みくみく順序数は、急増加関数で使われる「順序数を使って巨大数を作る構造」にヒントを得て、ニコニコ動画で活動するボカロPの葱汁あいが研究している巨大関数である。名前に「順序数」と銘打っているが、集合論としての考察は一切なく、あくまで「急増加関数の拡張パック」である。

経緯

作者はふぃっしゅ数バージョン3あたりまでしか勉強していないらしく、中級者の知識でどこまでの巨大数を作れるのかの挑戦だと熱弁する。研究のきっかけはふぃっしゅ数バージョン5を解説するブロマガを執筆するための研究の下準備だそうだ。作者は、その『ふぃっしゅ数バージョン5』が全く理解できず、急増加関数で使われる『カントール標準形』に至っては、最小の極限順序数「ω」の記号を見ていると眩暈がするので勉強する気にもなれないから、ならば、自分で「順序数」を考えてみようということらしい。2017年の初秋のことであった。研究の成果があったかどうかは不明だが、2018年の5月には『ふぃっしゅ数バージョン5』を解説するブロマガを執筆している。初期のみくみく順序数は(ここ!文字列が初音ミクみたい!)、既存のドル関数の再発明であり、当人は、そこそこ悔しかったようで、そこに、多変数アッカーマン関数のニュアンスを込めることで、2018年の春先「みくみく標準形」の着想を得た。その後は「はちゅね階層」や、非公開の「大はちゅね階層」の研究を進めるが‥ 新しい記号の導入などで混迷し、一旦、休止する。2019年の初夏に、素因数分解の一意性を使い、自然数の列を最低でもω^2個に再配分できるとの着想から、新たな記号の導入なしに拡張をする研究をはじめた。なお「みくみく崩壊関数」は「順序数崩壊関数」ではないどころか「似非のOCF」ですらもなく、ただ、その名前だけ拝借しているだけの巨大関数だそうだ。初音ミク要素が存在しなかった「みくみく順序数」に初音ミク要素を加味したのにもかかわらず、すぐに初音ミク要素が崩壊してしまうことから、言葉遊びとしてその名前を採用したとのこと。

定義

作者である葱汁あいの許可を得て、2020年10月28日における最新の「みくみく順序数Act.3.7x(10/28 09:18版)」をPixivから「第2章」「第4章」「第5章」を中心に転載する。ただし、開発中のバージョンであることに注意。今後も研究の進展があれば、ここも書き変えることにする。以下、転載である。

 

本文全体の日本語や記号に関する定義 

 

 「 :如何なる定義にも関係しない括弧。
 」 :如何なる定義にも関係しない括弧。
 「 」 :「半角スペース 」は如何なる定義にも関係しない。
 「 」 :「全角スペース」は如何なる計算規則にも関係しない。
 「■」 :文章の装飾文字
 「・」 :文章の装飾文字。
 「❶」 :文章の装飾文字。
 「❷」 :文章の装飾文字。
 「❸」 :文章の装飾文字。
 「❹」 :文章の装飾文字。
 「➎」 :文章の装飾文字。
 「:」 :  “𝒜 :ℬ” 「𝒜」は記号や用語。「ℬ」は記号や用語の定義。 
 「 : 」 :  “𝒜 : ℬ” 「𝒜」は計算規則番号。「ℬ」は計算規則。
 々 : ひとつ上の段落の計算規則に付随する計算規則。ただし「▲」には含まれない。

 「 “ 」 :例文を示す括弧。 
 「 ” 」 :例文を示す括弧。
 「 { 」 :演算の掛かりを示す説明的な括弧。ただし、急増加関数においては、計算の優先順位を明示する括弧。
 「 } 」 :演算の掛かりを示す説明的な括弧。ただし、急増加関数においては、計算の優先順位を明示する括弧。
 「 ⁽ 」 :演算の掛かりを示す説明的な括弧。
 「 ⁾ 」 :演算の掛かりを示す説明的な括弧。
 「 ₍ 」 :演算の掛かりを示す説明的な括弧。
 「 ₎ 」 :演算の掛かりを示す説明的な括弧。
 「 [ 」 :みくみく順序数の計算規則で使う演算記号の構成要素。
 「 ] 」 :みくみく順序数の計算規則で使う演算記号の構成要素。
 「 ( 」 :みくみく順序数の文字列の構成要素。
 「 ) 」 :みくみく順序数の文字列の構成要素。

 「 + 」 :加算。“𝒜+ℬ” 「𝒜」に「ℬ」を加算する。
 「 + 」 :加算。“𝒜 + ℬ” 「𝒜」に「ℬ」を加算する。
 「 ⁺ 」 :加算。“𝒜 ⁺ ℬ” 「𝒜」に「ℬ」を加算する。
 「 ₊ 」 :加算。“𝒜 ₊ ℬ” 「𝒜」に「ℬ」を加算する。

 「 - 」 :減算。“𝒜-ℬ” 「𝒜」から「ℬ」を減算する。
 「 - 」 :減算。“𝒜 - ℬ” 「𝒜」から「ℬ」を減算する。
 「 ⁻ 」 :減算。“𝒜 ⁻ ℬ” 「𝒜」から「ℬ」を減算する。
 「 ₋ 」 :減算。“𝒜 ₋ ℬ” 「𝒜」から「ℬ」を減算する。

 「 _ 」 :減算ではない。

 「 = 」 :等号。“ 𝒜 = ℬ ” 「𝒜」は「ℬ」である。「𝒜」の文字列は「=」の左側にある「全角スペース」よりも左にある文字列を含まない。「ℬ」の文字列は「=」の右側にある「全角スペース」よりも右にある文字列を含まない。「𝒜」と「ℬ」の文字列は、その段落にある文字列に限定される。

 「 ≧ 」 :等号付き不等号。 “𝒜 ≧ ℬ” 「𝒜」は「ℬ」と等しいか、または、「𝒜」は「ℬ」よりも大きい。如何なる「𝒜 」についても整数である。

 「〓」 : “ 𝒜 〓 ℬ ” 「𝒜」は「ℬ」と表記する。「𝒜」の文字列は「〓」の左側にある「全角スペース」よりも左にある文字列を含まない。「ℬ」の文字列は「〓」の右側にある「全角スペース」よりも右にある文字列を含まない。「𝒜」と「ℬ」の文字列は、その段落にある文字列に限定される。

 「⌒」 :  “𝒜 ⌒ ℬ” 「𝒜」は「ℬ」と同じ番地である。

 「∠」 : “𝒜 ∠ ℬ” この段落にある如何なる「𝒜」に対しても「ℬ」である。段落の始めは、その行頭から1文字以上の字下げをしている。

 「 n 」 :非負整数。
 「 ⁿ 」 :非負整数。

 「 ʰ 」 :非負整数。
 「 ᵩ 」 :非負整数。

 「 e 」 :1以上の整数。
 「 𝑒 」 :1以上の整数。
 「 ᵨ 」 :1以上の整数。

 「 ε 」 :1以上の整数。

 「□」 :「みくみく標準形」もしくは「みくみく崩壊関数」の「計算規則の任意の記号」もしくは「任意の数」もしくは「任意の文字列」。

 𝒜 以上 :「𝒜」を含む。
 𝒜 以下 :「𝒜」を含む。
 𝒜 以外 :「𝒜」を含まない。
 𝒜 以内 :「𝒜」を含む。
 𝒜 未満 :「𝒜」を含まない。
 𝒜 よりも :「𝒜」を含まない。
 𝒜 まで :「𝒜」を含む。

 「加算の関係」 :「𝑒」を1以上の整数とし、関数「{𝒜} ƒ[𝑒]」について、次のように定義したとき、その如何なる「ƒの像」についても、その像の任意の「𝒜」に対して、その任意の「𝒜」以外の如何なる「𝒜」も、任意の「𝒜」と「加算の関係」にある。

  ・01: {𝒜} ƒ[0] = {𝒜}+{𝒜}
  ・02: {𝒜} ƒ[𝑒] = {𝒜}+{{𝒜} ƒ[𝑒-1]}

 「みくみく順序数」 :「非負整数」と「コア数」の何れか、または両方の「加算」の組み合わせで表現される数。

 「コア数」 :詳細は「第3章」と「第4章」の「アコ数と項の定義」を参照。
 
 「項」 :数学用語ではない。詳細は「第3章」と「第4章」の「アコ数と項の定義」を参照。

 「任意のコア数」 :「任意のコア数」とあればその構造をすべて含む。その任意のコア数と「加算の関係」にある数は含まない。

 「任意のコア数の構造」 ❶ :任意のコア数「(𝒜)」の、コア数として許容される如何なる文字列「𝒜」も任意のコア数「(𝒜)」の構造である。
 「任意のコア数の構造」 ❷ :任意のコア数を「𝓒」としたとき、「𝓒」と「加算の関係」にある如何なる数も、「𝓒」の構造には含まない。
 「任意のコア数の構造」 ❸ :任意のコア数を「𝓒₀」としたとき、「𝓒₀」を構造に持つコア数「𝓒ᵨ」があるならば、「𝓒ᵨ」の構造の、「𝓒₀」以外の如何なる構造も、「𝓒₀」の構造には含まない。

 「任意のコア数の項」 ❶ :任意のコア数を「𝓒」としたとき、「𝓒」と「加算の関係」にある如何なるコア数の項も、「𝓒」の項には含まない。
 「任意のコア数の項 」❷ :任意のコア数を「𝓒」としたとき、「𝓒」の構造にある如何なるコア数の項も、「𝓒」の項に含まない。
 「任意のコア数の項 」❸ :任意のコア数を「𝓒₀」としたとき、「𝓒₀」を構造に持つコア数「𝓒ᵨ」があるならば、「𝓒ᵨ」の構造の、「𝓒₀」以外の如何なる構造にある項も、「𝓒₀」の項には含まない。

 「仮設」 :コア数の表記を展開する過程で、コア数を構成しない演算の記号等が、コア数の構造に一時的にある場合があるこれを「仮設」と呼ぶ。

 「0個以上の項に□」 :「0個以上の項に□」の記号のある任意の計算規則に対応する文字列を「𝒪」として、任意の「x 個の項に□」を展開する関数「ƒ」を以下に定義する。

  ・03: ƒ(…□, 𝒪) = (ƒ[x])
    々: ƒ[0] = 𝒪
    々: ƒ[𝑒] =  □,ƒ[𝑒-1]

  ・04: ƒ(𝒪 ,…□) = (ƒ[x])
    々:  ƒ[0] = 𝒪
    々:  ƒ[𝑒] = ƒ[𝑒-1],□

  ・05: ƒ(𝒪 ,…□, 𝒪) = (ƒ[x], 𝒪)
    々: ƒ[0] = 𝒪
    々: ƒ[𝑒]= ƒ[𝑒-1],□

 「Ø」 :「みくみく崩壊関数」のコア数の項として許容される任意の文字列。
 「¹Ø」 :「みくみく崩壊関数」のコア数の項として許容される任意の文字列。
 「²Ø」 :「みくみく崩壊関数」のコア数の項として許容される任意の文字列。
 「ᶜ...」 :0個以上の(Ø)の加算がある。任意の「x 個の(Ø)の加算がある」を展開する関数「ƒ」を以下に定義する。

  ・06: ᶜ...□ = ƒ[x]
    々: ƒ[0] = □
    々: ƒ[𝑒] = (Ø)ƒ[𝑒-1] 

 

ω番地数列の定義

 

 素因数分解の一意性を利用して非負整数を無限個の異なる数列として再構成する。

 ω番地数列の任意の数は以下のように表記する。

 Pᵪʷ

 Pᵪʷのʷは「Pのʷ乗」を意味し、如何なる「ʷ」についても1以上の整数である。
 Pᵪʷのᵪは「ᵪ番目の素数」を意味し、如何なる「ᵪ」についても1以上の整数である。
 
 注釈:以下、「Pᵪʷ」の「ᵪ」を省略して表記することがある。

 ■一番地数列
 一番目の素数を使った「2ʷ」を、小さい順に並べた数列である。この一番地数列については、「みくみく順序数」に「初音ミク」要素を寄与するために使用しないものとする。

  2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,…∞

 ■二番地数列
 二番目の素数を使った「3ʷ」を小さい順に並べた数列である。

  3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,…∞

 ■三番地数列
 三番目の素数のを使った「5ʷ」を小さい順に並べた数列である。

  5,25,125,625,3125,15625,78125,390625,1953125,9765625,…∞

 ■四番地数列
 四番目の素数のを使った「7ʷ」を小さい順に並べた数列である。

  7,49,343,2401,16807,117649,823543,5764801,40353607,282475249,…∞

 ■ω番地数列
 x番目の素数を使った「Pʷ」を小さい順に並べた数列である。

  P¹,P²,P³,P⁴,P⁵,P⁶,P⁷,P⁸,P⁹,P¹⁰,…∞

 全てのPᵪʷは番地を持ち、任意のPᵪʷの番地は「ᵪ番地」である。

 任意の「ω番地数列」を「非負整数による数列」に対応させるため、以下のようの計算規則を定める。

  ・07: P¹+P¹ = P¹
  ・08: Pʷ+P¹ = Pʷ {ʷ∠{ʷ ≧1}}
  ・09: Pʷ+Pʰ = Pʷ⁺⁽ʰ⁻¹⁾ {ʷ∠{ʷ ≧1}} {ʰ∠{ʰ ≧1}}

 

アコ数と項の定義

 

 ■コア数の定義

 Pᵪ¹の有限回の加算で到達できない最小の有限のPᵪʷがPᵪ²である。
 Pᵪ²の有限回の加算で到達できない数をコア数とする。
 Pᵪ²の有限回の加算で到達できない最小のコア数が(Pᵪ¹)である。

 コア数には「Pᵪʷ」と「コア数」を加算することができる。ただし、加算は同じ番地同士の数で行われる。 {ʷ∠{ʷ ≧1}} {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}
  任意のコア数には、そのコア数の有限回の加算で到達できないコア数が存在し、それらは、コア数の項の数の増減や、その項にある数の数値の増減で記述される。

 コア数 (…,項₅,項₄,項₃,項₂,項₁)

 コア数は、「(」と「)」の一組の括弧と、その内側に在るひとつ以上の「項」により表記される。
 項がふたつ以上あるとき、となり合う項と項はひとつの「 , 」で区切られる。

 「みくみく崩壊関数の計算規則」を定義するために、「x個の項をもつ任意のコア数」を「(…項)」 としたとき、その項に1以上の整数の「項の番号」をふる関数「ƒ」 を以下に定義する。 

  ・10: (…項) = (ƒ[x])  {x∠{x ≧1}} 
    々: ƒ[1] = 第1項
    々: ƒ[e] = 第e項 , ƒ[e-1] {e∠{e ≧2}} 

 コア数の最も右側の項を「第1項」とする。
 コア数の任意の項を「第e項」としたとき、「第e項」のひとつ左側に項があるならば、その項は「第{e+1}項」である。
 コア数の最も左側の項を「最終項」とする。
 項がひとつしかないとき、その項は「第1項」であり「最終項」である。
 任意の数の置かれる項の「項の番号」は、「みくみく崩壊関数の計算規則」による写像に伴い、変化することがある。

 コア数の項が2個以上の状態では、各項は次の4状態のどれかに分類される。

  ❶ Pᵪ¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} 
  ❷ Pᵪʷ {ʷ∠{ʷ ≧2}}  {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}
  ❸ コア数 or 有限回の加算の関係にあるコア数
  ❹ コア数に「Pᵪʷ」が加算された数 or 有限回の加算の関係にあるコア数に、「Pᵪʷ」が加算された数 {ʷ∠{ʷ ≧2}}  {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 コア数の項が1個の状態では、項は次の2状態のどれかに分類される。

  ❶ Pᵪ¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}
  ❷ Pᵪʷ {ʷ ∠{ʷ ≧2}} { ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 ■コア数の番地の定義

 コア数の番地はその第1項にあるPᵪʷの番地と同じである。
 コア数の番地はその第1項にあるコア数の番地と同じである。
 コア数の最終項と第1項にある数は、必ず、同じ番地である。
 任意のコア数は、そのコア数の番地よりも小さな番地の数をその項に持たない。
 任意のコア数は、そのコア数の番地よりも大きな番地の数をその項に持つことが出来る。
 任意のᵪ番地のコア数について、任意の第e項にᵪ番地よりも大きな番地の数があるときは、第{e+1}項には、必ず、ᵪ番地の数がある。

 

みくみく崩壊関数で使う記号の定義

 

 Pᵪʷ :「ω番地数列の定義」を参照。

 Pᵧ¹ :加算されるコア数の番地と同じ番地の「Pᵪ¹」 {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}
 Pᵧʷ :加算されるコア数の番地と同じ番地の「Pᵪʷ」 {ʷ∠{ʷ ≧2}} {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}
 Pᵧʰ :加算されるコア数の番地と同じ番地の「Pᵪʰ」 {ʰ∠{ʰ ≧2}} {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 z :「Pᵪ¹」 {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}  「a」と「c」と同じ番地である。

 a :「Pᵪʷ」 or「ᶜ...(Ø)Pᵪʷ」 {ʷ∠{ʷ ≧2}} {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {Pᵪʷ∠{Pᵪʷ⌒(Ø)}}
 「z」と「c」と同じ番地である。

 c :「ᶜ...(Ø)」 「z」と「a」と同じ番地である。

 b :「z」or「a」or「c」

 Z :「z」を「Pᵪ¹」としたときの「Pᵪ₊₁¹」 {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 A :「a」を「Pᵪʷ」or「ᶜ...(Ø)Pᵪʷ」としたときの「Pᵪ₊₁ʷ」or「ᶜ...(Ø)Pᵪ₊₁ʷ」 {ʷ∠{ʷ ≧2}}  {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {Pᵪʷ∠{Pᵪʷ⌒(Ø)}} 

 C :「c」よりもひとつ大きな番地の「ᶜ...(Ø)」

 B :「Z」or「A」or「C」

 a-1  :a-1 = {ᶜ... Pᵪʷ}-Pᵪ² = ᶜ... Pᵪʷ⁻¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {ʷ∠{ʷ ≧2}} 
 A-1  :A-1 = {ᶜ... Pᵪʷ}-Pᵪ² = ᶜ... Pᵪʷ⁻¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {ʷ∠{ʷ ≧2}} 

 …z :0個以上の項にz
 …b :0個以上の項にb

 …₁Δ :0個以上の項が続く。項が0個ではない場合は、「…₁Δ」の仮設されている項を「第{e+1}項」としたとき、「第{e+1}項」にある数は、「第e項」にある数よりも番地が大きい。

 ₁Δ :同じ計算規則番号の「…₁Δ」と同じ文字列。

 …₂Δ :2個以上の項が続く。ただし「…₂Δ」の仮設されている項を「第{e+1}項」としたとき、「第{e+1}項」にある数は、「第e項」にある数よりも番地が大きい。

 ₂Δ :同じ計算規則番号の「…₂Δ」と同じ文字列。

 …₃Δ :0個以上の項が続く。項が0個ではない場合は、次の2つの条件の何れかを満たす。

  ・条件 ❶ 「…₃Δ」の仮設されている項を「第{e+1}項」としたとき、「第{e+1}項」にある数は「A」または「C」または「Z」または「B」と同値。 

  ・条件 ❷ 「…₃Δ」の仮設されている項を「第{e+1}項」としたとき、「{第e+1}項」にある数は「A」または「C」または「Z」または「B」よりPᵪ²以上大きい。{ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 ₃Δ :同じ計算規則番号の「…₃Δ」と同じ文字列。

 …₄Δ :0個以上の項が続く。項が0個ではない場合は、「…₄Δ」の仮設されている項を「第{e+1}項」としたとき、「第{e+1}項」にある数は「A」または「C」または「Z」または「B」より「Pᵪ²」以上大きい。 {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 ₄Δ :同じ計算規則番号の「…₄Δ」と同じ文字列。

 δ… :「δ…」の仮設されている項を「第{e+1}項」としたとき、「項の番号」が「e未満」の項が2個以上あり、それらは次の5つの条件をすべて満たす。

  ・条件 ❶ 「第{e-偶数}項」は全て「z」である。

  ・条件 ❷ 「第1項」は「z」である。

  ・条件 ❸ 「第{e-奇数}項」にある数は全て「z」よりもひとつ番地が大きい。

  ・条件 ❹ 「第{e-1}項」にある数は、「第{e+1}項」にある数と同値か「Pᵪ²」以上大きい。 {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

  ・条件 ➎ 任意の「第{e-奇数}項」にある数を「□」と置くと、その「□」のある項を「第ε項」とした場合、「第{ε-2}項」が存在するのであれば、「第{ε-2]項」にある数は「□」と同値か「Pᵪ²」以上大きい。 {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 δ  :同じ計算規則番号の「δ…」と同じ文字列。

 ƒ [□ ; n] :「□」について急増加関数「𝑭 m {n}」の「n」を参照して「みくみく崩壊関数の計算規則」を適用する。

 【C⟼ƒM】  :「C」が、「みくみく崩壊関数の計算規則」の、計算規則の番号頭に「▲」のある何れかの計算規則によって「M」に写される。その「M」の文字列。

 M :みくみく順序数のうち「みくみく崩壊関数」の計算規則で得られる任意の文字列。

 ⟼ƒ : “𝒜⟼ℬ” 「𝒜 」を写像 ƒ [C ; n]によって写した像が「ℬ」である。

 ▼ :「みくみく崩壊関数の計算規則」の、計算規則の番号頭に「▼」のある何れかの計算規則 。

 ᵦ :コア数の構造に仮設してある「P_𝑒」で最も大きな「𝑒」の値。

 

みくみく崩壊関数の計算規則

 

 みくみく崩壊関数は、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」の記号を使った十進法による一部の非負整数と、「(」と「)」と「,」の、合計、十三種類のみの記号で構成される「みくみく順序数」の表記である。みくみく崩壊関数「ƒ」の計算規則、および、それに伴う関数「𝐒𝐮𝐦」「𝐍𝐞𝐬𝐭」「𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭」「𝐏𝐇」を以下に定める。

  01: ƒ [(Ø) ; n] = ƒ (Ø)

  02: ƒ [ᶜ...(¹Ø)(²Ø) ; n] = ᶜ...(¹Ø) ƒ [(²Ø) ; n]

  03: ƒ [ο₁ ; n] =  𝐏𝐇[n] 
   々: 𝐏𝐇[0] = P_0
   々: 𝐏𝐇[𝑒] = (P_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],P_𝑒)
   々: P_𝑒 = P₂₊₍ᵦ₋𝑒₎¹

 ▲10: ƒ (Pᵪ¹) = Pᵪ ⁿ⁺¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 ▲11: ƒ (Pᵪʷ) =  𝐒𝐮𝐦[n]
   々: ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[0] = ᶜ... Pᵪ¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {Pᵪ¹∠{Pᵪ¹⌒(Ø)}}
   々: ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[𝑒] = ᶜ...(Pᵪʷ⁻¹)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1] {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {Pᵪʷ∠{Pᵪʷ⌒(Ø)}}

 ▲12: ƒ (Pᵪ¹,Pᵪ¹) = (Pᵪ ⁿ⁺¹) {ᵪ∠{ᵪ ≧2}}

 ▲13: ƒ (…₁Δ,z,z,z,…z) = (₁Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],z,…z)
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₁Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],z,…z)

 ▲14: ƒ (…₁Δ,…b,a,z,…z) = (₁Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z)
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₁Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z)

  15: ƒ (…₁Δ,…b,c,z,…z) = (₁Δ,…b, ƒ [c ; n],z,…z)

 ▲16: ƒ (…₁Δ,…b,b,a) = 𝐒𝐮𝐦[n]
   々: ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[0] = ᶜ... Pᵪ¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {Pᵪ¹∠{Pᵪ¹⌒(Ø)}}
   々: ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[𝑒] = ᶜ...(₁Δ,…b,b,a-1)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1]

  17: ƒ (…₁Δ,…b,b,c) = (₁Δ,…b,b, ƒ [c ; n])

 ▲18: ƒ (…₂Δ,a) = 𝐒𝐮𝐦[n]
   々: ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[0] = ᶜ... Pᵪ¹ {ᵪ∠{ᵪ ≧2}} {Pᵪ¹∠{Pᵪ¹⌒(Ø)}}
   々: ᶜ... 𝐒𝐮𝐦[𝑒] = ᶜ...(₂Δ,a-1)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1]

  19: ƒ (…₂Δ,c) = (₂Δ, ƒ [c ; n])

 ▲20: ƒ (…₂Δ,z,z) = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n])
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1])

 ▲21: ƒ (…₄Δ,z,Z,z) = (₄Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z

 ▲22: ƒ (…₄Δ,z,A,z) = (₄Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z , A-1 
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z , A-1 

 ▼23: ƒ (…₄Δ,z,C,z) = (₄Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z ,【C⟼M】
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z ,【C⟼M】

    (…₄Δ,z,C,z)をC₀と置く。
    ƒ [C₀ ; n]でC₀の構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をC₁と命名する。
    ƒ [Cᵨ ; n]でCᵨの構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をCᵨ₊₁と命名する。
    C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。
    C₁以上のCᵨが命名され、Cᵨ₊₁が命名されいないのであれば、Cᵨに▼を適用することで、Cᵨ₋₁は▼の条件を満たす。C₁以上の任意のCᵨ₋ᵩが▼の条件を満たせば、Cᵨ₋₍ᵩ₊₁₎は▼の条件を満たす。

 ▲24: ƒ (…₃Δ,z,z,…z,B,z) = (₃Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z)
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₃Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],z,…z,B,z)

  25: ƒ (…₃Δ,…b,c,z,…z,B,z) = (₃Δ,…b, ƒ [c ; n],z,…z,B,z)

 ▲26: ƒ (…₃Δ,…b,a,z,…z,B,z) = (₃Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z)
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₃Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z,B,z)

 ▲27: ƒ (…₃Δ,…b,a,A,z) = (₃Δ,…b,a-1,A,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z , A-1
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z , A-1

 ▲28: ƒ (…₃Δ,…b,a,Z,z) = (₃Δ,…b,a-1,Z,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z

  29: ƒ (…₃Δ,…b,c,B,z) = (₃Δ,…b, ƒ [c ; n],B,z)

 ▼30: ƒ (…₃Δ,…b,a,C,z) = (₃Δ,…b,a-1,C,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z ,【C⟼M】
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z ,【C⟼M】

    (…₃Δ,…b,a,C,z)をC₀と置く。
    ƒ [C₀ ; n]でC₀の構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をC₁と命名する。
    ƒ [Cᵨ ; n]でCᵨの構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をCᵨ₊₁と命名する。
    C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。
    C₁以上のCᵨが命名され、Cᵨ₊₁が命名されいないのであれば、Cᵨに▼を適用することで、Cᵨ₋₁は▼の条件を満たす。C₁以上の任意のCᵨ₋ᵩが▼の条件を満たせば、Cᵨ₋₍ᵩ₊₁₎は▼の条件を満たす。

 ▲31: ƒ (…₄Δ,z,A,z,δ…) = (₄Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z,δ)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z , A-1
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z , A-1

 ▲32: ƒ (…₄Δ,z,Z,z,δ…) = (₄Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z

 ▼33: ƒ (…₄Δ,z,C,z,δ…) = (₄Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z,δ)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z ,【C⟼M】
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z ,【C⟼M】

    (…₄Δ,z,C,z,δ…)をC₀と置く。
    ƒ [C₀ ; n]でC₀の構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をC₁と命名する。
    ƒ [Cᵨ ; n]でCᵨの構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をCᵨ₊₁と命名する。
    C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。
    C₁以上のCᵨが命名され、Cᵨ₊₁が命名されいないのであれば、Cᵨに▼を適用することで、Cᵨ₋₁は▼の条件を満たす。C₁以上の任意のCᵨ₋ᵩが▼の条件を満たせば、Cᵨ₋₍ᵩ₊₁₎は▼の条件を満たす。

 ▲34: ƒ (…₃Δ,z,z,…z,B,z,δ…) = (₃Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z,δ)
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₃Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],z,…z,B,z,δ)

  35: ƒ (…₃Δ,…b,c,z,…z,B,z,δ…) = (₃Δ,…b, ƒ [c ; n],z,…z,B,z,δ)

 ▲36: ƒ (…₃Δ,…b,a,z,…z,B,z,δ…) = (₃Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z,δ)
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₃Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z,B,z,δ)

  37: ƒ (…₃Δ,…b,c,B,z,δ…) = (₃Δ,…b, ƒ [c ; n],B,z,δ)

 ▲38: ƒ (…₃Δ,…b,a,A,z,δ…) = (₃Δ,…b,a-1,A,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z,δ)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z , A-1
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z , A-1

 ▲39: ƒ (…₃Δ,…b,a,Z,z,δ…) = (₃Δ,…b,a-1,Z,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒]= 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z

 ▼40: ƒ (…₃Δ,…b,a,C,z,δ…) = (₃Δ,…b,a-1,C,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],z,δ)
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z ,【C⟼M】
   々: 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z ,【C⟼M】

    (…₃Δ,…b,a,C,z,δ…)をC₀と置く。
    ƒ [C₀ ; n]でC₀の構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をC₁と命名する。
    ƒ [Cᵨ ; n]でCᵨの構造に▼が適用されるコア数があれば、そのコア数をCᵨ₊₁と命名する。
    C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。
    C₁以上のCᵨが命名され、Cᵨ₊₁が命名されいないのであれば、Cᵨに▼を適用することで、Cᵨ₋₁は▼の条件を満たす。C₁以上の任意のCᵨ₋ᵩが▼の条件を満たせば、Cᵨ₋₍ᵩ₊₁₎は▼の条件を満たす。

  92: {ᶜ...(Ø)Pᵧʷ}-Pᵧ² = ᶜ...(Ø){Pᵧʷ⁻⁽²⁻¹⁾}  {ʷ∠{ʷ ≧2}}

  93: ᶜ...(Ø)Pᵧ¹ 〓 ᶜ...(Ø)

  94: {ᶜ...(Ø)}+Pᵧ¹ = ᶜ...(Ø)Pᵧ¹  

  95: {ᶜ...(Ø)}+Pᵧʷ = ᶜ...(Ø)Pᵧʷ {ʷ∠{ʷ ≧1}}

  96: {ᶜ... Pᵧʷ}+(Ø) = ᶜ...(Ø) {ʷ∠{ʷ ≧1}}

  97: {ᶜ...(Ø)Pᵧʷ}+Pᵧʰ = ᶜ...(Ø){Pᵧʷ+Pᵧʰ} {ʷ∠{ʷ ≧1}} {ʰ∠{ʰ ≧1}}

  98: {ᶜ...(Ø)Pᵧʷ}+Pᵧʰ =  ᶜ...(Ø){Pᵧʷ⁺⁽ʰ⁻¹⁾}  {ʷ∠{ʷ ≧1}} {ʰ∠{ʰ ≧1}}

  99: {ᶜ...(¹Ø)}+(²Ø) = ᶜ...(¹Ø)(²Ø) 

 

みくみく崩壊関数の計算規則の補足

 

  01: 任意の計算規則番号内の「z」は全て同値。
  02: 任意の計算規則番号内の「Z」は全て同値。
  03: 任意の計算規則番号内の「…z」は全て同値。
  04: 任意の「…z」のn個の「z」は全て同値。
  05: 任意の計算規則番号内の「a」は全て同値。
  06: 任意の計算規則番号内の「A」は全て同値。
  07: 任意の計算規則番号内の「c」は全て同値。
  08: 任意の計算規則番号内の「C」は全て同値。
  09: 任意の計算規則番号内の「ᵪ」は全て同値。
  10: 任意の計算規則番号内の「𝑒」は全て同値。
  11: 任意の計算規則番号内の「ʷ」は全て同値。
  12: 任意の計算規則番号内の「ʰ」は全て同値。
  13: 任意の計算規則番号内の「ʰ」と「ʷ」は、互いに同値でも同値でなくてもかまわない。
  14: 任意の計算規則番号内の「(Ø)」は全て同じ文字列。
  15: 任意の計算規則番号内の「(¹Ø)」は全て同じ文字列。
  16: 任意の計算規則番号内の「(²Ø) 」は全て同じ文字列。
  17: 任意の計算規則番号内の「(¹Ø)」と「(²Ø) 」は、互いに同じ文字列でも同じ文字列でなくてもかまわない。
  18: 任意の計算規則番号内の「b」は全て同値。
  19: 任意の計算規則番号内の「b」は、「a」もしくは「c」もしくは「z」と、同値でも同値でなくてもかまわない。
  20: 任意の計算規則番号内の「…b」は全て同じ文字列。 
  21: 任意の「…b」のn個の「b」は、同値でも同値でなくてもかまわない。
  22: 任意の「…b」のn個の「b」は、「b」もしくは「a」もしくは「c」もしくは「z」と、同値でも同値でなくてもかまわない。
  23: 任意の計算規則番号内の「B」は全て同値。
  24: 任意の等式の右辺と左辺の「 ᶜ...」は同じ文字列。 
  25: 任意の「ᶜ...」のn個の「(Ø)」は、同じ文字列でも同じ文字列でなくてもかまわない。
  26: 任意の計算規則番号内の「ᶜ...」は、「(Ø)」または「(¹Ø)」または「(²Ø) 」と、同じ文字列でも同じ文字列でなくてもかまわない。

 

急増加関数の定義

 

 𝑭 m {n} :急増加関数


 m :「みくみく崩壊関数」として許容される任意の文字列。
 ʷ :2以上の整数
 ⁿ :「n」
 ƒ [□ ; n] :「□」について急増加関数「𝑭 m {n}」の「n」を参照して「みくみく崩壊関数の計算規則」を適用する。

 としたとき、急増加関数「𝑭」の計算規則および、それに伴う関数「𝐍𝐞𝐬𝐭」を以下に定める。

  01: 𝑭 P₂¹ {n} = n+1

  02: 𝑭 P₂ʷ {n} = 𝑭ⁿ P₂ʷ⁻¹{n}

  03: 𝑭 ᶜ...(Ø)P₂ʷ {n} = 𝑭ⁿ ᶜ...(Ø)P₂ʷ⁻¹{n}

  04: 𝑭ʰ m {n} = 𝐍𝐞𝐬𝐭[ʰ]
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = n
   々: 𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = 𝑭 m {𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1]}

  05: 𝑭 ᶜ...(Ø) {n} = 𝑭 ƒ [ᶜ...(Ø) ; n] {n} 

  06 𝑭 ο₁ {n} = 𝑭 ƒ [ο₁ ; n] {n} 

 

みくみく数 Vol.6(中)

 

𝑭³⁹ ο₁ {39}  

 

経路

 

 3
 9
 27
 :
 (3)
 (3)9
 (3)27
 :
 (3)(3)
 :
 (3)(3)(3)…∞ = (9)
 :
 (∞) = (3,3)
 :
 (3,3)(3,3)(3,3)…∞ = (3,9)
 :
 (3,∞)= (3,(3))
 :
  (3,(∞)) = (3,(3,3))
 :
 (3,(3,3))(3,(3,3))(3,(3,3))…∞ = (3,(3,3)9)
 :
  (3,(3,3)(3,3)(3,3)…∞) = (3,(3,9))
 :
 (3,(3,∞)) = (3,(3,(3)))
 :
 (3,(3,(∞))) = (3,(3,(3,3)))
 :
 (3,Nest) = (9,3)
 :
 (Nest,3) = (3,3,3)
 :
 (3,Nest,3) = (9,3,3)
 :
 (Nest,3,3) = (3,3,3,3)
 :
 (∞…,3,3,3,3,3) = (3,5,3) ο₀  みくみく標準形の極限
 :
 (3,5,(∞…,3,3,3,3,3)) = (3,5,(3,5,3)) 
 :
 (3,5,(3,5,(3,5,3))) 
 :
 (3,5,Nest) =  (3,5,3,3) 
 :
 (3,5,∞…,3,3,3,3,3) = (9,5,3)
 :
 (Nest,5,3) = (3,3,5,3)
 :
 (∞…,3,3,3,3,3,5,3) = (3,5,3,5,3)
 :
 (∞……,3,5,3,5,3,5,3,5,3) = (3,25,3)
 :
 (3,25,∞…,3,3,3,3,3) = (3,25,3,5,3)
 :
 (3,25,∞…,3,3,3,3,3,5,3) = (3,25,3,5,3,5,3)
 :
 (3,25,∞……,3,5,3,5,3,5,3,5,3) = (9,25,3)
 :
 (Nest,25,3) = (3,3,25,3)
 :
 (∞…,3,3,3,3,3,25,3) = (3,5,3,25,3)
 :
 (∞……,3,5,3,5,3,5,3,5,3,25,3) =  (3,25,3,25,3)
 :
 (∞……,3,25,3,25,3,25,3,25,3) = (3,125,3)
 :
 (3,125,∞……,3,25,3,25,3,25,3,25,3) = (9,125,3)
 :
  (Nest,125,3) = (3,3,125,3)
 :
 (∞…,3,3,3,3,3,125,3) = (3,5,3,125,3)
 :
  (∞……,3,5,3,5,3,5,3,5,3,125,3) =  (3,25,3,125,3) 
 :
 (∞……,3,25,3,25,3,25,3,25,3,125,3)  = (3,125,3,125,3)  
 :
 (∞……,3,125,3,125,3,125,3,125,3) = (3,625,3)
 :
 (3,∞,3) = (3,(5),3)
 :
 (∞……,3,(5),3,(5),3,(5),3,(5),3) = (3,(5)25,3)
 :
 (3,(∞…,5,5,5,5,5),3) = (3,(5,7,5),3)
 :
 (3,(5,(7,11,7),5),3)
 :
 (3,(5,(7,(11,13,11),7),5),3)
 :
 (3,(5,(7,(11,(13,…,13),11),7),5),3) =  (3,7,3) ο₁ みくみく崩壊関数の極限
 :
  (3,7,(3,7,3))
 :
  (3,7,(3,7,(3,7,3)))
 :
 (3,7,Nest) = (3,7,3,3)
 :
 (3,7,∞…,3,3,3,3,3) = (3,7,3,5,3)
 :
 (3,7,3,(5,(7,(11,(13,(17,…,17),13),11),7),5),3) = (9,7,3)
 :
 (∞…,3,3,3,3,3,7,3) = (3,5,3,7,3)
 :
 (∞……,3,5,3,5,3,5,3,5,3,7,3) = (3,25,3,7,3)
 :
 (3,(∞…,5,5,5,5,5),3,7,3) = (3,(5,7,5),3,7,3)
 :
 (3,(5,(7,(11,(13,(17,…,17),13),11),7),5),3,7,3) = (3,7,3,7,3)
 :
 (∞……,3,7,3,7,3,7,3,7,3) = (3,49,3)
 :
 (3,(∞…,7,7,7,7,7),3) = (3,(7,11,7),3)
 :
 (3,(7,(11,(13,(17,…,17),13),11),7),3) =  (3,11,3) ο₂
 :
 (3,13,3) ο₃
 :
 (3,17,3) ο₄ 
 :
 (3,∞,3) ο_ω 

 

出典

  1. みくみく順序数Act.3.7x 研究ノート 10/30 6:20更新 (Pixiv)
  2. みくみく順序数Act.3.7x.A 研究ノート アサルトパック版 (Pixiv)
  3. みくみく順序数Act.3.7x.P 研究ノート パーフェクトパック版 (Pixiv)
  4. 巨大数で遊ぼう! 第3章 みくみく順序数の研究 (カクヨム)
  5. 葱汁あい
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