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チェーン表記
多次元
基本関数 ハイパー演算子
急増加関数 \(f_{\omega^2}(n)\)

チェーン表記 (Chained arrow notation) は、ジョン・ホートン・コンウェイリチャード・ケネス・ガイによる矢印表記の一般化である[1][2][3][4]。また、バードの証明によれば、Jonathan Bowers配列表記はチェーン表記よりも大きな値となる。

定義[]

以下の4つのルールで計算ができる。

ルール1: \(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_cb\) (矢印表記を使用)

ルール2: 最後の数字が1の時は、取り除くことができる。 \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

ルール3: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

ルール4: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)

なお、ルール1を以下のルール1'に変えても同じである[5]

ルール1': \(a \rightarrow b = a^b\)

CG 関数[]

コンウェイとガイは、チェーン表記を使って \(cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}_n\). という関数を定義した。

この関数の増加率は、急増加関数で \(f_{\omega^2}(n)\) であり、多変数アッカーマン関数では A(1,0,0,n) に相当する。

Peter Hurford の拡張[]

Peter Hurford は、チェーン表記に次のルールを加えることで拡張した拡張チェーン表記を考案した[6]

\(a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b個の \rightarrow_{c-1}}\)

他のチェーンの規則は、そのままであり、→の下についている数字を無視して計算できる。したがって、 \(3 \rightarrow_{2} 3 \rightarrow 3\) のような表記はできない。つまり、矢印のタイプ(→の下についている数字)は、1通りでなければならない。さらに、Hurford は \(f(n) = n \rightarrow_n n\) が急増加関数で \(f_{\omega^3}(n)\) 程度であることを示した[7]

さらに、彼は C(n) 関数を次のように定義した。

\(C(a) = a \rightarrow_a a\)

\(C(a,1) = a \rightarrow_{C(a)} a\)

\(C(a,b) = a \rightarrow_{C(a,b-1)} a\)

\(C(a,1,1) = C(a,C(a,a))\)

\(C(a,b,1) = C(a,C(a,b-1,1))\)

\(C(a,1,c) = C(a,C(a,a,c-1),c-1)\)

\(C(a,b,c) = C(a,C(a,b-1,c),c-1)\)

\(f(n) = C(n,n,n)\) 関数は、急増加関数で \(f_{\omega^3 + \omega}(n)\) 程度の増加速度となる。

プログラム[]

チェーン表記の計算を実行するプログラムが書かれている[8][9]

計算例[]

\(2 \rightarrow 3 \rightarrow 3 = 2^{2^{2^2}} = 2^{16} = 65536 \)

\(3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987 \)

\(4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 4^{4^4} = 4^{256} = 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096 \)


近似[]

コンウェイはグラハム数 が 3→3→64→2 と 3→3→65→2 の間の大きさであり、したがって 3→3→3→3 よりも小さいとした[1]。そのことは、次のように確かめられる[10]。g(x) = 3↑x3 = 3→3→x とすると グラハム数 = g64(4) であり、

  • 3→3→1→2 = 3→3→1 = g(1) = 27
  • 3→3→2→2 = 3→3→(3→3→1→2)→1 = 3→3→(3→3→1) = g(g(1)) = g2(1) = 3→3→27 = g(27)
  • 3→3→3→2 = 3→3→(3→3→2→2) = g3(1) = g2(27)
  • 3→3→n→2 = gn(1) = gn-1(27)
  • 3→3→64→2 = g64(1) < g64(4) = グラハム数
  • 3→3→65→2 = g64(27) > g64(4) = グラハム数
  • 3→3→3→3 = 3→3→(3→3→2→3)→2 > 3→3→65→2 > グラハム数

この近似を使うと、モーザー数 \(\approx g(10\uparrow\uparrow257) < g(g(3))\) であるため、このようになる。

  • 3→3→2→2 < モーザー数 < 3→3→3→2

多変数アッカーマン関数との間には次の関係がある[11]

\(x=1, y>1\) または \(x>1, y+z>0\) のとき

\[A(x,y,z) < \underbrace{3 \rightarrow3 \rightarrow \cdots \rightarrow 3}_{x+1個の3} \rightarrow z+2 \rightarrow y+1 < A(x,y,z+1)\]

ワイナー階層を基本列とする順序数による急増加関数では、次のように近似できる。

  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow n \sim f_\omega (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1) \sim f_\omega (27) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \sim f^2_\omega (27) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2) \sim f^3_\omega (27) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 2 \sim f_{\omega +1} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1) \rightarrow 2 \sim f_{\omega +1} (26) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3) \rightarrow 2 \sim f^2_{\omega +1} (26) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3) \rightarrow 2 \sim f^3_{\omega +1} (26) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 3 \sim f_{\omega +2} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1) \rightarrow 3 \sim f_{\omega +2} (26) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4) \rightarrow 3 \sim f^2_{\omega +2} (26) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 4 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4) \rightarrow 3 \sim f^3_{\omega +2} (26) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 4 \sim f_{\omega +3} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 5 \sim f_{\omega +4} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 6 \sim f_{\omega +5} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f_{\omega \times 2} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3) \sim f_{\omega \times 2} (f_4 (3)) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \sim f^2_{\omega \times 2} (f_4 (3)) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2) \sim f^3_{\omega \times 2} (f_4 (3)) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 2 \sim f_{\omega \times 2 +1} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 3 \sim f_{\omega \times 2 +2} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 4 \sim f_{\omega \times 2 +3} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f_{\omega \times 3} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 2 \sim f_{\omega \times 3 +1} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 3 \sim f_{\omega \times 3 +2} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 4 \sim f_{\omega \times 3 +3} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f_{\omega \times 4} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f_{\omega \times 5} (n) \)
  • \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f_{\omega \times 6} (n) \)
  • \(\underbrace{3 \rightarrow 3 \rightarrow \ldots \rightarrow 3 \rightarrow 3}_{n+2} \sim f_{\omega^2}(n)\)

動画 []

1. 出典: チェーン表記・Ⅰ

2. 出典: チェーン表記・II

3. 出典: チェーン表記・III

出典[]

関連項目[]

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