e素数 (e-prime) とは、ネイピア数の十進数展開と同じ数字の並びを持つ素数のことである[1]。つまり任意の自然数\(n\)に対し、\(\lfloor e \times10^{n-1}\rfloor\)が素数であるような数、またはネイピア数の\(n\)桁目までの数字を並べてできる素数のことである。定数素数の1つ。
e素数の一覧[]
現時点でe素数は8個知られている[2][3]。最大の素数は\(\lfloor e \times10^{155024}\rfloor\)である。
| \(n\) | \(\lfloor e \times10^{n-1}\rfloor\) | 値または近似値 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\lfloor e \times10^{0}\rfloor\) | \(2\) |
| \(3\) | \(\lfloor e \times10^{2}\rfloor\) | \(271\) |
| \(7\) | \(\lfloor e \times10^{6}\rfloor\) | \(2718281\) |
| \(85\) | \(\lfloor e \times10^{84}\rfloor\) | \(\underbrace{27182\cdots94571}_{85}\) |
| \(1781\) | \(\lfloor e \times10^{1780}\rfloor\) | \(\underbrace{27182\cdots26023}_{1781}\) |
| \(2780\) | \(\lfloor e \times10^{2779}\rfloor\) | \(\underbrace{27182\cdots19747}_{2780}\) |
| \(112280\) | \(\lfloor e \times10^{112279}\rfloor\) | \(\underbrace{27182\cdots78237}_{112280}\) |
| \(155025\) | \(\lfloor e \times10^{155024}\rfloor\) | \(\underbrace{27182\cdots83267}_{155025}\) |
その他のネイピア数に関連する素数[]
定数素数の形式ではなく、これ自体に特定の名称はないものの、ネイピア数に関連した素数は他にもある[1]。
ネイピア数の冪乗の素数[]
ネイピア数の冪乗が素数となるもの、つまり床関数で\(\lfloor e^{n}\rfloor\)、または天井関数で\(\lceil e^{n}\rceil\)と表される素数はいくつかある。
床関数の\(\lfloor e^{n}\rfloor\)で表される素数は現時点で12個知られている[4][5]。最大の素数は\(\lfloor e^{14025}\rfloor\approx9.55232\times10^{6090}\)である。
| \(n\) | \(\lfloor e^{n}\rfloor\) | 値または近似値 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\lfloor e^{1}\rfloor\) | \(2\) |
| \(2\) | \(\lfloor e^{2}\rfloor\) | \(7\) |
| \(18\) | \(\lfloor e^{18}\rfloor\) | \(65659969\) |
| \(50\) | \(\lfloor e^{50}\rfloor\) | \(5184705528587072464087\) |
| \(127\) | \(\lfloor e^{127}\rfloor\) | \(\approx1.43021\times10^{55}\) |
| \(141\) | \(\lfloor e^{141}\rfloor\) | \(\approx1.71997\times10^{61}\) |
| \(267\) | \(\lfloor e^{267}\rfloor\) | \(\approx9.04954\times10^{115}\) |
| \(310\) | \(\lfloor e^{310}\rfloor\) | \(\approx4.27848\times10^{134}\) |
| \(2290\) | \(\lfloor e^{2290}\rfloor\) | \(\approx3.42266\times10^{994}\) |
| \(4487\) | \(\lfloor e^{4487}\rfloor\) | \(\approx4.77904\times10^{1948}\) |
| \(5391\) | \(\lfloor e^{5391}\rfloor\) | \(\approx1.91228\times10^{2341}\) |
| \(14025\) | \(\lfloor e^{14025}\rfloor\) | \(\approx9.55232\times10^{6090}\) |
天井関数の\(\lceil e^{n}\rceil\)で表される素数は現時点で7個知られている[6][7]。最大の素数は\(\lceil e^{34888}\rceil\approx4.63324\times10^{15151}\)である。
| \(n\) | \(\lceil e^{n}\rceil\) | 値または近似値 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\lceil e^{1}\rceil\) | \(3\) |
| \(5\) | \(\lceil e^{5}\rceil\) | \(149\) |
| \(7\) | \(\lceil e^{7}\rceil\) | \(1097\) |
| \(10\) | \(\lceil e^{10}\rceil\) | \(22027\) |
| \(105\) | \(\lceil e^{105}\rceil\) | \(3989519570547215850763757278730095398677254309\) |
| \(22959\) | \(\lceil e^{22959}\rceil\) | \(\approx9.26851\times10^{9970}\) |
| \(34888\) | \(\lceil e^{34888}\rceil\) | \(\approx4.63324\times10^{15151}\) |
その他[]
ブログ『A googol is a tiny dot』には、\(\lfloor e \times10^{99}\rfloor=\underbrace{27182\cdots66427}_{100}\)に対してイーゴル (egol) という名称を付けているが、ジョークでの命名であると予想される[8]。イーゴルは合成数である[2][9]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 Eric W. Weisstein. "e-Prime". Wolfram MathWorld.
- ↑ 2.0 2.1 "A064118: Numbers k such that the first k digits of e form a prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A007512: Primes of the form floor(e*10^k), i.e., formed by concatenation of an initial segment of the decimal expansion of e.". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A050808: Numbers k such that floor(exp(k)) is prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A050809: Primes of the form floor( exp(n) )". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A059303: Numbers n such that floor(e^n) + 1 is prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. (形式が\(\lfloor e^{n}\rfloor+1\)であるため、初項に\(\lfloor e^{0}\rfloor+1=2\)が含まれているが、本記事では数えない)
- ↑ "A118840: Primes corresponding to indices A059303". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ googology101. (Mar 19, 2009) "More large numbers?". A googol is a tiny dot.
- ↑ "\(\lfloor e\times10^{99}\rfloor\)は素数ですか？" WolframAlpha.