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2013年12月9日 (月) 22:42時点における版
チェーン表記 | |
---|---|
型 | 多次元 |
基本関数 | ハイパー演算子 |
急増加関数 | \(f_{\omega^2}(n)\) |
チェーン表記は、 コンウェイとグイによる矢印表記の一般化である[1][2]。 多変数アッカーマン関数はチェーン表記よりも大きい。また、バードの証明によれば、Jonathan Bowersの配列表記はチェーン表記よりも大きな値となる。
式
\(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_cb\) (矢印表記を使用)
最後の数字が1の時は、取り除くことができる。 \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
\(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
\(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)
CG 関数
コンウェイとグイは、チェーン表記を使って \(cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}_n\). という関数を定義した。
この関数の増加率は、急成長階層で \(f_{\omega^2}(n)\) であり、多変数アッカーマン関数では A(1,0,0,n) に相当する。
Peter Hurford の拡張
Peter Hurford は、チェーン表記に次のルールを加えることで拡張した[3]。
\(a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}\)
より正確にはこのようになる。
\(a \rightarrow_c b = a \rightarrow_{c-1} (a \rightarrow_c (b-1))\)
\(a \rightarrow_c 1 = a \rightarrow_{c-1} a\)
他のチェーンの規則は、そのままであり、→の下についている数字を無視して計算できる。したがって、 \(3 \rightarrow_{2} 3 \rightarrow 3\) のような表記はできない。つまり、矢印のタイプ(→の下についている数字)は、1通りでなければならない。さらに、Hurford は \(f(n) = n \rightarrow_n n\) が急成長階層で \(f_{\omega^3}(n)\) 程度であることを示した[4]。
さらに、彼は C(n) 関数を次のように定義した。
\(C(a) = a \rightarrow_a a\)
\(C(a,1) = a \rightarrow_{C(a)} a\)
\(C(a,b) = a \rightarrow_{C(a,b-1)} a\)
\(C(a,1,1) = C(a,C(a,a))\)
\(C(a,b,1) = C(a,C(a,b-1,1))\)
\(C(a,1,c) = C(a,C(a,a,c-1),c-1)\)
\(C(a,b,c) = C(a,C(a,b-1,c),c-1)\)
\(f(n) = C(n,n,n)\) 関数は、急成長階層で \(f_{\omega^3 + \omega}(n)\) 程度の増加速度となる。
出典
- ↑ The Book of Numbers, by J. H. Conway and R. K. Guy
- ↑ Chained Arrow Notation
- ↑ Hurford, Peter. Large Numbers, Part 2: Graham and Conway. Retrieved 2013-04-02.
- ↑ Hurford, Peter. Large Numbers, Part 3: Functions and Ordinals. Retrieved 2013-04-02.