \ldotp x = y \l ……







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  • 甘露東風

    N#1の解析

    2019年12月16日(甘露東風さん)

    定義の完成と共にこのページを放棄予定

    新しく作ったネスト表記を解析します。開発番号はN

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  • Merliborn

    一階順序数算術

    2019年12月13日(Merlibornさん)

    集合論や順序数解析などのその方面の専門の人であれば、順序数の定義は集合論を用いて包括的に(例えば「関係∊について整列な推移的集合」として)定義しますし何の不都合も無いのですが、公理的集合論、もっと言うと素朴でないあらゆる集合論に馴染んでいない人にとってはあまりしっくり来ない存在であるのかなあという所感があります。

    自然数であればペアノの公理という、公理及び公理図式が5項目しかない簡潔な公理化が存在するので理解も及びやすいと思われますが、順序数はそのような公理化は知る限りで存在しません。大抵の場合順序数を用いる時は集合論(あるいは集合)の話をフルに使用するため、上述の集合論的定義(+前提としてのZFC)で事足りるからです。

    そういったわけで、ZFCを用いずに述語論理の各種公理といくつかの追加の公理のみでどこまでの事実が表現できるのかちょっと興味が沸きまして、現在調べている最中です。手元で主に調べているのは二階の場合ですが、ここでは一階述語論理の話をします。二階は自分も専門外で勉強中なのと、一階の言語だと表現力がガタ落ちするからです。

    算術の話までするつもりだったんですが算術なしの述語論理でも十分にもうやばかったため算術の話はしていません。
    算術なしだと輪をかけて何も表現できないので後で別途追加します。

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  • エビフライ

    2019年12月10日(エビフライさん)

    数年前に動画でネタにした、多角形表記における⑨の大きさと根拠となる計算について。ブラケットでの表記で示します。


    \( 9[3]=9[3]_{1}=9^{9}=387420489 \\ 9[3]_{2}=(9[3])[3]=9^{9}[3]=(9^{9})^{9^{9}}=9^{9\times9^{9}}=9^{9^{10}} \\ 9[3]_{3}=(9[3]_{2})[3]=9^{9^{10}}[3]=(9^{9^{10}})^{9^{9^{10}}}=9^{9^{10}\times9^{9^{10}}}=9^{9^{10+9^{10}}}\approx9^{9^{9^{10}}}\approx9^{9^{9^{9}}} \\ \vdots \\ 9[3]_{n}\approx\underbrace{9^{9^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{9}}}}}}_{n+1}=9\uparrow\uparrow(n+1) \\ \vdots \\ 9[3]_{9}\approx9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9^{9}}}}}}}}}=9\uparrow\uparrow10 \)


    \( 9[4]=9[4]_{1}=9[3]_{9} \\ 9[4]_{2}=(9[4])[4]=(9\uparrow\uparrow10)[4]=(9\uparrow\uparrow10)[3]_{(9\uparrow\uparrow10)}=(9\uparrow\uparrow10)\uparrow\uparrow((9\uparrow\uparrow10)+1)\approx\\9\uparrow\uparrow9\uparrow\uparrow10=(9\uparrow ……



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  • Mitsuki1729

    とりあえず考えた巨大数

    2019年12月10日(Mitsuki1729さん)

    対角化すると大きな関数ができると聞いて愚直に作った結果がこれです。

    まず、f(x)→g(x)への変換S(S変換)を次のように定めます。

    B(0,b)=f(b)

    B(a,0)=B(a-1,1)

    B(a,b)=B(a-1,B(a,b-1))

    g(x)=B(x,x)

    (ふぃっしゅ数のS変換と同様のもの) (注:[]は下付き数字を表します) 写像Mを関数f(x)と写像Aから関数g(x)と写像A’への次のような写像と定義する。

    A^(f(n)-f(0)[f[0](x,n)]=f[0](x,n)

    f[a](f[a](~{f[a](をn+1回繰り返す}~(f[a](x,0),1),2),3)~{1ずつ増やしていく}~),n)=f[a+1](x,n)

    M:=[f(x),A]→[g(x),A’]=[f[x](x,x),(f(x)→g(x))]

    M(n)変換:=M^n[f(x),S]

    M(f(x))^(f(n)-f(0))[f(x),S]=f[0,0](x,n)とします。

    関数fから関数gへの写像M’,写像Aから写像A’への写像L’をそれぞれ以下で定義します。

    A^(M(f(x))^(f(n)-f(0))[f(x),A])[f(x)]=:f[0,0](x,n)

    f[a,0](f[a,0](~{f[a,0](をn+1回繰り返す}~(f[a,0](x,0),1),2),3)~{1ずつ増やしていく}~),n)=f[a+1,0](x,n)

    f[f[f[f[〜{f[をa+1回繰り返す}~f[n,0](x,m),1](x,m),2](x,m),3](x,m)~{1ずつ増やしていく}~](x,m),a](x,m)=f[n,a+1](x,m)

    F':=[f(x),A]→[g(x),A']=[f[x,x](x,x),A^g(x)]=[M’ ……

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  • 甘露東風

    ESSSver.16

    2019年12月9日(甘露東風さん)

    C++で作った巨大数です。開発番号はESSSver.16です。これ読んだ人解析して

    計算に必要な資源は十分あるものとします。各型も上限が無いものとします。早い話、ちゃんと計算できるようにその辺ちゃんと忖度解釈してくださいということ。


    #include
    int Bdl(int p, int q, int r) { if(p == 0) { if(q == 0) { return r+1; } else if(r == 0) { return Bdl(0, q-1, 1); } else { r = Bdl(0, q, r-1); return Bdl(0, q-1, r); } } else if(q == 0) { return Bdl(p-1, 1, r); } else { q = Bdl(p, q-1, r); return Bdl(p-1, q, r); } }
    int main(void) { int n = 10; for(int i = 1; i < 100; i++) { n = n * 10; } n = Bdl(n,n,n); return n; } 全文を読む >
  • Z.Marcus

    前回の記事ではφ(1,0,0)=Γ0までの動きを確認しました。ヴェブレン関数も三変数目ということで、多変数ヴェブレン関数の定義やらどこがどこの不動点数え上げになってるのかやらやっておかなければならないとも思いますが、とりあえずφ(1,0,0)=Γ0→φ(1,0,1)=Γ1までの動きは二変数ヴェブレン関数に毛が生えた程度の気持ちなので先にこっちをやってしまいます。


    Γ0と書かれて急に怖気づくことはありません。二変数ヴェブレン関数φ(ω,0)→φ(ω,1)→φ(ω+1,0)と同じ動きをします。ここではΓ0をφ(1,0,0)で書くことにしました。


    とても疲れました...なかなか飛ばし具合にむらがあったり、逆にここ詳しくやってるのにここなんでこんな飛ばしてるのというのがあると思うので、ここをこう追加してほしいという意見があったら是非コメントなりTwitterなりでください~

    Γ0からΓ1までかなり遠かったですね。さすがに解析でこの辺に止まる奇怪な巨大数もないと思いますのでこの動き表が役に立つかちょっとわかりませんがみなさんの勉強に役立ててください。 次回は多変数ヴェブレン関数の定義をかみ砕くかΓ2を挟むか、φ(1,1,0)をやるかちょっと悩んでいます。お楽しみに。

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  • Z.Marcus

    前回は、ヴェブレン関数で躓きやすいφ(ω,1)からφ(ω,φ(ω,0)+1)までをやりました。今回はφ(ω+1,1)をやってからΓ0に到達したいと思います。


    まずは


    ついにφの不動点であるΓ0に到達しました。ここで、φ(α,0)=αとなる最初の順序数がΓ0であり、これはフェファーマン・シュッテの順序数とも呼ばれます。 Γ0以降は二変数のヴェブレン関数だけでは記述できないので、多変数に拡張されたヴェブレン関数を使います。 Γ0からΓ1までも相当分厚い壁が待っていますので、そちらも記事にしていきます。

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  • Z.Marcus

    今回はφ(ω,0)からφ(ω+1,0)までの動きをやります。 海外に2000stepsという様々なOCFだったりφだったりの動きを小さい順に比較しているスプレッドシート(?)があるらしいんですが、ループがあったり正しくないことが書いてあったりとバグがいろいろ見つかったので勘違いしている人も多いだろうと思いまして、この記事を書いています。 と、その前に前回の記事の解答を書きます。


    1.

    φ関数の理解に際して大事なところは右の変数を増やすときにはどのような操作をするか、左の変数を増やすときにはどういう操作をするか、変数が極限順序数のときはどのような操作の極限を取っているかをいちいち確認することです。極限順序数のときだけ少し厄介ですが、それを超えてしまえば自然数のときと何ら増え方の規則は変わらないのです。 大体の壁はこれで突破できたと思うので、次の記事でΓ0まで行きたいですね。

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  • Nayuta Ito

    Buchholz's ψ 実況プレイ Part 3

    2019年12月5日(Nayuta Itoさん)

    (メタ的に言うと、これはBuchholz's ψの解説記事の続きです。)

    (背景は白一色で、画面には黒い髪と黄色い髪の生首[要出典]饅頭?がそれぞれ右下と左下に映っている。以下それぞれの生首をA,Bとする。黒髪であるにもかかわらずAの字幕は赤で書かれている)

    A: さて、今日もゆっくり実況やっていきましょう

    B: 実況するのは

    A: ゆっくり霊夢と

    B: ゆっくり魔理沙だぜ

    B: それで、前回は何を実況したんだぜ?

    A: \( \psi_k(0) \)を求めたよ。\( \psi_k(0) = \Omega_k \)だったね

    B: 前回の動画が1か月以上前だから、そんなこと覚えてないぜ

    A: 覚えてないって人は前回の動画を見てね

    B: ダイマ乙

    A: 今回は、いよいよステージ\( 1 \)をプレイするよ

    B: やっと次のステージに進めるんだぜ

    A: 今回も定義通りに計算を進めていこうね

    B: 今回から第3項がどうとか言ってたから、難しくなるのぜ?

    A: 理解すれば自明だよ。さっそく、ゲームスタート

    (画面全体にゲーム画面が表示される)

    \( C_0^0(1) = \Omega_0 = 1 = \{ 0 \} \)

    B: これはワールド\( 0 \)のステージ\( 0 \)と変わらないんだぜ

    A: そうだね。今は\( \psi_0(1) \)を計算しているから、\( \nu = 0 \)になるね。\( \nu = 0 \)だから、\( C_0^0(1) = \{ 0 \} \)になるよ

    B: わかったぜ。この後はどうなるんだぜ?

    A: 時間を進めるよ

    \( C_0^1(1) = \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)

    B: なんかいろいろと追 ……

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  • Z.Marcus

    前回まででφ(3,0)までの順序数に関して計算規則と動きを確認してきました。 φ関数の数字の増やし方がわかったところで、動きはφ(ω,0)までは変わらないので代わりに練習問題として基本列を中心に問題をいろいろと出しておこうと思います。 完璧に理解できていればこのくらいの問題なんて造作もないはずです、チャレンジしてみてください。



    ε0までの基本列の定め方にWainer階層がありましたが、Wainer階層はε0までの順序数が(ここではε0までと言いますがどうやらすべての順序数に対して?)カントール標準形に書き下せることを利用していました。カントール標準形の気持ちは順序数が

    の二番目の基本列を取る操作を気が済むまで行え。(どこかの梟ホイホイ)

    この11問の答えは次の記事で発表しようと思います。 この基本列の定め方はヴェブレン関数の理解の助けになるので、ぜひ一度は手を動かして計算してみてください。

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