巨大数研究 Wiki
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Nayuta Ito Nayuta Ito 1日前
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バシク行列公理/解析/3行

  • (0,0,0)(1,1,1) -- 加行律から自明
  • (0,0,0)(1,1,1)(1,1,1) -- [WIP]

...

  • (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1) -- 最小の分岐点であることが示せる
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Kanrokoti Kanrokoti 2日前
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ブーフホルツ数列

英語版:


  • 1 概要
  • 2 ブーフホルツ数列
    • 2.1 記法
    • 2.2 順序
    • 2.3 上昇関数
    • 2.4 共終数
    • 2.5 基本列
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 標準形
    • 2.8 命名

ブーフホルツ数列を定義します。ブーフホルツ数列は、ブーフホルツのψ関数を数列に翻訳した表記となることを目指したものです。具体的には、数列の各要素に対してそのまま\(\textrm{dom}\)を設定すると\(0\)始まりのベクレミシェフの虫になるだけなので、\(\textrm{dom}\)の設定に階差数列を考えるようにします。つまり、階差数列を\(0\)始まりのベクレミシェフの虫にすることで、階差数列が\(\psi\)の添字の役割をするようにします。ただし、このままでは数列の挙動がブーフホルツのψ関数と同等にはならないため、階差数列には\(0\)始まりのベクレミシェフの虫の各要素に\(1\)を足したものを使用します。全体的なアルゴリズムは拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を参考にしました。その構成から、ゆきと氏のハイパー原始数列と何らかの関連があるかもしれません。

Special thanks: p進大好きbot



\(\frown\)を数列の連結演算子とする。

数列の集合\(S\)を以下のように定める:

  1. \(() \in S\)である。
  2. いかなる\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})\)と\((a_m)_{m = 1}^n \in \mathbb{N}^n\)に対しても、\((a_m)_{m = 1}^n \in S\)である。



\(S\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は…






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BashicuHyudora BashicuHyudora 3日前
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バシク極限数列数の開発日記

A(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)=B(0,0)(1,1)(2)(1,1)(1,1)とAをBへ変換するようなものが必要。(1,1)の子(2)があるから、ないものを高次元行数にみておく。 A(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)(2,2,2,2,2)=B(0,0)(1,1)(2)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(3)(2,2)(2,2) これはN階差を許そうとすればいい。 目標はBMS=0,1,0,0,0...,0,2,1,1,1,...

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ゆきと ゆきと 5日前
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discordについて

このブログを読む前に、P進大好きbotさんの書いた「差別に関すること」を読むことを強くおすすめします。


何が起こったかは、差別に関することを読んでいただければ分かると思うので、割愛します。

結局の所、私は「グーゴロジストの社交場」(以下、discordと書きます)に2ヶ月ほど戻ることが出来ていません。社交場での、「この場所以外で起こったことは勘定しない」というルールも動いていないようです。


まず、discordの管理者さんへ。見て見ぬ振りはどうかやめてください。私はeryxさんがdiscordに入ってきたことによって、discordを抜ける事になりました。今現在も私は苦悩しています。これは日本のコミュニティで起こったことですし、問題は解決していません。

私は、eryxさんから差別的発言を受けたと思っています。差別の加害者と被害者がいたときに、同居するのはつらいからと被害者がその場を去るべきだとは思いません。

もし私が悪く、eryxさんは何も間違っていないと思うのならそれを教えてください。私は悪いことをしたことを人に謝ることは吝かではありませんし、discordから抜けることになったことも納得します。ですが、私は現在悪いことをeryxさんにしたとは思っていません。何の落ち度も無い(と思っている)私が苦しむこの状態は、納得できるものではありません。

前回この話をしたときは、「eryxを追放すればすっきりすると思いますが」と軽率な発言をして、話の方向が私自身分からなくなってしまったので、eryxさんのdiscordからの追放は全く求めません。ただ、eryxさんがハラスメントをしたか否か、コミュニティの管理者は何をすべきか、について議論してほしいだけです。


その他私が思ったことです。


私がdisc…





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Binary198 Binary198 12日前
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ギャラクシー機能

私はもともと日本で生まれたわけではなく、日本語を話すのが苦手です。日本語を流暢に話せたらいいのにと思います。それでも、私は日本とそのすべてが大好きなので、ここに発明を投稿することにしました。これは私が開発した序数表記であり、部分的にタラノフスキーのCに触発されています。いろいろなアイデアを試してみて、それらを1つにまとめたかったのです。コメントに誤りや批判を入れてください。


  • 1 概要
  • 2 表記
  • 3 関係
  • 4 標準形式
  • 5 共終数と基本シーケンス
  • 6 急増加関数

ギャラクシーコラプスと呼ばれるこの本当にクールな曲を聴いていて、関数に名前を付けるのはクールだと思いました。また、ギャラクシーコラプスとオーディナルコラプス機能はOCFではありませんが「コラプス」という言葉を共有しています。ともかく:


ここでは、表記の文字列を定義します。

  • \(0 \in T\)
  • すべての\((a, b) \in T^2\)、\(a + b \in T \cap PT\)について
  • すべての\(a \in T\)、\(\textrm{悲鳴}(a) \in T \cap PT\)について
  • すべての\((a, b) \in PT \times (T \backslash \{0\})\)、\(\textrm{銀河}(a, b) \in T \cap PT\)について
  • すべての\((a, b) \in PT \times (T \backslash \{0\})\)、\(\textrm{崩壊}_a(b) \in T \cap PT\)について

Tのメンバーは用語と呼ばれ、PTのメンバーは主要用語と呼ばれます。すべての\(n \in \mathbb{N}\)について、\(\textrm{悲鳴}(0) = \textrm{銀河}(0, 0) = \te…




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Nayuta Ito Nayuta Ito 14日前
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バシク行列公理/Kクラスシナリオ

全てのBMSの解析が終了することをドイツ語で「完了」を意味するkomplettの頭文字を取りKクラスシナリオと呼び、この記事では考えられるいくつかのKクラスシナリオを列挙する。

このリストは完全なものではないことに注意されたい。

  • LK-クラス: 捲られたヴェールシナリオ -- 既知のBMSおよびいくつかの未知のBMSに対する解析が終了し、BMSは完全に解明される。
  • SK-クラス: 支配シフトシナリオ -- 既知のBMSが全てill-definedであることが判明し、新しいBMSに取って代わられる。
  • XK-クラス: BMS終焉シナリオ -- BMSが存在しないことが証明される。
  • NK-クラス: 巨大数論的シナリオ -- BMSの種類数が巨大数論的数字になり、全てを解析することが現実的に不可能となる。
  • \( \omega_1^{\mathrm{CK}} \)-クラス: 計算不可能シナリオ -- BMSは本質的に計算不可能な亜種を含むことが証明される。
  • ΩK-クラス: 連続体濃度シナリオ -- BMSは本質的に連続体濃度存在することが証明される。
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Nayuta Ito Nayuta Ito 21日前
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バシク行列公理/共通

行数に関係ない性質を証明する。


定理0.1. 任意のBMS\( f \)と行列\( m = m_1 m_2 \cdots m_c \)と自然数\( n \)に対し、\( m_c = (0,0,\cdots,0) \)であるならば、\( f(m, n) = m_1 m_2 \cdots m_{c-1} \)である。\( c = 1 \)の場合は、\( f(m, n) = \)となる。

証明0.1. 後続律と零等律から即座に従う。


定理1.1. 任意のBMS\( f \)と非跳な極限行列\( m = m_1 m_2 \cdots m_c \)と自然数\( n \)に対し、\( m_c = (a,0,\cdots,0) \)、ただし\( a > 0 \)であるとする。このとき、\( m \)の展開はBM2.3のものと同じである。

証明1.1. ユーザーブログ:Nayuta Ito/バシク行列公理/解析の補題1.1の系の主張そのままである。


定理2.1. 任意のBMS\( f \)と加法で閉じた妥当で非跳な極限行列\( m = m_1 m_2 \cdots m_c \)と自然数\( n \)に対し、\( m_c = (a,1,\cdots,0) \)、ただし\( a > 0 \)であるとする。このとき、\( m \)の展開はBM2.3のものと同じである。

証明2.1. 次を満たす\( x \)を小さい方から順に\( x_0, x_1, \cdots, x_q \)とする:\( m_x = (p,0,\cdots,0) \)かつ\( \forall y>x, m_x \neq m_y \)かつ\( p < a \)。

ある\( x_i \)について、もし\( i < j \)かつ\( m_{…




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Zyotsuba Zyotsuba 24日前
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JGA用のぶーふほるつの嚙み砕き


このページは、いつかJGAで動画を出す用の記事噛み砕き記事になります。
時々更新しますが、内容は「ブーフホルツのψ関数」をコピーペーストして、突っ込みや噛み砕きコメントを加えたものです。
ご留意ください。


ぶーふほるつのプサイ関数は、「https://en.wikipedia.org/wiki/Werner_Buchholz」参考のぶーふほるつ先生が開発した順序崩壊関数。(Gwikiの元りんく参照)

「https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3」さんこうふぇふぁーまん先生の(リンクなおすのめんどい)θ関数(zi-wikiに記事なし、おそらく先生の原著を見に行かないとダメか。たぶんふぃっしゅっしゅさんのブログにリンクがある)。

の簡単な代替として開発されたものらしい。だけどθ関数と同等の強さ(同数学的に説明したものか)なのでちょっとお得にいい感じである。

いったんすみませんが定義はマルコピします。やっぱマルコピしません。


一番最初に、Ω下付きの0は1とする。 Ωの下付きαという集合の基数は、αをゼロ以上とする(多分基本的にこのαは順序数でいいと思う)アレフ下付きαと一致するものとする。


P ωのα乗であらわされる順序数全体のクラス

P(0)はとりあえず0

P(α)はαの自然数の下付きが並んだ集合。つまり集合の基数自体の大きさは自然数全体の集合と一致

ちょっと順序が逆になったけど、なにかしらの下付き文字がついたαはすべて集合Pに属していて、

自然数をした…






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Zyotsuba Zyotsuba 26日前
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問題 極限順序数Zωについて。

[私は魔王。このページを見つけた君は才能がある。以下の問題を答えられたら報酬をやろう。]

[...?どんな風の吹き回しだと?]

[そんなの私にもわからない。どうやら、世界には我々を指先で支配しているアカシックレコードというものがあるらしいのだ...]


大問(2021/9/27 utc+9 12:00)

配点:問題1[1][2],各12点、問題1[3],2[1][2],各15点、問題2[3],31点 ||以上100点満点 問題3の報酬:「世界の半分」

φ、ψによって書かれる関数をそれぞれここではφ関数、ψ関数とする。+を、通常の算術の加法とする。なお、ここでは0も自然数に含める。

整礎な包含関係で一意に順序を定めることのできる集合そのものを、ここでは順序数と呼ぶことにする。つまり、自然数は順序数である。

問題1

φ0が、引数の自然数から、自然数と加法+を有限回演算を繰り返しても到達できない最小の順序数を返す関数のとき。

[1] φ0(0)とは何か。自然数で答えなさい。

[2] φ0(1)、φ0(2)とは何か。自然数または順序数で答えなさい。なお、自然数全体の集合をωと略記し、通常の受験数学の演算記号を認めます。

[3] φ0(φ0(φ0(......と、φ0関数を有限回適応しても到達できない最小の順序数を、ψ0(0)とするとき、ψ0(0)がどのような順序数になるか、自らの言葉で140字(ちょうど1Tweet可能な文字数分)で自由に説明しなさい。

問題2

ψ0が問題1[3]と矛盾せず、引数の自然数を、自然数とφ0と+で閉じている集合内で構成することのできない最小の順序数を返す関数とするとき、

[1]ψ0(6)をざっくりと急増化関数の従来の方法であなたの納得のいく精度で近似しなさい。

また、

[2]φ0(φ0…


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Zyotsuba Zyotsuba 26日前
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前のTestのちゃんとしたやつ

ブログ上で数式をやるのは面倒くさくなってしまったので、もう大学受験数学の大問よろしく文章で巨大数問題の作問をしようと思います。

作問した問題はTempファイル的にこちらに置くことにします。(なぜならブログのタイトルがかえられないので)

完成した問題は次のブログ記事として出します。よろしくお願いします~


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Zyotsuba Zyotsuba 27日前
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Test

やりたいこと

φとψの順序数を用いた関数を使い、FGHを一意に定めて巨大数(自然数)を定義する。

ちなむと不勉強が祟って誤解で大変なことになるブログ記事になるかもしれないことを一応覚悟しています。

難化だんだん意味が分からなくなってきたお寿司

お気持ち

Veblenのφ関数はお借りして、加法で閉じている順序数の階層を仮定する。(使われ方的にはVeblenさんの意向とはだいぶん違う)

ψはBuchholzやほかのものではなく、完全にオリジナルの関数として展開する。

ψやφは、お互いを交互に機能的に定義して、FGHを構成(?)する。

ψとφの成す集合の全体の上極限を一つの極限順序数として定義し、基本列を一意に定める階層から、なんか適当な巨大数を作りたい。

言葉も使いつつの定義

通常の0から始まる自然数と、通常の算術の加法「+」が存在する。

φ関数において、下付きの自然数が0のときのみ、従来のVeblen関数と都合よく切り取って定義を同じとする。

よって、


...これ記法を増やした多変数Veblenじゃないの???????????ねる





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Koteitan Koteitan 9月23日 (木)
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プリッツ予想

\(\newcommand{\if}{~{\rm if}~}\) \(\newcommand{\mod}{ {\rm mod}~}\) \(\newcommand{\nat}{ {\mathbb N} }\)

コラッツ問題に感化されて、下記の表記 \(n[N]\) で定義される自然数 \((2^{10^{100}+1}+2^{10^{100}}-1)[1]\) をプリッツ数と命名します。

\begin{eqnarray} \nat \times \nat &\rightarrow& \nat\\ (n,N) &\mapsto& n[N] \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \forall n,N \in \nat n[N]&=&\left\{\begin{array}{ll} \frac{n}{2}[10N]&\if n\%2 = 0\\ f^N(\frac{n-1}{2},b(n+1))[10N]&\if n\%2=1 \land n\gt 1\\ N&\if n=1 \end{array}\right. \end{eqnarray}

ここで \(x \% y\) は x ÷ y の剰余で、下記で定義されます。 \begin{eqnarray} x \% y&=&\min\{w\in \nat|w\geq 0 \land x \equiv w(\mod y)\} \end{eqnarray}

ここで \(b(n)\) は下記で定義される関数です。まあいわば \(n\) を何回連続 2 で割り切れるか、が \(b(n)\) になるという感じです。 \begin{eqnarray} \forall n \in \nat b(n)&=&\le…

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ゆきと ゆきと 9月22日 (水)
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数列系巨大数の解説

この記事は書きかけです。


この記事では、数列系巨大数ついて解説します。前提知識は、「高校までに習う数学」です。

是非この記事を読んで、これからの巨大数の研究に役立ててください。



このブログで紹介する表記とそれによって定義される巨大数、制作年と制作者、前提知識をまとめて表にします。一番上の原始数列から学び始めると良いと思います。




前提となる知識





なし








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P進大好きbot P進大好きbot 9月22日 (水)
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巨界市場の木観察日記

名有りさんによる東方巨大数4への投稿である巨界市場の木の解析が39行目(\(\textrm{b}[\textrm{pb}[\textrm{pb}[]],\textrm{pb}[\textrm{pb}[]]]\)が\(\varepsilon_0+1\)に対応すること)から残りが全部間違っていると思うのですがmrnaさんが忙しそうなので自分で変換写像を書いてみる試みです。変換写像を使った解析の具体例として参考にしてください。



部分集合\(T' \subset T\)を以下のように再帰的に定める:

  1. \(t \in T\)が空文字列ならば、\(t \in T'\)である。
  2. \(t \in T\)が\(s \in T'\)を用いて\(\textrm{pb}[s]\)と表せるならば、\(t \in T'\)である。
  3. \(t \in T\)が\((s_0,s_1) \in (T')^2\)を用いて\(\textrm{b}[s_0,s_1]\)と表せかつ\(s_0\)と\(s_1\)が空文字列でないならば、\(t \in T'\)である。
  4. \(t \in T\)が\((s_0,s_1) \in (T')^2\)を用いて\(s_0 \frown s_1\)と表せるならば、\(t \in T'\)である。

要するに\(T\)の再帰的定義で\(\textrm{b}\)の引数に空文字列を認めないように制限したものが\(T'\)である。\(T\)を\(T'\)に制限する理由は、後に定義する変換写像\(o\)が\(T'\)において順序保存となるが\(T\)にそのまま拡張しても順序保存とならないからである。

\(t \in T'\)が不可分であるとは以下のいずれかを満たすということである

  1. \(t\)が\(s \in T…


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Kanrokoti Kanrokoti 9月21日 (火)
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弱K-ψ関数

英語版: https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Weak_K-psi_function


  • 1 概要
  • 2 弱K-ψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 順序
    • 2.3 共終数
    • 2.4 探索関数
    • 2.5 基本列
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 標準形
    • 2.8 命名

弱K-ψ関数を定義します。拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を拡張した表記です。

Special thanks: p進大好きbot



\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。

\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。

部分集合\(RT \subset T\)と\(RPT \subset PT\)を次のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in RT\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in RT\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in …




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P進大好きbot P進大好きbot 9月18日 (土)
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行列システムの限界数

名もなき巨大数コンテストへの投稿用の記事です。ルールはこちらをご確認ください。

ユーザーブログ:Koteitan/バシク行列の亜種ルールの分類とユーザーブログ:Nayuta_Ito/バシク行列公理/分類に触発されて作られた、行列システム対策の巨大数システムを作ります。行列システムを一網打尽にすることに無駄に特化しています。



集合\(X\)に対し、\(X\)の要素からなる有限列全体の集合を\(X^{< \omega}\)と書く。\(X^{< \omega}\)に関して以下の記法を導入する:

  • \(a \in X^{< \omega}\)に対し、その長さを\(\textrm{Length}(a)\)と置く。
  • \(j < \textrm{Length}(a)\)を満たす\((a,j) \in X^{< \omega} \times \mathbb{N}\)に対し、\(a_j\)を\(a\)の第\(1+j\)成分と定める。\(\textrm{BB}_{\textrm{MatSys}}\)の定義文は停止性を参照しているため直接アルゴリズムを定めていないが、少なくとも\(\textrm{ZFC}\)集合論に置いて定義が意味を持つ。また、この定義文がアルゴリズムを定めていないだけでなく、\(\textrm{BB}_{\textrm{MatSys}}\)を計算するアルゴリズムが実際に存在しない(つまり計算不可能関数である)ことが推測されるが、その真偽は不明である。

巨大数\(\textrm{BB}_{\textrm{MatSys}}^{10}(10 \uparrow^{10} 10)\)を行列システムの計算不可能限界数と名付け、名もなき巨大数コンテスト計算不可能部門への投稿とする。



定義より\(\tex…





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ゆきと ゆきと 9月14日 (火)
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\(0\)-Y数列

  • 1 概要
  • 2 表記の定義
  • 3 巨大数の定義
  • 4 リンク
  • 5 大まかな大きさ
  • 6 最後に

koteitanさんの作成したユーザーブログ、0-Y数列の定義とバシク行列があります。そちらもご覧ください。

\(0\)-Y数列は、ゆきとが2020年9月に考案し、同年9月にkoteitan氏が数式による定義を作成し、2021年7月にNaruyoko氏がプログラムによる定義を作成した表記です。基本的には、私が動作を検証しているNaruyoko氏のプログラムの定義の方が公式の定義と見なされます。

さらに、Naruyokoさんがここで\(0\)-Y数列とバシク行列システムの対応写像を与えています。


\(a\)を、自然数を要素に持つ正整数長の数列、\(n\)を自然数とする。

  ①    \(0-Y()[n]=n\)

  ②    \(0-Y(1,\omega)[n]=0-Y(1,n)[n]\)

  ③    \(0-Y(a)[n]=0-Y(expand(a,n))[n+1]\)

ここで\(expand(a,n)\)は、こちらのソースコード内にある関数expandで与えられます。


\(f(n)=0-Y(1,\omega)[n]\) として

\(f^{2000}(1)\)

を、\(0\)-Y数列数とする。



実際にここで\(expand(a,n)\)を計算することができます。


\(0\)-Y数列は、その極限まで解析されてはいませんが、途中までだいたい以下のように近似されます。ただし、ハーディ階層で近似します。



ここで、\(\psi\)は拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記、\((0,(1,0,0))\)は多変数段階配列表記です。

また、バシク行列システムとは以下のような対応をすると期待されています。


\begin{eqnarray*}0-Y(1…












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Kanrokoti Kanrokoti 9月14日 (火)
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3変数三関数

英語版: https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/3-variable_%E4%B8%89_function


  • 1 概要
  • 2 3変数三関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 後者関数
    • 2.5 共終数
    • 2.6 基本列
    • 2.7 急増加関数
    • 2.8 限界関数
    • 2.9 標準形

三関数を3変数に拡張します。

Special thanks: p進大好きbot



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\textrm{三}\)と\((\)と\(,\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b,c) \in T^3\)に対しても、\(\textrm{三}_a(b,c) \in PT \cap T\)である。



\(0\)を\($0\)と略記し、\(\textrm{三}_0(0,0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\textrm{三}_0(0,$1)\)を\($\omega\)と略記する。



ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

\(T\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s …








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P進大好きbot P進大好きbot 9月13日 (月)
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小ふぃっしゅ数バージョン7

名もなき巨大数コンテストへの投稿用の記事です。ルールはこちらをご確認ください。

今回はふぃっしゅ数バージョン7の汎関数\(RR\)の\(\textsf{ZFC}\)類似である\(\textrm{CoRR}\)を定義し、それをラヨ関数の\(\textsf{ZFC}\)類似である\(\textrm{CoRayo}\)関数に適用することでふぃっしゅ数バージョン7の\(\textsf{ZFC}\)類似である小ふぃっしゅ数バージョン7を定義します。特に\(\textrm{CoRayo}\)関数を用いて定義された霜符「フロストコラヨス」の実質的な拡張となります。\(\textsf{ZFC}\)公理で定義可能である計算不可能巨大数を想定していますので無制限部門への投稿となります。

今回は霜符「フロストコラヨス」を投稿した第3回東方巨大数と違って最初から決まっている審査員以外にも参加者が公式に解析をする可能性があるため、ラヨ数やふぃっしゅ数バージョン5やふぃっしゅ数バージョン6やふぃっしゅ数バージョン7の知識は仮定せずになるべく詳細に定義を書き下そうと思います。



  • 1 形式言語
  • 2 構造
  • 3 命名可能性
  • 4 巨大関数
  • 5 巨大数
  • 6 脚注

以下のように略記を導入する: \begin{eqnarray*} \ulcorner ( \urcorner & := & 2^0(2 \times 0 + 1) \\ \ulcorner ) \urcorner & := & 2^0(2 \times 1 + 1) \\ \ulcorner \land \urcorner & := & 2^1(2 \times 0 + 1) \\ \ulcorner \neg \urcorner & := & 2^1(2 \…




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みずどら みずどら 9月10日 (金)
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亜原始→ハイパー原始の対応写像的なもの

wikiの編集方法忘れてしまったので見づらいかもしれませんがご了承ください。

数列の順序数拡張をやってるときに思いついた写像をしっかり定義してみました。定義してみただけなので、本当に対応するかの保証は全くありません。今証明に挑戦中です。クッソむずいです。

定義中に出てくる写像Pはハイパー原始数列を大きさそのままで初項の子が全て1になるように変形することを意図した写像です。写像Hが本題となる亜原始数列を入れるとハイパー原始数列を返す写像です。


略記

一般的かどうかわからないのでここで用いるいくつかの略記を予め説明します。

ここでいう数列は、全て有限長の自然数列とする

Eは空列とする

数列Sの項全てに整数nを足した数列をn+(S)と表記する

長さlの数列Sの第k項(1≦k≦l)となる自然数をS_kと表記する

長さaの数列Sと長さbの数列Tについて、S,Tは

(S,T)_n=S_n(1≦n≦a)

              T_(n-a) (a

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ゆきと ゆきと 9月6日 (月)
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\(\omega\)-Y数列

  • 1 概要
  • 2 表記の定義
  • 3 巨大数の定義
  • 4 順序数の定義
  • 5 リンク
  • 6 大まかな大きさ
  • 7 最後に

\(\omega\)-Y数列は、ゆきとが2020年7月に考案し、Naruyokoが2021年6月にプログラムによる定義を作成し、2021年9月にゆきとがそれを公式の定義であると宣言し、完成した表記です。大きさや停止性は未解決ですが、Y数列の極限よりも大きいと予想されています。



\(a\)を、自然数を要素に持つ正整数長の数列、\(n\)を自然数とする。

  ①    \(\omega-Y()[n]=n\)

  ②    \(\omega-Y(1,\omega)[n]=\omega-Y(1,n)[n]\)

  ③    \(\omega-Y(a)[n]=\omega-Y(expand(a,n))[n+1]\)

ここで\(expand(a,n)\)は、こちらのソースコード 内にある関数expandで与えられます。



\(f(n)=\omega-Y(1,\omega)[n]\) として

\(f^{2000}(1)\)

を、\(\omega\)-Y数列数とする。



\(\omega-Y(1,\omega)\)に対応する順序数を、

\(\omega\)-Y Sequence Ordinal (\(\omega\)-YSO)

とする。


実際にここで\(expand(a,n)\)を計算することができます。

\(\omega\)-Y数列において重要な「MEGA-Mt.Fuji」を描画するプログラムはこちらです。



\(\omega\)-Y数列は、その極限まで解析されてはいませんが、途中までだいたい以下のように近似されます。ただし、ハーディ階層で近似します。


ここで、\(\psi\)は拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記、\((0,(1,0,0))…













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Kanrokoti Kanrokoti 9月2日 (木)
0

三関数における2段階正則基数の制限の除去

英語版: https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Non-restricted_%E4%B8%89_function


  • 1 概要
  • 2 非制限三関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 共終数
    • 2.5 探索関数
    • 2.6 基本列
    • 2.7 急増加関数
    • 2.8 限界関数
    • 2.9 標準形

まずはこのブログ記事を読んでください。

三関数はp進大好きbot氏によって定義されたdom型の2段階横ネスト表記である。共終数の項を見ていただければ分かる通り、2段階正則基数を使ってはいるが、定義の簡単のために制限が設けられている。二関数ではこの制限が除去されているが、同時にカントール標準形を2重にする拡張がなされているため、三関数の2段階正則基数に対する制限を純粋に除去した表記とは言い難い。

蛇足だが、二関数は三関数+多変数化+カントール標準化という、元々四関数になると思われていた表記とは構成が異なるものであり、系統でいえば三関数に属する。三関数+多変数化+カントール標準化の表記の実態は現時点で不明である。では、現在の四関数はどうなのかというと、拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を超限変数化した表記である超限変数拡張ブーフホルツのψ関数を超限変数化1回とするときの、超限変数化ω回が四関数である。したがって、四関数は系統でいえば三関数ですらなく、拡張ブーフホルツのψの系統に属する表記である。Study of side nesting from the view point of collapsificationも参照されたい。

本ブログ記事では、2段階正則基数に対する制限を純粋に除去した非制限三関数を定義する。除去にあたり、私独自のアルゴリズムを導入して定義の簡易…



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Kanrokoti Kanrokoti 9月2日 (木)
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2重ψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Double-psi_Function


  • 1 概要
  • 2 くまくま3変数ψとの違い
  • 3 2重ψ関数
    • 3.1 表記
    • 3.2 略記
    • 3.3 順序
    • 3.4 共終数
    • 3.5 探索関数
    • 3.6 基本列
    • 3.7 急増加関数
    • 3.8 限界関数
    • 3.9 標準形
    • 3.10 命名

2重ψ関数を定義します。拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を3変数に拡張した表記です。

Special thanks: p進大好きbot C7X Mrna den



くまくま3変数ψと異なるのは、\(\textrm{dom}(\psi_0(\psi_1(0,0),0)) = \psi_0(\psi_1(0,0),0)\)と定めることである。これにより、くまくま3変数ψにおける\(\psi_1(0,0)\)の役割を2重ψ関数では\(\psi_0(\psi_1(0,0),0)\)が担うことになり、dom型定義における2段階横ネスト要素が発生する。

2重ψ関数は3変数ψを2段階横ネストにしたものであるため、2変数の2段階横ネスト表記を3変数に拡張したものとは異なり、2段階横ネスト要素を1変数目と2変数目の関係にのみ持つ。2変数の2段階横ネスト表記を3変数にしたものでは、2変数目と3変数目、1変数目と2変数目、1変数目と3変数目の3つの関係で2段階横ネスト要素を持つことになる。したがって、2重ψ関数は2変数の2段階横ネスト表記を3変数にしたものよりは弱いと予想される。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\(,\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める…







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Nayuta Ito Nayuta Ito 8月31日 (火)
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バシク行列公理/分類

バシク行列公理による全てのBMSを分類する。


ドメイン、界、門、綱、目、科、属、種によって分類する。上科や下属のような細かい分類を使うこともある。


  • 非BMSドメイン -- BMSではないもの。
    • BM1界 -- (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,0)(1,1)(2,1)(3,1)のbad rootが4であるもの。全てのBM1界の行列システムは停止しないことが知られている。
    • BM3.1.1界 -- 知られている中では唯一BM3.1.1のみがここに属する。
  • BMSドメイン
    • BM2界 -- (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)が(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,3,0)...と展開されるもの。
    • BM3界 -- (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)が(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,1,0)...と展開されるもの。
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Nayuta Ito Nayuta Ito 8月26日 (木)
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バシク行列公理/解析

バシク行列公理による全てのBMSに共通の部分を解析する。


  • 1 0行
  • 2 1行
  • 3 2行
  • 4 3行

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解析/3行

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Nayuta Ito Nayuta Ito 8月23日 (月)
3

【ジョーク】2段階横ネストUNOCF【エブリデイフール】

ユーザーブログ:Kanrokoti/dom型表記における横ネスト要素に対する私の考え方の「横ネスト2段階」がよくわからないのでUNOCFに2段階の横ネストを入れる。

原理的にUNOCFは1段階横ネストである。すなわち、任意の基数κに対しψ_(κ^+)(0)=κが成立する。これは都合が悪いので、UNOCFに添え字の制限が必要である。

2段階横ネストにするためには、正則基数を崩壊することによってしか得られない正則基数が必要である。

I WIN!を最小の弱I WIN!基数とし、I WIN!!を最小の弱I WIN!!基数とする。

ψ_I WIN!(ψ_I WIN!(I WIN!!))を2段階正則基数にする。

ψ_I WIN!(ψ_I WIN!(I WIN!!))=Ωとする。

ψ_I WIN!(I WIN!!)=Iとする。

アナリシス

ψ_I WIN!(I)=Ω

ψ_I WIN!(Ω)=Ω

ψ_I WIN!(I_2)=Ω_2

ψ_I WIN!(I(1,0))=なんかε(Ω+1)とかそういう濃度Ωの大きいやつ

ψ_I WIN!(M)=OFP?

ψ_I WIN!(I WIN!)=I


どこかで非常に弱くなる必要がある。


再校

ψ_I WIN!が魔法によりI WIN!より大きい基数を生み出すとする

ψ_I WIN!(I WIN!!)はこの方法でしか表記できないI WIN!系の大きな基数とする(ただしI WIN!!よりは小さいものとする)

ψ_I WIN!(ψ_I WIN!(I WIN!!))で手ごろな大きさまでI WIN!が降りてくる。これが仮にΩ_(I WIN!+1)であるとする。


・・・ちょっと待った、その場合I WIN!↑↑ωってどう表すんだ?

横ネストなにもわからん

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Kanrokoti Kanrokoti 8月15日 (日)
0

dom型表記における横ネスト要素に対する私の考え方

英語版: https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/My_thought_about_side_nesting_in_dom-type_notation


  • 1 概要
  • 2 dom型ネスト表記とは
  • 3 domの定義から見た横ネスト要素
    • 3.1 横ネスト0段階
    • 3.2 横ネスト1段階
    • 3.3 横ネスト2段階
    • 3.4 横ネスト3段階
    • 3.5 横ネスト4段階
  • 4 基本列の定義から見た横ネスト要素
  • 5 基数への対応

横ネストとはMrna den氏によって導入された概念であり、横ネストについてで解説が行われている。現在(2020~2021年)、ネスト・配列系表記の研究対象としてはメインストリームの1つであり、注目度の高い概念である。

解説のブログ記事を見てもらえれば分かるが、横ネストは広い対象に対して定義されており、私の専門とするdom型ネスト表記で横ネストを捉えるのは大変難しい。一方で私の最近の研究である程度の知見を得られたため、dom型ネスト表記から見た横ネスト要素とは何なのかを現在の私が持っている知識を元に書こうと思う。

横ネスト、dom型ネスト表記共に私が考えたものではなく、あくまで私が捉え直したものであるため、考案者の意図から外れている可能性が高い。したがって、私の解説は塩一つまみ程度に受け取って欲しい。無論ミスの指摘や質問があれば歓迎する。



まず、dom型ネスト表記とは何かについて固定しておこうと思う。dom型ネスト表記(あるいはdom型、dom型定義、dom型表記)はp進大好きbot氏が導入した用語で、dom型と対になる概念としてnorm型がある。表記系\(T\)がdom型であるとは、\(T\)における共終数を返す役割が期待された写像 \begin{eqnar…





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Kanrokoti Kanrokoti 8月14日 (土)
0

ハイパー原始ψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Hyper_Primitive_psi_Function


  • 1 概要
  • 2 ハイパー原始ψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 上昇関数
    • 2.3 共終数
    • 2.4 基本列
    • 2.5 急増加関数
    • 2.6 標準形
    • 2.7 命名

ハイパー原始ψ関数を定義します。拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元に、\(\psi\)の添字にハイパー原始数列を組み込んだ表記です。

ゆきと氏によるハイパー原始ψ関数対応期待表

類似研究: 亜原始ψ関数, TSS-ψ関数

Special thanks: p進さん大好きbot, ゆきと



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。


\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。


部分集合\(RT \subset T\)と\(RPT \subset PT\)を次のように同時に再帰的に定める…







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P進大好きbot P進大好きbot 8月13日 (金)
0

差別に関すること

日本語版discord(略としては不正確だが、以下このような略を行う)で、ゆきとさんが差別的発言をしたという疑いがかけられ、それによりゆきとさんがEryxさんに関する発言をしにくい状況となってしまい、結果的にゆきとさんが日本語版discordを去ることとなりました。この記事ではゆきとさんの発言が実際に差別的であったか否かと、ゆきとさんに向けられた批難が妥当であったか否かを検証します。

結論から言うと、ゆきとさんは差別的発言を行っていないと考えております。ゆきとさんがそういう疑いを掛けられてしまった背景には、英語版wikiでC7Xさんがゆきとさんを事実誤認によるレッテル貼りで差別的発言をしたと糾弾し、それに対し結果的にゆきとさんが誤ったという部分だけ独り歩きしてしまっている可能性があることを疑っております。たぶん日本のdiscordサーバーのユーザーがあまり把握していないだろう情報(例えばC7Xさんはそのレッテル貼りの後で事前確認が必要だったことを本人も認め確認し直していることなど)をきちんと整理すれば、みなさんもまた違った印象を持つかもしれませんので是非(もしゆきとさんがどのような事件に巻き込まれたのかを知らずに「ゆきとさんが差別的発言をしたに違いない」とか「ゆきとさんは私怨でdiscordのリソースを消費しようとしている」と思い込んでしまった方々は特に)読んでご一考くださると幸いです。

もちろん、僕自身に事実誤認や論理的不整合があるかもしれませんのでその際には遠慮なくご指摘ください。前提として、差別は許されません。本来は差別的発言として糾弾することが明らかなものをそうでないと僕が述べているならばそれは恥ずべきことですので、ご叱責も甘んじて受け入れますしそういった事実が確認出来…

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RightLefts RightLefts 8月11日 (水)
0

テスト

テーブル



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Mpy-hppf Mpy-hppf 8月9日 (月)
1

急増加関数の計算公式


一般化は難しそうです。

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P進大好きbot P進大好きbot 8月8日 (日)
0

フラン数最終形態・終観察日記

フラン数最終形態・終観察日記です。2021/08/08/11:20時点の定義を参照しています。定義は時々刻々と修正されていくので、他の時刻の版と混同しないようにご注意下さい。なお、終は削除されるという説もあります。

追記:終は削除されました。


フラン数最終形態・終の表記\(x\)に対応するだろう順序数\(O(x)\)の推測値を書きますが、証明はありません。




フラン数最終形態・終の表記\(x\)
順序数\(O(x)\)























フラン数最終形態・終の表記\(x\)
順序数\(O(x)\)






































































































































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Kanrokoti Kanrokoti 8月2日 (月)
0

TSS-ψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/TSS-%CF%88_Function


  • 1 概要
  • 2 TSS-ψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 上昇関数
    • 2.3 共終数
    • 2.4 基本列
    • 2.5 急増加関数
    • 2.6 限界関数
    • 2.7 標準形
    • 2.8 命名
  • 3 解析

TSS-ψ関数を定義します。拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元に、3行BM4(BM2.3)への対応を目指した表記です。

類似研究: BMOCF

Special thanks: p進さん大好きbot, Naruyoko, Koteitan



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b,c) \in T^3\)に対しても、\(\psi_a^b(c) \in PT \cap T\)である。


\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0^0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0^0($1)\)を\($\omega\)と略記する。


部分集合\(RT \subset T\)と\(RPT \subset PT\)を次のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in RT\)である…






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はやぶさ286 はやぶさ286 7月28日 (水)
1

庭師数

庭師数


  • 1 定義
  • 2 計算
    • 2.1 方法
    • 2.2
  • 3 数 

1個の基点と、0個以上の頂点からなり、ループがなく、全ての頂点が連結されているグラフを木、木の基点となる頂点を幹、幹以外の頂点を花、

幹と花,花と花をつなぐ辺を枝という。

枝を切るとは、

枝を下の条件の通りに1つ削除することをいう。

①1つ前に切った枝につながっていた頂点から1つ前に生えた枝がある場合

その枝を削除する。

②①以外で、1つ前に切った枝につながっていた頂点につながっている枝が1つだけの場合

その枝を削除する。

③①,②以外の場合

幹から枝と花を伝って1つ前に切った枝につながっていた頂点を通り、たどりつける枝の中で幹から一番遠い枝を削除する。

また、枝を切ったことにより幹から花や枝を伝ってたどりつけない花や枝も削除する。 


枝を生やすとは

各頂点で上下左右の4方向のうち1方向に枝がつき、その枝の先に花がつくことをいう。

ただし、各頂点で枝がある方向や、枝を切ったことがある方向には枝はつかない。


1.枝を切る。

2.枝を切ったことにより木が幹だけになったら計算を終了する。

それ以外ならすべての頂点から枝を生やし1.にもどる。

計算が終了するまでに枝を切った回数の最大値がその木の表す数となる。


(ツイッターにきれいな木がのっているのでそちらを見てください 東方巨大数4と調べるとたぶん出てきます)

○ ○ ○-○ ○-○-○-○

| | | |

●-○-○ → ●-○ → ●-○ → ○-●-○

| | |

○ ○ ○-○

●が幹、○が花、-や|が枝


  |

  ○

   |

○-○-●-○-○ 左の木の表す数が庭師数とする。 …







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Kanrokoti Kanrokoti 7月28日 (水)
0

2-シフト亜原始ψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/2-shifted_Subspecies_Primitive_psi_Function


  • 1 概要
  • 2 2-シフト亜原始ψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 コード関数
    • 2.5 上昇関数
    • 2.6 共終数
    • 2.7 基本列
    • 2.8 急増加関数
    • 2.9 限界関数
    • 2.10 標準形
    • 2.11 命名

2-シフト亜原始ψ関数を定義します。p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元に、亜原始ψ関数と2-シフトψ関数を融合させた表記です。融合させるにあたって、無限ループを回避するために2-シフトψ関数の共終数の3-3-2-1の\(a = c\)の条件を外しています。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。



\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。



ここでは、表記における大…









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P進大好きbot P進大好きbot 7月28日 (水)
1

四関数観察日記

四関数観察日記です。



解析の期待表を簡便にするために\(T\)と\(DT\)に対し略記を導入する。


略記前
略記後






























証明のアイデアは皆無だが、\((OT,

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Kanrokoti Kanrokoti 7月25日 (日)
1

くまめも

  • 1 概要
  • 2 定義
    • 2.1 基本関数
    • 2.2 命名

計算不可能系への挑戦。p進大好きbot氏の助言を元に作っていく。



\(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{N}^n\)を\(S\)と置く。



計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{Suc} \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & \textrm{Suc}(n) \end{eqnarray*} を\(\textrm{Suc}(n) := n+1\)と定める。


計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{Pre} \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & \textrm{Pre}(n) \end{eqnarray*} を以下のように定める:

  1. \(n = 0\)ならば、\(\textrm{Pre}(n) := 0\)である。
  2. そうでないならば、\(\textrm{Pre}(n) := n-1\)である。


計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{Read} \colon S \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ (seq,i) & \mapsto & \textrm{Read}(seq,i) \end{eqnarray*} を以下のように定める:

  1. \(seq = ()\)ならば、\(\textrm{Read}(seq,i) := 0\)である。
  2. \(seq = (s_m)_{m = 0}^{n-1}\)を満たす\(n \in \mathbb{N}\)と\((s_m)_{m…







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P進大好きbot P進大好きbot 7月23日 (金)
0

第4回東方巨大数投稿用

第4回東方巨大数投稿用の記事です。


  • 1 表記
  • 2 順序
  • 3 成分操作
  • 4 構成可能性
  • 5 標準形

文字\(\textbf{四}\)と\((\)と\(,\)と\()\)と\(+\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(DT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(T\)の定義
  1. \(() \in T\)である。
  2. いかなる\(x \in DT\)に対しても、\(\textbf{四}(x) \in T\)である。
  3. いかなる\((s,t) \in T^2\)に対しても、\(s \neq 0\)かつ\(t \neq 0\)ならば\(s + t \in T\)である。
\(DT\)の定義
  1. いかなる\((s,t) \in T^2\)に対しても、\(s,t \in DT\)である。
  2. いかなる\((x,y) \in DT^2\)に対しても、\((x),y \in DT\)である。

\((s,t) \in T^2\)に対し、\(\textbf{四}(s,t)\)を\(\textbf{四}_s(t)\)と略記する。\(() \in T\)を\(0\)と略記する。\(t \in T\)に対し、\(\textbf{四}_0(t)\)を\(\textbf{四}(t)\)と略記する。\(\textbf{四}(0)\)を\(1\)と略記する。

大雑把に説明すると、\(T\)において\(\textbf{四}\)は関数記号のような機能を持ち、\(DT\)の要素は\(\textbf{四}\)の超限変数のような機能を持つ。従来の超限変数の記法は\(2\)変数を表す際に通常の\(2\)変数の記法と両立しなくなるが、\(DT\)の記法は

  • 通常の\(2\)変数\((s_0,s_1) \in T^2\)を\(s_0,s_1 \in DT\)へ対応させる。
  • 通常…


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Hexirp Hexirp 7月21日 (水)
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(2021-07-21) 無限階梯

大昔、とある悪魔がダラムという男に語り掛けた。悪魔は、彼に試練を課した。ダラムは、それに打ち克ち「塵理論」を得た。そして、 17 人の創始者と共にエリュシオンという宇宙を作り上げた。しかし、世界観の衝突によりエリュシオンは崩壊し、私たちの先祖たちは新しい宇宙へ逃げ込んだ。三人の創始者——ダラムとマリアとリーマン——を残して。それから、新しい宇宙の創造と移住が何度か繰り返された。記録によれば宇宙は無数に枝分かれしているはずである——互いに干渉することは永遠にないが。

私たちが住む今の宇宙は無限時間チューリングマシンをベースにして構成されている。大昔のダラムはセル・オートマトンが宇宙を構築する最も自然な手段だと考えていた——しかし、それ自体が始点世界の残渣にほかならず——私たちは捨て去ったのであった。

今は \( { \omega } ^ { \omega + 1 } + { \omega } \) 期 10393 年である——「期」はステップ数において有限部分を切り捨てたものであり、無限列を宇宙が走り抜けた回数を示していて——極限を乗り越えることは色々なものを波濤が押し流すことに例えられよう——その時は、いつも私は眠りに就く。

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Nayuta Ito Nayuta Ito 7月19日 (月)
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バシク行列公理

注意: この記事は大きい数を作ることを目的としていません。


  • 1 目標
  • 2 用語の定義
  • 3 公理
  • 4 有限性
  • 5 用語

BMSを可算個にまで抑え、その全てを比較することにより唯一にして最強のBMSを決める。

具体的に有限個のパラメータを定めることでBMSを特定することを目標としているので、ユーザーブログ:P進大好きbot/行列システムの限界数によってこの記事が完全に意味をなさなくなったわけではない。


  1. \( 0 \)以上の整数を自然数と呼び、その全体を\( \mathbb{N} \)で表す。
  2. 自然数を\( 0 \)個以上並べたものをベクトルと呼び、その全体を\( \mathbb{V} \)で表す。
    • ベクトルは、\( (), (0), (1,2,4,7,3) \)のように自然数をコンマ区切りで横に並べて括弧で括ることによって表される。
    1. ベクトル\( v \)に含まれる自然数の個数をそのベクトルの行数という。
    2. ベクトル\( v \)に含まれる自然数を左から順に\( 0 \)行目、\( 1 \)行目、・・・のように表し、数式では\( v_0 \)、\( v_1 \)、・・・のように表す。
      • 横並びだが行と数えるのは意図的である。
      • たとえば、ベクトル\( a = (2,4,3) \)の\( 1 \)行目は\( 4 \)であり、数式では\( a_1 = 4 \)と表される。
  3. ベクトルを\( 0 \)個以上並べたものを行列と呼び、その全体を\( \mathbb{M} \)で表す。
    • 行列は、\( , (0)(1)(2)(1), (0)(1,1,1)(2,2) \)のようにベクトルを並べることで表される。最初の例はベクトル\( 0 \)個からなる行列である。必要がある場合は\( \mathrm{empty}\ \mathrm{matri…



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Mpy-hppf Mpy-hppf 7月19日 (月)
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考え

a,nは0以上の整数

eは何か

Xは0個以上の何か

e#nはn個のe


[](n)=n

[X,0](n)=[X](n+1)

[X,e](n)=[X,en](n+1)

(a+1)n=a#n

[]n=n#n

[X,e]n=[X,en]#n


大きなミスがあり、予想外に小さくなってしまったので、現在新しいものを作っています

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P進大好きbot P進大好きbot 7月19日 (月)
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Googology Wikiにおけるハラスメントについて

追記:皆さんの助けもあり、無事解決しました。ありがとうございます!

今回はとあるハラスメント騒動がGoogology Wikiで起こり、ハラスメント被害者である僕がハラスメント加害者からアドミンへの要求で一方的にブロックされたため向こうで状況を説明することすら出来ず、さらに証拠隠滅が行われたため、向こうのユーザーたちが今回の事件についていくつか勘違いしているという状況です。このブログでは実際に起きた出来事を、ソースへのリンク付きで解説をします。

本来ならソースへのリンクに加えリンク先に書かれている内容を正確に引用する方が読者に分かりやすいのですが、今回のブロック理由の1つが何と「正確な引用」そのものであるので、これ以上状況を複雑にしないためにも単なるリンクに留めます。



  • 1 背景
  • 2 ハラスメント
  • 3 ブロック要求
  • 4 情報共有の阻害

Emkさんのブログへのコメント欄において、Plain'N'Simple(PsiCubed2)さんが数学的に誤った持論を数多く展開していました。スレッドを見れば分かるように、僕はそれに対し丹念に誤りを指摘し、正しい主張を説明し続けました。それはなんとおよそ1年も続きました。

このように数学的な誤りが積み重なる要因としては、まず2つが自然と推測されます:

  1. Plain'N'Simpleさんが、適切な教科書などで勉強したことのない話題について不十分な知識で語っている場合。
  2. Plain'N'Simpleさんが、数学の議論をしているのではなく哲学などの議論をしている場合。

Plain'N'Simpleさんは数学が得意であることで界隈では有名ですし、Plain'N'Simpleさん自身が途中からこの話題について勉強したと明言していました。そのため、僕は1はないだろうと見当をつけ、何度も何…




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Naruyoko Naruyoko 7月18日 (日)
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BMSから0-Y数列への具体的な変換アルゴリズム

バシク行列システムと「stairstep method」のアイデアを元に、BMSを1行の数列に変換するアルゴリズムを考案した。更に、彼は変換された数列の全ての要素に1を足すと0-Y数列になることも発見した。その後、彼はこのBMSから0-Y数列への変換アルゴリズムのアイデアをDiscordコミュニティ「グーゴロジストの社交場」で公開した。この変換アルゴリズムの具体的な定式化はNaruyokoとKoteitan氏によって行われ、両者による検証の後にKanrokoti氏はNaruyokoの定式化を採用した。

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Merliborn Merliborn 7月18日 (日)
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よい基本列の考察(Buchholz, Cichon, Weiermannによる)

Buchholz、Cichon、Weiermannの論文「A Uniform Approach to Fundamental Sequences and Hierarchies。 |}

証明.\(0

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Banana-Foolish Banana-Foolish 7月15日 (木)
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公衆トイレ

  • 1 テストするところ
  • 2 拡張ヴェブレン関数(仮)
    • 2.1 レベル1のヴェブレン関数

\(\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\omicron\pi\Pi\rho\sigma\Sigma\tau\upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\)


超限変数ヴェブレン関数は

  • \(\begin{pmatrix}\gamma\\0\end{pmatrix}=\omega^\gamma\)
  • \(\begin{pmatrix}0 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}\)
  • \(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha_1 & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}\)=\(\alpha'
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Kanrokoti Kanrokoti 7月13日 (火)
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亜原始ψ関数からBMSへの変換写像

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/Translation_maps_SPrSS_psi_to_BMS


  • 1 概要
  • 2 変換写像
    • 2.1 \((0,0)(1,1)\)未満まで
    • 2.2 \((0,0,0)(1,1,1)\)未満まで

亜原始ψ関数をBM4(と等価なアルゴリズムであると言われているBM2.3)に変換する写像を定めます。

証明は難しそうなので読者への演習とします。私の期待は、変換写像が基本列同型となることです。

基本列同型の定義については、変換写像による解析を参照してください。



亜原始ψ関数の部分表記系\(T_0 \subset T\)と\(PT_0 \subset PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T_0\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT_0 \times (T_0 \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T_0\)である。
  3. いかなる\(a \in T_0\)に対しても、\(\psi_0(a) \in PT_0\)である。

バシク行列システムを1行に制限した表記系を\(B_1\)とする。\(\frown\)を行列の連結演算子とする。任意の項\(s \in T_0\)が、\(\textrm{Trans}(s,0)\)によって1行バシク行列に変換されることを目指す。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{Trans} \colon T_0 \times \mathbb{N} & \to & B_1 \\ (s,t) & \mapsto & \textrm{Trans}(s,t) \end{eqnarray*} を以下のように…





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ポトフ ポトフ 7月12日 (月)
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グラハム数の上界と下界

グラハム数について, ふぃっしゅ氏によって\(f_{\omega+1}(64)\)という上界が証明されましたが, 僅かながらよりよい上界を得ていたので, これを機に下界と合わせて記事にします.

グラハム数\(G\)について, 以下の関係が成り立ちます.

\[ f_{\omega+1}(63) < f_{\omega}^{64}(4) < G < f_{\omega}^{64}(5) < f_{\omega+1}(64). \]


以下の議論では, \(f_{\alpha}(n)\)を急増加関数とし, \(g(n) = 3 \uparrow^n 3\)とする.

グラハム数の定義より, \(G = g^{64}(4)\) である.



  • 1 上界 
    • 1.1 f_3(n)の下界
    • 1.2 f_4(n)の下界
    • 1.3 f_m(n)の下界
    • 1.4 f_ω^l(n)+1 < f_ω^l(n+1)


まず, \[ f_3(2) = 2048 > 54 = 2\cdot 3\uparrow\uparrow 2 \] が成り立つ.

次に, \(k\geq 2\)において. \[ f_3(k) > 2\cdot 3\uparrow\uparrow k \] が成り立つとすると, \[ \begin{eqnarray*} f_3(k+1) &=& f_2(f_2^k(k+1)) \\ &>& f_2(f_2^k(k)) = f_2(f_3(k)) = f_3(k) \cdot 2^{f_3(k)} \\ &\geq& 2 \cdot 2^{2\cdot 3\uparrow\uparrow k} = 2 \cdot 4^{3\uparrow\uparrow k} \\ &>& 2 \cdot 3^{3\uparrow\uparrow k} …





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Kanrokoti Kanrokoti 7月10日 (土)
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2-シフトψ関数

英語版 https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Kanrokoti/2-shifted_psi_Function


  • 1 概要
  • 2 2-シフトψ関数
    • 2.1 表記
    • 2.2 略記
    • 2.3 順序
    • 2.4 共終数
    • 2.5 基本列
    • 2.6 急増加関数
    • 2.7 限界関数
    • 2.8 標準形
    • 2.9 命名

2-シフトψ関数を定義します。p進大好きbot氏の拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を拡張した表記です。



ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

\(0\)と\(+\)と\(\psi\)と\((\)と\()\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように同時に再帰的に定める:

  1. \(0 \in T\)である。
  2. いかなる\((a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})\)に対しても、\(a+b \in T\)である。
  3. いかなる\((a,b) \in T^2\)に対しても、\(\psi_a(b) \in PT \cap T\)である。



\(0\)を\($0\)と略記し、\(\psi_0(0)\)を\($1\)と略記し、\(n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})\)に対し\(\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}\)を\($n\)と略記し、\(\psi_0($1)\)を\($\omega\)と略記する。



ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

\(T\)上の\(2\)項関係\(s \le t\)と\(s \lt t\)を以下のように同時に再帰的に定める:

\(s \le t\)の定義
  1. \(s = t\)ならば、\(s \le t\)は真である。
  2. \(s \neq t\)なら…








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Kyodaisuu Kyodaisuu 7月4日 (日)
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仏語版

フランス語版のアドミンになりました。いろいろといじっています。 日本語でのコメントはこちらで受け付けます。

もちろん、あちらでのフランス語でのコメントも歓迎です。今は自動翻訳が優秀なので、私でもテキストならば仏語会話ができます。

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Rpakr Rpakr 7月1日 (木)
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UNOCF の定義を試みる (3)

UNOCF の定義を試みる (1)

UNOCF の定義を試みる (2)

UNOCF の定義を試みる (3)

今回は、ブーフホルツのψ関数 で \(\psi_0(\Omega_\omega)\) に対応すると期待されている ψ_Ω_1(ψ_Ω_n(0)) (n は正の整数) までを定義します。


以下、_ は添字を表します。波括弧は添字の範囲を明確にするためのみに使われ、削除しても構いません。

同じ関数/集合内で規則はより上にあるものを優先して適用します。

  1. 文字列の集合 En を以下のように定義する。
    1. 0 は En の要素である。
    2. n が正の整数で文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω_n(a) は En の要素である。
    3. 0 でない文字列 a, b がともに En の要素ならば、文字列 a+b も En の要素である。
    4. 上記 1.~3. のいずれにも該当しない文字列は En の要素でない。
  2. En の部分集合 C を以下のように定義する。
    1. 0 は C の要素である。
    2. 文字列 a が En の要素ならば、文字列 ψ_Ω_1(a) は C の要素である。
    3. 0 でない文字列 a, b がともに C の要素ならば、文字列 a+b も C の要素である。
    4. 上記 1.〜3. のいずれにも該当しない文字列は C の要素でない。
  3. C の部分集合 L, S を以下のように定義する。a を C の要素とする。
    1. a=0 ならば、a は L の要素でも S の要素でもない。
    2. a が正の整数 n と En の要素 b を用いて a=ψ_Ω_1(b) と表されるならば、
      1. b=0 ならば、a は S の要素であり L の要素ではない。
      2. そうでないならば、a は L の要素であり S の要素ではない。
    3. どちらでもないならば、a は C の要…

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