ハイパー原始ψ関数

ハイパー原始ψ関数^[1]は Kanrokoti^[2] が2021年8月14日に公開した巨大数表記である。

ハイパー原始ψ関数は拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記の添字にハイパー原始数列を組み込んだ表記である。ネスト表記と数列表記を組み合わせた数少ない表記の一つであり、添字上昇システムを持つ数少ない表記の一つである。ハイパー原始ψ関数はその構成より、$\psi_0(\psi_{$n}(0))$がバシク行列システム$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3) \dots (n,n,n)$に対応すると考えられている。

概要

ハイパー原始ψ関数を定義します。拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を元に、$\psi$の添字にハイパー原始数列を組み込んだ表記です。

ゆきと氏によるハイパー原始ψ関数対応期待表

類似研究: 亜原始ψ関数, TSS-ψ関数

Special thanks: p進さん大好きbot, ゆきと

ハイパー原始ψ関数

表記

ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

$0$と$+$と$\psi$と$($と$)$のみからなる文字列の集合$T$と$PT$を以下のように同時に再帰的に定める:

$0 \in T$である。
いかなる$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$に対しても、$a+b \in T$である。
いかなる$(a,b) \in T^2$に対しても、$\psi_a(b) \in PT \cap T$である。

$0$を$$0$と略記し、$\psi_0(0)$を$$1$と略記し、$n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})$に対し$\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}$を$$n$と略記し、$\psi_0($1)$を$$\omega$と略記する。

部分集合$RT \subset T$と$RPT \subset PT$を次のように同時に再帰的に定める:

$0 \in RT$である。
いかなる$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$に対しても、$a+b \in RT$である。
いかなる$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$に対しても、$\psi_{$a}(b) \in RPT \cap RT$である。

上昇関数

ここでは、上昇関数を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \Delta \colon RT \times (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times \mathbb{N} \times \{0,1\} & \to & RT \\ (s,\delta,br,pr) & \mapsto & \Delta(s,\delta,br,pr) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\Delta(s,\delta,br,pr) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\Delta(s,\delta,br,pr) := \Delta(a,\delta,br,pr)+\Delta(b,\delta,br,pr)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $br \lt a$ならば、$\Delta(s,\delta,br,pr) := \psi_{$a+$\delta}(\Delta(b,\delta,br,pr))$である。
2. $br \ge a$とする。
  1. $pr = 0$ならば、$\Delta(s,\delta,br,pr) := \psi_{$a+$\delta}(\Delta(b,\delta,br,1))$である。
  2. そうでないならば、$\Delta(s,\delta,br,pr) := \psi_{$a}(b)$である。

共終数

ここでは、表記における共終数を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{cp} \colon RT & \to & RT \\ s & \mapsto & \textrm{cp}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{cp}(s) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{cp}(s) := \textrm{cp}(b)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $\textrm{cp}(b) = 0$ならば、$\textrm{cp}(s) := s$である。
2. $\textrm{cp}(b) \in \{$1,$\omega\}$ならば、$\textrm{cp}(s) := $\omega$である。
3. $\textrm{cp}(b) \notin \{0,$1,$\omega\}$ならば、$\textrm{cp}(b) = \psi_{$c}(d)$を満たす$(c,d) \in \mathbb{N} \times RT$が存在する。
  1. $d = 0$とする。
    1. $a \lt c$ならば、$\textrm{cp}(s) := s$である。
    2. そうでないならば、$\textrm{cp}(s) := \textrm{cp}(b)$である。
  2. $d \neq 0$ならば、$\textrm{cp}(s) := \textrm{cp}(b)$である。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dom} \colon RT & \to & RT \\ s & \mapsto & \textrm{dom}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(b)$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $\textrm{dom}(b) = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
2. $\textrm{dom}(b) \in \{$1,$\omega\}$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
3. $\textrm{dom}(b) \notin \{0,$1,$\omega\}$ならば、$\textrm{dom}(b) = \psi_{$c}(d)$を満たす$(c,d) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times RT$が存在する。
  1. $a \lt c$ならば、$\delta_0 := c-a-1$と置く。
    1. $\textrm{dom}(d) = 0$とする。
      1. $\delta_0 \lt 1$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
      2. そうでないならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
    2. そうでないならば、$\textrm{cp}(b) = \psi_{$e}(f)$かつ$\textrm{cp}(f) = \psi_{$g}(0)$を満たす$(e,f,g) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times RT \times (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在する。$\delta_1 := g-e-1$と置く。
      1. $\delta_0 \lt \delta_1$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
      2. そうでないならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
  2. そうでないならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(b)$である。

基本列

ここでは、表記の基本列を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon RT^2 & \to & RT \\ (s,t) & \mapsto & s[t] \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$s[t] := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in RPT \times (RT \setminus \{0\})$が存在するならば、$b' := b[t]$と置く。
1. $b' = 0$ならば、$s[t] := a$である。
2. そうでないならば、$s[t] := a+b'$である。
$s = \psi_{$a}(b)$を満たす$(a,b) \in \mathbb{N} \times RT$が存在するとする。
1. $\textrm{dom}(b) = 0$ならば、$s[t] := t$である。
2. $\textrm{dom}(b) = $1$とする。
  1. $t = t[0]+$1$ならば、$s[t] := s[t[0]]+s[$1]$である。
  2. そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
3. $\textrm{dom}(b) = $\omega$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。
4. $\textrm{dom}(b) \notin \{0,$1,$\omega\}$ならば、$\textrm{dom}(b) = \psi_{$c}(d)$を満たす$(c,d) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times RT$が存在する。
  1. $a \lt c$ならば、$\delta_0 := c-a-1$と置く。
    1. $\textrm{dom}(d) = 0$とする。
      1. $\delta_0 \lt 1$とする。
        $t = $i$を満たす$i \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在し、かつ$s[t[0]] = \Gamma$を満たす$\Gamma \in RT$が一意に存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\Gamma])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
      2. $\delta_0 \ge 1$とする。
        $t = 0$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
        
        $t = $i$を満たす$i \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在し、かつ$s[t[0]] = \Gamma$を満たす$\Gamma \in RT$が一意に存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\Delta(\Gamma,\delta_0,a,0)])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。
    2. そうでないならば、$\textrm{cp}(b) = \psi_{$e}(f)$かつ$\textrm{cp}(f) = \psi_{$g}(0)$を満たす$(e,f,g) \in (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times RT \times (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在する。$\delta_1 := g-e-1$と置き、$\delta_2 := g-a-1$と置く。
      1. $\delta_0 \lt \delta_1$とする。
        $t = $i$を満たす$i \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在し、かつ$s[t[0]] = \Gamma$を満たす$\Gamma \in RT$が一意に存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\Delta(\Gamma,\delta_2,a,0)])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
      2. $\delta_0 \ge \delta_1$とする。
        $t = 0$ならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[0])$である。
        
        $t = $i$を満たす$i \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在し、かつ$s[t[0]] = \Gamma$を満たす$\Gamma \in RT$が一意に存在するならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[\Delta(\Gamma,\delta_2,a,0)])$である。
        
        そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。
  2. そうでないならば、$s[t] := \psi_{$a}(b[t])$である。

急増加関数

ここでは、表記を使った急増加関数を定義する。

計算可能部分写像 \begin{eqnarray*} f \colon RT \times \mathbb{N}^2 & \to & \mathbb{N} \\ (s,m,n) & \mapsto & f_s^m(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$m = 0$ならば、$f_s^m(n) := n$である。
$m = 1$とする。
1. $s = 0$ならば、$f_s^m(n) := n+1$である。
2. $s \neq 0$とする。
  1. $\textrm{dom}(s) = $1$ならば、$f_s^m(n) := f_{s[0]}^n(n)$である。
  2. そうでないならば、$f_s^m(n) := f_{s[$n]}^1(n)$である。
$m \notin \{0,1\}$ならば、$f_s^m(n) := f_s^1(f_s^{m-1}(n))$である。

標準形

ここでは、表記の標準形を定める。

部分集合$OT \subset RT$を次のように再帰的に定める:

いかなる$n \in \mathbb{N}$に対しても、$\psi_0(\psi_{$n}(0)) \in OT$である。
いかなる$(s,n) \in OT \times \mathbb{N}$に対しても、$s[$n] \in OT$である。

命名

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} F \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & F(n) \end{eqnarray*} を$F(n) = f_{\psi_0(\psi_{$n}(0))}(n)$と定める。

$F^{10^{100}}(10^{100})$を「ハイパー原始ψ数」と名付ける。

表記の限界に対応する順序数を「Hyper Primitive psi ordinal」(HPPO)と名付ける。

[1] Kanrokoti, "ハイパー原始ψ関数", ユーザーブログ, 2021

[2] Kanrokoti の巨大数研究 Wikiユーザーページ

[1]

[2]

ハイパー原始ψ関数

目次

概要

ハイパー原始ψ関数

表記

上昇関数

共終数

基本列

急増加関数

標準形

命名

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