カントール標準形

カントール標準形 (Cantor normal form) とはカントールによって定義され，また証明された順序数の標準形である．これは$n$進法，及び遺伝的記法の順序数への一般化と考えることができる．

概要

順序数$\alpha$が底 (basis) $\beta>0$のカントール標準形で表されているとは$\alpha _{1}>\cdots >\alpha _{n}$と$0<\gamma _{i}<\beta (i=1,\ldots ,n)$に対し

$\alpha =\beta ^{\alpha _{1}}\gamma _{1}+\cdots +\beta ^{\alpha _{n}}\gamma _{n}$

となっていることである．カントール標準形定理 (Cantor normal form theorem) は順序数$\alpha$に対しカントール標準形は一意に定まることを主張する．

カントール標準形で一番重要なのは底が$\omega$に場合で，各$\gamma _{i}<\omega$であるから$\omega ^{\alpha _{i}}\gamma _{i}$は，有限回の和を用いて$\underbrace {\omega ^{\alpha _{i}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{i}}} _{\gamma _{i}{\text{times}}}$と表せることを用いれば以下の系を特殊なカントール標準形を得ることができる．

$\alpha =\omega ^{\alpha _{1}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{n}}$

ここで$\alpha _{1}\geq \cdots \geq \alpha _{n}$とする．このような形でカントール標準形は述べられる場合もある．

順序数表記

底$\omega$のカントール標準形にて$\alpha =\omega ^{\alpha _{0}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{n}}$と表したとき，$\varepsilon_0$が$\xi = \omega^\xi$となるような最小の順序数であったことを思い返せば$\alpha<\varepsilon_0$に対して$\alpha _{i}<\alpha$となる．よって$\alpha_{i}$もカントール標準形で表し，$\alpha _{i}=\omega ^{\alpha _{i,0}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{i,m}}$とし，$\alpha _{i,j}$をカントール標準形で表し，この操作を有限回繰り返すことで$0$と$+,\xi \mapsto \omega ^{\xi }$のみを用いて$\varepsilon_0$未満の順序数を表すことができる．なぜなら$\cdots <\alpha _{i,j}<\alpha _{i}<\alpha <\varepsilon _{0}$で順序数の無限降下列は存在しないからである．

この事実を用いて順序数表記を構成することができる。ただし上記の「順序数表示方法」自体は集合論において意味を持つものであり、算術で意味を持つ順序数表記そのものではないことに注意する。

定義2.1 項 (term)
$\overline{0}$を定数記号，${\overline {\omega }}^{\cdot }$を一変数関数記号，${\overline {+}}$を多変数関数記号とする． 項 (term) は以下のように帰納的に定義される． $\overline{0}$は項である． $a$が項なら${\overline {\omega }}^{a}$も項である． $a_{i}{i=0,\ldots ,n}$が項なら$a_{0}{\overline {+}}\cdots {\overline {+}}a_{n}$も項である． 項の集合を${\mathsf {T}}$とする．

このように項で順序数を表現できるので，項$a$に対応する順序数$|a|_{\mathcal {O}}$も帰納的に定義する．

定義2.2 割り当て (assignment)
割り当て (assignment) $|\cdot |_{\mathcal {O}}\colon {\mathsf {T}}\to \varepsilon _{0}$を以下のように帰納的に定義する． $|{\overline {0}}|_{\mathcal {O}}:=0$． $|{\overline {\omega }}^{a}|_{\mathcal {O}}:=\omega ^{|a|_{\mathcal {O}}}$． $|a_{0}{\overline {+}}\cdots {\overline {+}}a_{n}|_{\mathcal {O}}:=|a_{0}|_{\mathcal {O}}+\cdots +|a_{n}|_{\mathcal {O}}$．

しかし$\alpha =|a|_{\mathcal {O}}$となる$a\in {\mathsf {T}}$は一意に定まるとは限らない．よって一意に定まるような${\mathsf {T}}$の部分集合$\mathsf{OT}$を定める．これを定めるためにカントール標準形を用いる．

定義2.3 順序数項 (ordinal term)
順序数項 (ordinak term) は以下のように帰納的に定義される． $\overline{0}$は順序数項である． $a_{i}{i=0,\ldots ,n}$が順序数項で$|a_{0}|_{\mathcal {O}}\geq \cdots |a_{n}|_{\mathcal {O}}$なら${\overline {\omega }}^{a_{0}}{\overline {+}}\cdots {\overline {+}}{\overline {\omega }}^{a_{n}}$も順序数項である．