フラン数第四形態改三は巨大数大好きbotが2018年3月22日に考案した東方巨大数である[1]。第2回東方巨大数に投稿された。近似値は\(f_{\varepsilon_4^{\varepsilon_4^{\varepsilon_4}}}(5)\)。

名称は東方Projectのフランドール・スカーレット[2](略称フラン)に由来する。

定義

  • X, X' は任意の文字列
  • Y は 0 個以上の ]
  • n, A は自然数

適用できるルールが存在しないときは、その数は未定義とする。ただし、X' は以下のそれぞれの式で示された [] が対応しているようにとる。

  1. o n = n
  2. X-o n = X (n+1)
  3. X[]Y n = XY n
  4. X[X'-o]Y n = X[X']-o[X']-o ... -o[X']Yn ([X'] は n+1個)
  5. X[X'<0>o]Y n = X[X'-o[-o[...[-o]]]]Y n (-o は n個)
  6. X[X'<A>o]Y n = X[X'<A-1>o[<A-1>o[...[<A-1>o]]]]Y n (<A-1>はn個)

フラン数第四形態改三 = o-o[<5>o]5

近似

  • o-o n = n+1
  • o-o-o n = n+2
  • o[-o]3 = o-o-o-o-o 3 = 7
  • o[-o]n = 2n + 1
  • o[-o-o]n = o[-o]-o[-o]-o...-o n ≈ 2^n
  • o[-o-o-o]n = o[-o-o]-o[-o-o]-o...-o n ≈ 2↑↑n
  • o[-o-o...-o]n = \( f_m(n+1)-2 \) (-oはm個) [3]
  • o[-o[-o]]n = o[-o-o-o ... -o] n \(\approx f_\omega(n)\)
  • o[-o[-o]]-o n \(\approx f_\omega(n+1)\)
  • o[-o[-o]]-o[-o]n \(\approx f_\omega(2n)\)
  • o[-o[-o]]-o[-o-o]n \(\approx f_\omega(2^n)\)
  • o[-o[-o]]-o[-o[-o]]n \(\approx f_\omega^2(n)\)
  • o[-o[-o]-o]2 = o[-o[-o]]-o[-o[-o]]2 \(\approx f_{\omega+1}(2)\)
  • o[-o[-o]-o]n \(\approx f_{\omega+1}(n)\)
  • o[-o[-o]-o-o]n \(\approx f_{\omega+2}(n)\)
  • o[-o[-o]-o-o-o]n \(\approx f_{\omega+3}(n)\)
  • o[-o[-o][-o]]n = o[-o[-o]-o-o ... -o]n \(\approx f_{\omega 2}(n)\)
  • o[-o[-o][-o][-o]]n \(\approx f_{\omega 3}(n)\)
  • o[-o[-o-o]]n = o[-o[-o]-o[-o] ... -o[-o]]n \(\approx f_{\omega^2}(n)\)
  • o[-o[-o-o-o][-o-o][-o][-o]-o]n \(\approx f_{\omega^3 + \omega^2 + \omega 2 + 1}(n)\)
  • o[-o[-o[-o]]]n = o[-o[-o-o ... -o]]n \(\approx f_{\omega^\omega}(n)\)
  • o[-o[-o[-o]]]n \(\approx f_{\omega^\omega}(n)\)
  • o[-o[-o[-o]]-o]n \(\approx f_{\omega^\omega+1}(n)\)
  • o[-o[-o[-o]-o]]n \(\approx f_{\omega^{\omega+1}}(n)\)
  • o[-o[-o[-o-o]]]n \(\approx f_{\omega^{\omega^2}}(n)\)
  • o[-o[-o-[-o[-o]]]]n \(\approx f_{\omega^{\omega^\omega}}(n)\)
  • o[-o[-o-[-o[-o[-o]]]]]n \(\approx f_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(n)\)
  • o[<0>o]n = o[-o[-o[...[-o]]]]n \(\approx f_{\varepsilon_0}(n)\)
  • o[<0>o-o]n \(\approx f_{\varepsilon_0+1}(n)\)
  • o[<0>o-<0>o]n \(\approx f_{\varepsilon_0 2}(n)\)
  • o[<0>o[-o]]n = o[<0>o-<0>o-<0>o ... -<0>o]n \(\approx f_{\varepsilon_0 \omega}(n)\)
  • o[<0>o[-o[-o]]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 \omega ^\omega}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^2}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o][<0>o]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^3}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o-o]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^\omega}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o-o[-o]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^{\omega^\omega}}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o[<0>o]]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0}}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o[<0>o]][<0>o]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0+1}}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o[<0>o][<0>o]]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0 2}}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o[<0>o[<0>o]]]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0^2}}(n)\)
  • o[<0>o[<0>o[<0>o[<0>o[<0>o]]]]]n \(\approx f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}(n)\)
  • o[<1>o]n = o[<0>o[<0>o ... [<0>o]]]n \(\approx f_{\varepsilon_1}(n)\)
  • o[<2>o]n \(\approx f_{\varepsilon_2}(n)\)
  • o[<3>o]n \(\approx f_{\varepsilon_3}(n)\)
  • o[<4>o]n \(\approx f_{\varepsilon_4}(n)\)
  • o[<5>o]5 = o[<4>o[<4>o[<4>o[<4>o[<4>o]]]]]5 \(\approx f_{\varepsilon_4 ^{\varepsilon_4^{\varepsilon_4}}}(5)\)

トリビア

定義4.の右辺から"-o"を取り除いてX[X'-o]Y n = X[X'][X'] ... [X']Yn ([X'] は n+1個)に変えたときにo-o[<5>o]5によって定義される数は、「フラン数第四形態改二」として知られている[4]。フラン数第四形態改二は、6に等しい[5]

関連項目

出典

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