"バッハマン・ハワード順序数" (Bachmann–Howard ordinal)は、ブーフホルツのψ関数では \(\psi_0(\varepsilon_{\Omega+1}) = \psi_0(\Omega_2)\) と表され、イェーガー・ブーフホルツのψ関数では \(\psi_{\Omega_1}(\varepsilon_{\Omega_1+1})\) と表される。ここで、\(\Omega = \Omega_1\) は最小の非可算順序数であり、\(\varepsilon_{\Omega+1}\) は \(\Omega = \varepsilon_\Omega\) の次のイプシロン数(\(\alpha=\omega^\alpha\) を満たす順序数)で、

\[\Omega, \Omega^{\Omega}, \Omega^{\Omega^{\Omega}}, ...\]

の極限に等しい。

歴史

バッハマン[1]で考えられ、ハワード[2]で初めて証明論に用いられたということに名前は由来している。しかし歴史的には竹内外史[3][4]順序数図形 (ordinal diagram) 、 \( \langle O(2,1),<_0\rangle\) の方が証明論で先に用いられていて[5]、これはバッハマン・ハワード順序数を順序型として持つ。

性質

ブーフホルツのψ関数に関する標準的な基本列系に関して急増加階層での例を挙げる。

バードの配列表記の早いバージョンで表せる数は \(\psi_0(\Omega_2)\) までであった。

参考文献

  1. H. Bachmann. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgezeichneten Folgen von Ordnungszahlen, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich, 95: 115–147. 1950.
  2. W.A. Howard. A system of abstract constructive ordinals. Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 37 (2): 355–374, 1972
  3. Ordinal diagrams, ibid., 9(1957), 386-394.
  4. On the fundamental conjecture of GLC, V. ibid., 10 (1958), 121-134.
  5. 新井敏康. 竹内の基本予想について. 数学 40.4 (1988): 322-337.
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