ハイパーE表記

ハイパーE表記
基本関数	冪乗
急増加関数	\(f_{\omega}(n)\)

ハイパーE表記 (Hyper-E Notation) は、E#とも省略され、 Sbiis Saibian が考案した巨大数を表記する方法である。彼のウェブ書籍 "One to Infinity: A Finite Journey" で2011年の11月にはじめて紹介され、拡張ハイパーE表記（xE#）へとさらに一般化された。ハイパーE表記は Sbiis Saibian が子供の時に開発した 多角形分割表記の改良版である。

E# と xE# は、さらに大きい表記法である拡張型Eシステムの一部で、連鎖E表記へと発展する。

元の定義

元々の（拡張されていない）ハイパーE表記は、1つ以上の正の整数の数列 a_n の引数をハイペリオン記号 # で区切ったものである。これを E(b)a₁#a₂#...#a_n と表記し. b を基数と呼ぶ。基数が省略されたときは10がデフォルトであり、よく省略される。

以下の3つの規則がある。

• Rule 1. ハイペリオンがないとき

  \(E(b)x = b^x\).

• Rule 2. 最後の数字が1の時

  \(E(b){a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_n}\#1 = E(b){a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_n}\).

• Rule 3. それ以外

  \(E(b){a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n} =\)

  \(= E(b){a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_{n-2}}\#(E(b){a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n-1})\)

言葉で説明すると:

1. もし引数が xのみなら, その値は b^xとなる。
2. もし最後のエントリが1ならば, それは削除できる。.
3. Otherwise...
   1. 最後のエントリから1を引いた数を保存する。 その値を zとする。
   2. 最後の2つのエントリを削除する。
   3. z をエントリの最後に追加する。

ハイパーE表記の例

• Ea = Ea#1 = 10^a
• E100 = E100#1 = 10¹⁰⁰ = グーゴル (a = 100 on above equation)
• Ea#b = EEE...Ea w/b E's = 10^10...10a (b個の10)
• E(3)a#b = 3^3...3a (b個の3's)
• E(m)a#b = m^m...ma b個のm's
• E100#100 = グランゴル
• Ea#b#c = Ea#(Ea#(Ea#(Ea#(...(Ea#b)...)) (c個のEa)
• E100#100#100 = グレーゴル
• Ea#b#c#d = Ea#b#(Ea#b#(Ea#b#(Ea#b#(...(Ea#b#c)...)) (d個のEa)

拡張された定義

拡張ハイパーE表記
基本関数	ハイペリオン記号
急増加関数	\(f_{\omega^{\omega}}(n)\)

拡張ハイパーE表記 (Extended Hyper-E Notation) は、ハイパーE表記の拡張で、数字と数字の間に複数のハイペリオン記号を書くことができる。a_n の後に続くハイペリオンの数を h(n) と書く。つまり、 #ⁿ は n の連続するハイぺリオンを簡単に表したものである。 その正式な表記は E(b)a₁#^h(1)a₂#^h(2)...#^{h(n - 1)}a_n#^h(n) である。Bowersが#で列の残りを指示したように、Saibianは@を用いた。

オリジナルと拡張された表記の違いは、拡張ハイパーE表記は2個以上の連続した#が許されるという事である。

• Rule 1. もしハイぺリオンがなければ:

  \(E(b)x = b^x\)

• Rule 2. もし最後のエントリが1ならば:

  \(E(b) @ \#^{h(n-1)}{a_n}\#^{h(n)}1 = E(b) @ \#^{h(n-1)}{a_n}\).

• Rule 3. もし\(h(n-1)>1\)ならば:

  \(E(b) @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)}{a_n} = E(b) @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)-1}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)}{a_n-1}\)

• Rule 4. それ以外ならば:

  \(E(b) @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#{a_n} = E(b) @ \#^{h(n-2)}(E(b) @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#{a_n-1})\) (note \(\#^1\) = \(\#\))

これらは配列表記の規則と似ている。 言葉で表すと:

1. もし引数がxのみならば, その値はb^xである。
2. もし最後のエントリが1なら、それは削除できる。
3. h を最後のハイぺリオンの長さとする。 もし h > 1なら:
   1. 最後のエントリを消したものをrとする。
   2. もう1度最後のエントリを消し、それをzとする。
   3. zをr回h - 1個のハイペリオンで繰り返す。 これを式の最後に加える。
4. そうでなければ、普通の表記の3.を実行する。

拡張ハイパーE表記の例

• a##b = a#a#a#...a#a (b個のa#)
• a###b = a##a##...a##a##a (b個のa##)
• a####b = a###a###...a###a###a (b個のa###)
• etc.
• a#^bc = a###...##c (b個の#)

他の表記との比較

ハイパーE表記は矢印表記との間に次のような関係がある。

$a \uparrow^{c}b = E(a)\underbrace{1\#1\#...1\#}_{(1\#) \times (c-1)}b$

ここで、a, b, c は正の整数である。たとえば、

• a↑b = E(a)b
• a↑↑b = E(a)1#b
• a↑↑↑b = E(a)1#1#b
• a↑↑↑↑b = E(a)1#1#1#b

例

• E(10)6 = E6 = E6#1 = 10⁶
• E(10)100 = E100 = E100#1 = 10¹⁰⁰ = グーゴル

  これはRule 1の例である。基数のデフォルトは10であるため、このようになる。

• E100#2 = E(E100#1) = E10¹⁰⁰ = 10¹⁰¹⁰⁰ = グーゴルプレックス
• E100#3 = E(E100#2) = E10¹⁰¹⁰⁰ = 10^1010100 = グーゴルプレックスプレックス

  これはRule 3,4の例。2つ目の例ではこのように省くこともできる: E(E100#1) = EE100#1.

• E303#1 = E303 = eceton = センティリオン = 10³⁰³
• E303#2 = ecetonplex = EE303 = 10¹⁰³⁰³
• E303#3 = EEE303 = 10^1010303 = エセトンデュプレックス
• E1#100 = EEE...EEE1 (100 E's) = ギゴル

  ルール3を繰り返し適用する: E1#100 = EE1#99 = EEE1#98 = ...

• E100#100 = EEE...EEE100 (100 E's) = グランゴル

  これは E1#100 と同じだが、最初の数が違う。

• E100#101 = EEE...EEE100 (101 E's) = グランゴルプレックス

  E100#101 = EE100#100 = 10^:grangol となるために、この名前となる。

• E100#100#2 = E100#(E100#100) = EEE...EEE100 (グランゴル個のE) = グランゴルデックス

  ついに三変数まで達する。

• E100#100#3 = E100#(E100#100#2) = E100#(E100#(E100#100)) = EEE...EEE100 (グランゴルデックス個のE) = グランゴルデュデックス

  3番目の変数を大きくすればするほど、ネスト数は深くなっていく。

• E100#100#100#100 = E100#100#(E100#100#100#99) = E100#100#(E100#100#(E100#100#100#98)) = ... ギガンゴル

  変数が4つでもほとんど同じである。 &mdash同様にネストの数は深くなっていく。 これはE100##4とも書き、次のレベルの表記法の始まりである。

• E100##100 = E100#100#100#...#100#100#100 (100個の100) = ギュゴルド

  ついに拡張ハイパーE表記に到達した。二つの記号の連続は、一つ下の記号の繰り返しを表す。

• E100##100#100 = グラータゴルド

  個の表記はルール4を繰り返し用いることによりEa##bの形で表すことが出来る。

• E100##100##100 = E100##100#100#...#100#100 (100個の100) = ギュゴルスラ

  二つ目の##が展開されきって100のみになるまで、一つ目は無視する。

• E100###100 = E100##100##...##100##100 (100個の100)= スルーゴル

  三つのハイペリオンは二つの物の繰り返しを表す。ハイペリオンは右から左は計算される。

• E100####100 = E100###100###...###100###100 (100個の100) = テトルーゴル

  四つは三つに展開される。

• ゴドガグラ = E100#####...#####100 (100個の#)=E100#¹⁰⁰100

  E100#(¹⁰⁰100)ではない。

疑似コード

function Eb(a1, a2, ..., an - 1, an):

    if n = 1:
        return ba1

    if an = 1:
        return Eb(a1, a2, ..., an - 1)

    z := Eb(a1, a2, ..., an - 1, an - 1)

    return Eb(a1, a2, ..., an - 2, z)
 
function xEb(a1, a2, ..., an - 1, an;
             h1, h2, ..., hn - 2, hn - 1):

    if n = 1:
        return ba1

    if an = 1:
        return xEb(a1, a2, ..., an - 1;
                   h1, h2, ..., hn - 2)

    if hn - 1 > 1:
        r := an
        z := an - 1
        zseq := z, z, ..., z, z (r times)
        h := ah - 1
        hseq := h, h, ..., h, h (r - 1 times)
        return xEb(a1, a2, ..., an - 2, zseq;
                   h1, h2, ..., hn - 2, hseq)

    z := xEb(a1, a2, ..., an - 1;
             h1, h2, ..., hn - 2, hn - 1)
    return xEb(a1, a2, ..., an - 2, z;
               h1, h2, ..., hn - 2)

関連項目

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