スタインハウス・モーザー表記
階層
基本関数 冪乗
急増加関数 \(f_{\omega}(n)\)

スタインハウス・モーザー表記 (Steinhaus-Moser Notation) は、Hugo Steinhaus によって作成され、 Leo Moser によって拡張された記法である[1]多角形表記とも言われる。

定義

Hugo Steinhaus による当初の定義は、このような式である。

  • Triangle(n) = nn = Steinhaustriangle.svg \(\approx f_2(n)\)
  • Square(n) = \(\boxed{n}\) = n 個の三角形の中に n を書いた図 \(\approx f_3(n)\)
  • Circle(n) = ⓝ = n 個の四角形の中に n を書いた図 \(\approx f_4(n)\)

Triangle(n) は、三角形の中に n を書いた図として表現され、Square(四角形)と Circle(円)についても同様である。

Leo Moser は、この表記を5角形、6角形、7角形、8角形、等へと拡張した。ここで、x角形の中にnを書いた図で表される数はn重の(x - 1)角形の中にnを書いた図で表される数と等しい。もちろん、このバージョンでは円は使わずに、5角形に変えられた。

Matt Hudelson[2] は、同様なバージョンをこのように定義した。

  • Line(n) = n| = nn
  • Wedge(n) = n< = n の右に n 本の|を並べた図
  • Triangle(n) = Steinhaustriangle.svg = n の右に n 個の<を並べた図
  • Square(n) = \(\boxed{n}\) = n 個の三角形の中に n を書いた図
  • etc.

スタインハウス・モーザー表記は、急反復階層で \(f_0(n) = n^n\) とした関数である。\(f_{m - 3}(n)\) は、m角形の中のnである。

表記法

Susan Stepneyは、自らのサイトで、多角形の代わりに鍵括弧を使用する表記法を示し[3]、以下のように定義している。

  • a角形の中にnを書いた図を\(n[a]\)と表記する。
  • b角形の中にa角形の中にnを書いた図を描いた図を\(n[a][b]\)と表記する。
  • p重のa角形の中にnを書いた図は\(n[a]_{p}\)と表記する。
  • 上記により、一般的にk角形の中にnを書いた図は\(n[k]=n[k-1]_{n}\)と表せられる。

上記により、それぞれの多角形は以下のように表記される。

\( \text{Triangle}(n) = n[3] = n^{n} \\ \text{Square}(n) = n[4] = n[3]_{n} \\ \text{Circle}(n) = \text{Polygon}(n) = n[5] = n[4]_{n} \)

以下簡単の為に、Stepneyの表記で記す。

\( \text{Triangle}(\text{Triangle}(n)) = \text{Triangle}^{2}(n) = n^{n}[3] = (n^{n})^{n^{n}} \\ \text{Triangle}(\text{Triangle}(\text{Triangle}(n))) = \text{Triangle}^{3}(n) = (n^{n})^{n^{n}}[3] = ((n^{n})^{n^{n}})(n^{n})^{n^{n}} \\ \text{Square}(n) = \text{Triangle}^{n}(n) = n[4] = n[3]_{n} = n\underbrace{[3][3]\dots[3][3]}_{n} \)

疑似コード

function polygon(n, level):
    if level == 3:
        return nn
    r := n
    repeat n times:
        r := polygon(r, level - 1)
    return r

矢印表記による近似値

矢印表記では、単純な多角形表記について、非常に大雑把ではあるが、以下のように近似する事が可能である。

\( x[3]_{y} \approx x\uparrow\uparrow(y+1) \\ x[4]_{y} \approx (x\uparrow\uparrow)^{x}(y+1) \approx x\uparrow\uparrow\uparrow(y+1) \\ x[z]_{y} \approx x\uparrow^{z-1}(y+1) \)

出典

関連項目

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