巨大数研究 Wiki
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ビッグフット (BIG FOOT) は、Wojowu (LittlePeng9) が定義して Sbiis Saibian が名付けた[1][2]巨大数である。その定義の方法はラヨ数とほぼ同じである。ラヨ数は一階述語論理議論領域であるフォン・ノイマン宇宙全体を対角化する巨大数であり、ビッグフットは、一階述語論理を拡張した一階ウードル論理 (first-order oodle theory; FOOT) という言語を用いたウードルバース (oodleverse) という独自の議論領域を用いて定義をする。FOOT によって n 文字以内で一意に定義出来る最大の自然数を \(\text{FOOT}(n)\) として、 \(\text{FOOT}^a(n)\) をその a 回の繰り返し (再帰) としたとき、ビッグフットを \(\text{FOOT}^{10}(10^{100})\) と定義された。ただし、現在は定義に問題が見つかっており、これは単一の数を表せているわけではない。

名前の由来

Wojowu が名付けた FOOT を元に、未確認動物のビッグフット (bigfoot) になぞらえて Sbiis Saibian が提案した名称が採用された。

FOOT の定義

一階ウードル論理の言語は集合論に"["と"]"という記号を付け加えた形で定義される。 その議論領域はウードルで構成される。そしてそれは集合論の真理値の Tarskian 定義[3]の対象となっている。 一階ウードル論理では、 \(\in\) について推移的なウードルを oodinals[4] と呼ぶ。そして、 それらの中で順序関係として ∈ を考える (「大きい」 oodinals や「小さい」 oodinals について言及できるようにするため) 。

定義の不完全さ

ビッグフットの定義における主な問題は、外延性の公理と冪集合公理以外にどのような公理系を使っているかについて正確な説明がないことである。計算不可能な巨大数を定義するためには、どのような公理系で定義するのかを固定する必要があるが、Wojowuはウードルは「自然な」性質であるとみなされる全ての性質を満足するとだけしか説明していない。数学では、伝統的にZFC集合論を使うときにのみ公理系の記載を省略する。一方で、FOOTの定義ではZFC集合論の公理系からは従わないoodinalの存在を使っているため、Wojowuがより強い公理系を仮定していると推測するのが合理的である。

不幸なことに、そのような集合論は矛盾する。すなわち、ZFCを拡張するいかなる集合論Tについても、もしFOOTがTでwell-definedであれば、Tは矛盾する。次の証明は、p進大好きbotによって投稿されたものである[5]

Suppose that \(\alpha_0\) is formalised in \(T\) by a defining formula \(\varphi(\alpha)\) with a free occurence of a variable term \(\alpha\). Then the existence of \(\alpha_0\) satisfying \(\varphi(\alpha_0)\) ensures that the existence of \(\beta < \alpha_0\) satisfying \(\varphi(\beta)\) by the definition of \(\alpha_0\). By the minimality of \(\alpha_0\), it implies \(\alpha_0 = \beta < \alpha_0\), which contradicts the well-foundedness of \(\alpha_0\).

Even if we ignore the problem above, we have another problem. Wojowu required that for any formula \(\varphi(\alpha)\) with a free occurence of a variable term \(\alpha\), for any \(A \in V_{\textrm{Ord}}\), then \(\varphi(A)\) is true in \(V\) if and only if it is in \(V_{\textrm{Ord}}\). It implies that for any closed formula \(\varphi\), \(V_{\textrm{Ord}} \models \varphi\) is equivalent to \(\varphi\). Let \(\varphi\) denote the existence of \((\alpha_n)_{n < \omega}\), which is true under \(T\) by the assumption. Then \(V_{\textrm{Ord}}\) satisfies \(\varphi\), and hence \((\alpha_n^{V_{\textrm{Ord}}})_{n < \omega}\) is well-defined. On the other hand, \(\alpha_0^{V_{\textrm{Ord}}}\) satisfies the same property as \(\alpha_0\). Indeed, for any parameter-free formula \(\phi\), \(\phi^{V_{\textrm{Ord}}}\) is equivalent to \(\phi\) under \(T\). Since many formulae, e.g. \(\beta \in \alpha\), "\(\alpha\) is oodle", "\(n\) is the Goedel number of a formula", and so on, is absolute with respect to the inclusion \(V_{\textrm{Ord}} \hookrightarrow V\), it implies \(\alpha_n^{V_{\textrm{Ord}}} = \alpha_n\) for any \(n < \omega\). We obtain \(\textrm{Ord}^{V_{\textrm{Ord}}} = \textrm{Ord}\), which contradicts the smallness of \(\textrm{Ord}\).

結論として、FOOTとビッグフットは ill-defined である。

出典

  1. Wojowu and Nathan Ho. First-order oodle theorysnappizz.com  Retrieved 2014-11-11.
  2. en:User_blog:LittlePeng9/First order oodle theory
  3. タルスキによる真理値の帰納的な定義のことか?
  4. ordinalsの間違いか、それに掛けた言葉遊びの可能性あり。
  5. p進大好きbot のオリジナルな記述はこのブログ記事のコメントを参照
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