ふぃっしゅ数バージョン7 (F7)は、ふぃっしゅっしゅが2013年に考案した巨大数[1]である。ラヨ数の拡張であり、ふぃっしゅ数の中で最大である。

ふぃっしゅ数バージョン4では、神託機械によってビジービーバー関数をより大きくした。ふぃっしゅ数バージョン7では、ラヨ数の定義で使われるマイクロ言語に神託式を追加する。

関数\(f\)から関数\(RR(f)\)への汎関数RRを、以下のように定義する。

関数fに対して「"\(f(a)=b\)"; a番目のオブジェクトとb番目のオブジェクトに対して"\(f(a)=b\)"が成り立つ」という神託式 (oracle formula) を使用可能な式に加えると、より強いラヨ関数gが得られる。fgに変換する汎関数をRRとする。

したがって、新しいマイクロ言語は

  1. "ab" a番目のオブジェクトはb番目のオブジェクトの要素である
  2. "a=b" a番目のオブジェクトはb番目のオブジェクトと等しい
  3. "(¬e)" 式eの否定
  4. "(ef)" 式eと式fの論理積(and)
  5. "∃a(e)" 式eが真となるようにa番目のオブジェクトを変えることができる
  6. "f(a)=b" a番目のオブジェクトとb番目のオブジェクトに対して"\(f(a)=b\)"が成り立つ

となる。ここで、6番目の式が新しく加えた神託式である。

順序数\(\alpha\)に対するラヨ階層 \(R_\alpha (n)\) をこのように定義する。

  • \(R_0(n) = n\)
  • \(R_{\alpha+1} (n) = RR(R_\alpha) (n)\) (\(\alpha\) が後続順序数の時)
  • \(R_\alpha (n) = R_{\alpha_n} (n)\) (\(\alpha\) が極限順序数の時)

したがって、

  • \(R_1(n)\) はラヨ関数と等しい。
  • \(R_2(n)\) は \(R_1(n)\) を神託式として持つマイクロ言語のラヨ関数である。これは、ラヨ関数およびラヨ関数よりも増加速度が小さい関数(計算可能関数、ビジービーバー関数、クサイ関数)を使って定義されるいかなる関数よりも増加速度が大きい。たとえば、 \(R_2(n)\) は \(Rayo^{Rayo(n)}(n)\) よりもはるかに大きく、また \(f_0\) をラヨ関数とした時の急反復階層で \(f_{\omega_\alpha^{CK}}(n)\) よりも大きい。ここで、\(\alpha\) は \(\alpha = \omega_\alpha^{CK}\) となる最初の順序数であり、クサイ関数が急増加関数でこの順序数に到達するとされている。
  • \(R_3(n)\) は \(R_2(n)\) を神託式として組み込んだマイクロ言語のラヨ関数である。したがって、 \(R_2(n)\) よりもはるかに増加速度が大きい。

ふぃっしゅ数バージョン7は、ふぃっしゅ数バージョン6の定義で、 \(m(0,2)\) の定義を \(m(0,2)=RR\) に変えたものである。したがって、

\begin{eqnarray*} m(0,2)m(0,1)(x) &\approx& R_1(x) \\ m(0,2)^2m(0,1)(x) &\approx& R_2(x) \\ m(0,2)^3m(0,1)(x) &\approx& R_3(x) \\ m(0,3)m(0,2)m(0,1)(x) &\approx& R_\omega(x) \\ \end{eqnarray*}

このように、増加速度の見積もりは \(F_6\) と同様で、急増加関数がラヨ階層に変わったものとなる。\(F_7(x)\)の定義と増加速度は、このようになる。ここで、\(\zeta_0\) はヴェブレン階層で \(\phi(2,0)\) である。

\begin{eqnarray*} F_7(x) &:=& m(x,2)m(x,1) (x) \\ &\approx& R_{\zeta_0}(x) \end{eqnarray*}

ふぃっしゅ数バージョン7は、次のように定義され、近似される。

\begin{eqnarray*} F_7 &:=& F_7^{63}(10^{100}) \\ &\approx& R_{\zeta_0}^{63}(10^{100}) \end{eqnarray*}

問題

ふぃっしゅ数バージョン7はラヨ数の定義を元としているが、ラヨ数の定義には公理系が明示的に書かれていないために定義が不完全であるという問題があり(ただし、ラヨは哲学的な解釈では有効であると主張している)、その問題はそのままふぃっしゅ数バージョン7にも当てはまるため、ふぃっしゅ数バージョン7の定義は不完全である。

出典

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』

関連項目

日本の巨大数論

ふぃっしゅ数: バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7
写像: S変換SS変換s(n)変換m(n)変換m(m,n)変換
Aeton: おこじょ数N成長階層
バシク: 原始数列数ペア数列数バシク行列システム
mrna: 段階配列表記
p進大好きbot: 巨大数庭園数
ゆきと: ハイパー原始数列Y数列
たろう: 多変数2重リスト多重リスト
クロちゃん数: 第一クロちゃん数第二クロちゃん数第三クロちゃん数第四クロちゃん数
マシモ: マシモ関数マシモスケール
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