チェーン表記

チェーン表記
型	多次元
基本関数	ハイパー演算子
急増加関数	\(f_{\omega^2}(n)\)

チェーン表記 (Chained arrow notation) は、ジョン・ホートン・コンウェイとガイによる矢印表記の一般化である。 多変数アッカーマン関数はチェーン表記よりも大きい。また、バードの証明によれば、Jonathan Bowersの配列表記はチェーン表記よりも大きな値となる。

定義

以下の4つのルールで計算ができる。

ルール1: \(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_cb\) (矢印表記を使用)

ルール2: 最後の数字が1の時は、取り除くことができる。 \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

ルール3: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

ルール4: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)

なお、ルール1を以下のルール1'に変えても同じである。

ルール1': \(a \rightarrow b = a^b\)

CG 関数

コンウェイとグイは、チェーン表記を使って \(cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}_n\). という関数を定義した。

この関数の増加率は、急増加関数で \(f_{\omega^2}(n)\) であり、多変数アッカーマン関数では A(1,0,0,n) に相当する。

Peter Hurford の拡張

Peter Hurford は、チェーン表記に次のルールを加えることで拡張した拡張チェーン表記を考案した。

\(a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}\)

より正確にはこのようになる。

\(a \rightarrow_c b = a \rightarrow_{c-1} (a \rightarrow_c (b-1))\)

\(a \rightarrow_c 1 = a \rightarrow_{c-1} a\)

他のチェーンの規則は、そのままであり、→の下についている数字を無視して計算できる。したがって、 \(3 \rightarrow_{2} 3 \rightarrow 3\) のような表記はできない。つまり、矢印のタイプ（→の下についている数字）は、1通りでなければならない。さらに、Hurford は \(f(n) = n \rightarrow_n n\) が急増加関数で \(f_{\omega^3}(n)\) 程度であることを示した。

さらに、彼は C(n) 関数を次のように定義した。

\(C(a) = a \rightarrow_a a\)

\(C(a,1) = a \rightarrow_{C(a)} a\)

\(C(a,b) = a \rightarrow_{C(a,b-1)} a\)

\(C(a,1,1) = C(a,C(a,a))\)

\(C(a,b,1) = C(a,C(a,b-1,1))\)

\(C(a,1,c) = C(a,C(a,a,c-1),c-1)\)

\(C(a,b,c) = C(a,C(a,b-1,c),c-1)\)

\(f(n) = C(n,n,n)\) 関数は、急増加関数で \(f_{\omega^3 + \omega}(n)\) 程度の増加速度となる。

プログラム

チェーン表記の計算を実行するプログラムが書かれている。

動画　

• 巨大数動画シリーズ (ニコニコ動画) より

1. 出典: チェーン表記・Ⅰ

<nicovideo>sm22403264</nicovideo>

2. 出典: チェーン表記・II

<nicovideo>sm22844479</nicovideo>

3. 出典: チェーン表記・III

<nicovideo>sm25432965</nicovideo>

関連項目

• 矢印表記
• 多変数アッカーマン関数
• BEAF