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分類: 数、クラス3、グーゴル系列
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変更：グーゴルプレックス

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'''グーゴルプレックス''' (Googolplex) は自然数\(10^{10^{100}}\)に付けられた名前である<ref>Vincenzo Origlio & Eric W. Weisstein. "[https://mathworld.wolfram.com/Googolplex.html Googolplex]". ''Wolfram MathWorld''.</ref>。つまり\(10^{\text{Googol}}=10^{1\overbrace{000\cdots000}^{100}}=1\underbrace{000\cdots000}_{1\underbrace{000\cdots000}_{100}}\)に等しい。
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'''グーゴルプレックス'''は[[グーゴル]]の仲間で、 \(10^{10^{100}} = 1\underbrace{000\dots000}_{1\underbrace{000\dots000}_{100}}\) である<ref>[http://fpx.de/fp/Fun/Googolplex/ Googolplex]</ref>。Milton Sirotta は「1の次に、疲れるまで0を書き続けた数」と定義したが、[[wikipedia:ja:エドワード・カスナー|エドワード・カスナー]]はこの曖昧な定義に満足出来ず、現在の定義に変えた<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Googolplex.html Googolplex from Wolfram MathWorld]</ref><ref>[http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/g/googol.htm Googol and googolplex]</ref>。[[ハイパーE表記]]では E100#2 あるいは EE100<ref>https://sites.google.com/site/largenumbers/home/3-2/Hyper-E</ref>と書くことができる。
  
   
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==概要==
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グーゴルプレックスは最大の数であるとか最大の名前を持った数であると一般に思われていることがあるが、そんなことはない。たとえば、グーゴルプレックスは[[トリトリ]]、[[グラハム数]]、[[ふぃっしゅ数]]等の[[巨大数]]に簡単に負けてしまう。
  
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グーゴルプレックスが名付けられたのは1920年であり、{{wja|エドワード・カスナー}} (Edward Kasner) の甥ミルトン・シロッタ (Milton Sirotta) が当時9歳の時に考案したと言われている。その存在が一般に知られるようになったのは、1940年にカスナーが自著 "[https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_and_the_Imagination Mathematics and the Imagination]" 内にて、\(10^{\text{Googol}}=10^{10^{100}}\)の数である[[グーゴルプレックス]]と共に取り上げたためである<ref>Edward Kasner and James R. Newman. (1940) "Mathematics and the Imagination". ''Simon & Schuster''.</ref>。
   
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シロッタは1グーゴルプレックスを「1の後に0を疲れるまで書き続ける。」と "定義" した。これは1グーゴルの定義直後、まだ疲れずに0を書き続けられるからである。ただし、人によって体力は違うことから、カスナーはより数学的な定義として\(10^{\text{Googol}}\)を定義した、と言われている<ref>Susan Stepney. "[https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/g/googol.htm googol / googolplex]". ''University of York''.</ref>。
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グーグル社は、本社を「グーグルプレックス」と名付けた<ref>[http://www.google.com/intl/en/corporate/culture.html Google culture]</ref>。[[ファイル:Googolplex.jpg|thumb]]
  
   
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このように、グーゴルとグーゴルプレックスは同時に誕生したが、後にこれにあやかり、[[プレックス]]を\(10^{n}\)となる接尾辞と見なすようになり、巨大数論の中で他の数字にも使用されるようになった<ref>Vincenzo Origlio & Eric W. Weisstein. "[https://mathworld.wolfram.com/n-Plex.html n-Plex]". ''Wolfram MathWorld''.</ref>。そのように定義したのは{{wja|ルーディ・ラッカー}}であり、1987年のことである<ref>Rudy Rucker. (1987) "[https://www.rudyrucker.com/mindtools/ Mind tools : the five levels of mathematical reality]". ''Boston: Houghton Miffin''.</ref>。
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[[wikipedia:ja:コスモス (テレビ番組)|コスモス]]というドキュメンタリーでは、[[wikipedia:ja:カール・セーガン|カール・セーガン]]はグーゴルプレックスを書くことの難しさを議論している<ref>http://www.youtube.com/watch?v=0lFQOmb6mVs</ref>。
  
   
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==記法==
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トレーディングカードゲームであるデュエルマスターズには[[無量大数]]とグーゴルプレックスに因んだ「無量大龍グーゴルプレックス」というカードが登場する<ref>[https://dm.takaratomy.co.jp/product/dmex14/ DMEX-14 デュエル・マスターズＴＣＧ 弩闘×十王超ファイナルウォーズ!!! | デュエル・マスターズ], takaratomy.</ref>。
  
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グーゴルプレックスを表す方法は多数あるため、以下は正確に一致するもののみを挙げる。
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!記法
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==グーゴルプレックスで表せるもの==
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\(10^{10^{100}}\)は日常会話はもちろん、自然科学の分野でも中々登場しない、いわゆる "[[宇宙論の巨大数|天文学的な数]]" であるが、いくつかは1グーゴルプレックス程度の値を挙げることも可能である。
   
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*Don Pageは\(10^{10^{100}}\)の具体的な例として、太陽質量の\(4.685\times10^{11}\)倍の質量を持つブラックホールの内部状態 (エントロピー) が1グーゴルプレックス程度だと説明した<ref>"Frank Pilhofer. (Jun 3, 2001) [http://www.fpx.de/fp/Fun/Googolplex/GetAGoogol.html How to Get A Googolplex]". ''The Private Frank Pilhofer''.</ref>。
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== 語源 ==
  
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*観測可能な宇宙の物質が持つ全物質の情報量は\(2^{6.036\times10^{80}}=10^{10^{80.25936}}\)である<ref>Melvin M. Vopson. "Estimation of the information contained in the visible matter of the universe". ''AIP Advances'', 2021; '''11''', 105317. DOI: [https://aip.scitation.org/doi/10.1063/5.0064475 10.1063/5.0064475]</ref>。
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[[グーゴル]](googol)に接尾語「プレックス(-plex)」を付けて名付けられた。
  
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*宇宙が無限に大きい場合でも、確率論的には私たちの観測可能な宇宙と全く同じ粒子配列の宇宙に遭遇する可能性がある。このように、宇宙を実質的に1周する平均移動距離は\(10^{10^{115}}\)である<ref>Max Tegmark. "Parallel Universes". arXiv, astro-ph, 2003. arXiv: [https://arxiv.org/abs/astro-ph/0302131v1 astro-ph/0302131v1]</ref>。
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*\(10^{80}\)個 ([[エディントン数]]程度) のバリオンがブラックホールに崩壊する際のエントロピーは\(10^{123}\)程度であると推定されるため、初期宇宙の特異点の場合数の下限は\(10^{10^{123}}\)である<ref>Roger Penrose. "[https://www.semanticscholar.org/paper/BEFORE-THE-BIG-BANG%3A-AN-OUTRAGEOUS-NEW-PERSPECTIVE-Penrose/286f60799abe6a47f7da040cb875de170eb56bb4 Before the big bang: An outrageous new perspective and its implications for particle physics]". ''Semantic Scholar''.</ref>。
   
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==\(10^{10^{100}}+n\)の素因数分解==
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\(10^{10^{100}}\)に自然数\(n\)を足した数の素因数分解について、\(0 \leqq n \leqq 999\)の範囲で素因数が知られていないのは\(n=37,\ 111,\ 133,\ 183,\ 187,\ 193,\ 331,\ 499,\ 511,\ 519,\ 669,\ 799,\ 831,\ 877\)の14個である<ref>Dario Alpern. "[https://www.alpertron.com.ar/GOOGOL.HTM Factors of 1000 numbers starting from googolplex]". ''Dario Alpern's Web site''.</ref>。逆に\(10^{10^{100}}+10\)については、1桁から241桁まで57446個の素因数が知られている<ref>Dario Alpern. "[https://www.alpertron.com.ar/googol.html Known prime factors of Googolplex + 10]". ''Dario Alpern's Web site''.</ref>。
   
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==その他==
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== グーゴルプレックスに近い数の約数 ==
  
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[[グーゴル]]が社名の由来である{{wja|Google}}の本社の愛称はGoogleplexである<ref>"[https://goo.gl/maps/kdqxRwAuWxr72mMD9 Googleplex]". ''Google map''.</ref>。
   
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トレーディングカードゲームの『デュエル・マスターズ』に[[無量大数]]とグーゴルプレックスに因んだ「無量大龍 グーゴルプレックス」というカードがある<ref>"[https://dm.takaratomy.co.jp/card/detail/?id=dmex14-s05 無量大龍 グーゴルプレックス(DMEX14 S5/S10)]" ''タカラトミー公式''.</ref>。当初は「[[不可説不可説転|フカセツフカセツテン]]」となる可能性もあった<ref>カワサキ(開発主任K). "[https://twitter.com/poxnoid_k/status/1359083708494479362 2021年2月9日19時16分 (JST) のつぶやき]". ''Twitter''.</ref>。
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Dario Alpern は、0 から 999 までの整数nに対して \(10^{10^{100}} + n\)の知られている約数<ref>[http://www.alpertron.com.ar/GOOGOL.HTM Factors of 1000 numbers starting from googolplex]</ref>のウェブサイトを管理している。\(n = 1\)の時は、最小の知られている約数は Robert Harley が見つけた 316912650057057350374175801344000001 である。\(10^{10^{100}} + 37\) は、素因数が見つかっていない最小の数である。\(10^{10^{100}} + 10\) は57445個の素因数が知られている<ref>[http://www.alpertron.com.ar/googol.pl Known prime factors of Googolplex + 10]</ref>。
  
   
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== 出典 ==
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==出典==
 
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==関連項目==
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== 外部リンク ==
  
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*[[グーゴル]]
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*[http://www.stanford.edu/~nitsche/cgi-bin/numbers.pl?googolplex Googolplex written out]
  
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*[[プレックス]]
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*[[グーゴルマイネックス]]
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*[[グーゴルプレックスマイネックス]]
   
 
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2024年2月25日 (日) 06:30時点における最新版

グーゴルプレックス (Googolplex) は自然数\(10^{10^{100}}\)に付けられた名前である[1]。つまり\(10^{\text{Googol}}=10^{1\overbrace{000\cdots000}^{100}}=1\underbrace{000\cdots000}_{1\underbrace{000\cdots000}_{100}}\)に等しい。

概要

グーゴルプレックスが名付けられたのは1920年であり、エドワード・カスナー (Edward Kasner) の甥ミルトン・シロッタ (Milton Sirotta) が当時9歳の時に考案したと言われている。その存在が一般に知られるようになったのは、1940年にカスナーが自著 "Mathematics and the Imagination" 内にて、\(10^{\text{Googol}}=10^{10^{100}}\)の数であるグーゴルプレックスと共に取り上げたためである[2]。

シロッタは1グーゴルプレックスを「1の後に0を疲れるまで書き続ける。」と "定義" した。これは1グーゴルの定義直後、まだ疲れずに0を書き続けられるからである。ただし、人によって体力は違うことから、カスナーはより数学的な定義として\(10^{\text{Googol}}\)を定義した、と言われている[3]。

このように、グーゴルとグーゴルプレックスは同時に誕生したが、後にこれにあやかり、プレックスを\(10^{n}\)となる接尾辞と見なすようになり、巨大数論の中で他の数字にも使用されるようになった[4]。そのように定義したのはルーディ・ラッカーであり、1987年のことである[5]。

記法

グーゴルプレックスを表す方法は多数あるため、以下は正確に一致するもののみを挙げる。

記法 値
矢印表記 \(10\uparrow10\uparrow100\)
チェーン表記 \(10\rightarrow(10\rightarrow100)\)
下矢印表記 \(10\downarrow\downarrow101\)
BEAF \(\{10,\{10,100\}\}\)
ハイパーE表記 \(E2\#3=E100\#2\)
バードの配列表記 \(\{10,\{10,100\}\}\)
強配列表記 \(\textrm{s}(10,\textrm{s}(10,100))\)
緩増加関数 \(g_{\omega^{\omega^{\omega^{2}}}}(10)\)

グーゴルプレックスで表せるもの

\(10^{10^{100}}\)は日常会話はもちろん、自然科学の分野でも中々登場しない、いわゆる "天文学的な数" であるが、いくつかは1グーゴルプレックス程度の値を挙げることも可能である。

  • Don Pageは\(10^{10^{100}}\)の具体的な例として、太陽質量の\(4.685\times10^{11}\)倍の質量を持つブラックホールの内部状態 (エントロピー) が1グーゴルプレックス程度だと説明した[6]。
  • 観測可能な宇宙の物質が持つ全物質の情報量は\(2^{6.036\times10^{80}}=10^{10^{80.25936}}\)である[7]。
  • 宇宙が無限に大きい場合でも、確率論的には私たちの観測可能な宇宙と全く同じ粒子配列の宇宙に遭遇する可能性がある。このように、宇宙を実質的に1周する平均移動距離は\(10^{10^{115}}\)である[8]。
  • \(10^{80}\)個 (エディントン数程度) のバリオンがブラックホールに崩壊する際のエントロピーは\(10^{123}\)程度であると推定されるため、初期宇宙の特異点の場合数の下限は\(10^{10^{123}}\)である[9]。

\(10^{10^{100}}+n\)の素因数分解

\(10^{10^{100}}\)に自然数\(n\)を足した数の素因数分解について、\(0 \leqq n \leqq 999\)の範囲で素因数が知られていないのは\(n=37,\ 111,\ 133,\ 183,\ 187,\ 193,\ 331,\ 499,\ 511,\ 519,\ 669,\ 799,\ 831,\ 877\)の14個である[10]。逆に\(10^{10^{100}}+10\)については、1桁から241桁まで57446個の素因数が知られている[11]。

その他

グーゴルが社名の由来であるGoogleの本社の愛称はGoogleplexである[12]。

トレーディングカードゲームの『デュエル・マスターズ』に無量大数とグーゴルプレックスに因んだ「無量大龍 グーゴルプレックス」というカードがある[13]。当初は「フカセツフカセツテン」となる可能性もあった[14]。

出典

  1. ↑ Vincenzo Origlio & Eric W. Weisstein. "Googolplex". Wolfram MathWorld.
  2. ↑ Edward Kasner and James R. Newman. (1940) "Mathematics and the Imagination". Simon & Schuster.
  3. ↑ Susan Stepney. "googol / googolplex". University of York.
  4. ↑ Vincenzo Origlio & Eric W. Weisstein. "n-Plex". Wolfram MathWorld.
  5. ↑ Rudy Rucker. (1987) "Mind tools : the five levels of mathematical reality". Boston: Houghton Miffin.
  6. ↑ "Frank Pilhofer. (Jun 3, 2001) How to Get A Googolplex". The Private Frank Pilhofer.
  7. ↑ Melvin M. Vopson. "Estimation of the information contained in the visible matter of the universe". AIP Advances, 2021; 11, 105317. DOI: 10.1063/5.0064475
  8. ↑ Max Tegmark. "Parallel Universes". arXiv, astro-ph, 2003. arXiv: astro-ph/0302131v1
  9. ↑ Roger Penrose. "Before the big bang: An outrageous new perspective and its implications for particle physics". Semantic Scholar.
  10. ↑ Dario Alpern. "Factors of 1000 numbers starting from googolplex". Dario Alpern's Web site.
  11. ↑ Dario Alpern. "Known prime factors of Googolplex + 10". Dario Alpern's Web site.
  12. ↑ "Googleplex". Google map.
  13. ↑ "無量大龍 グーゴルプレックス(DMEX14 S5/S10)" タカラトミー公式.
  14. ↑ カワサキ(開発主任K). "2021年2月9日19時16分 (JST) のつぶやき". Twitter.

関連項目

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