ふぃっしゅ数バージョン4 (F4)は、ふぃっしゅっしゅが2002年に考案した巨大数[1][2]である。急増加関数では \(f_{\omega^\text{CK}_{(\omega^{\omega+1}) 63} + 1}(63)\) 程度の大きさであり、ふぃっしゅ数の計算不可能な数の中で最小である。
s'(1)変換は、次のような関数から関数への写像（汎関数)である。
- 関数\(f\)を神託（オラクル）として持つチューリングの神託機械を考え、このマシンによるビジービーバー関数を\(s'(1)f\)とする。すなわち「n-状態 2-記号チューリングマシン＋関数\(f\)を与える神託」でセット可能な１の数の最大を\(s'(1)f(n)\)とする。
オーダーnのビージービーバー関数を\(\Sigma_n(x)\)とすると
\begin{eqnarray*} s'(1)f & = & \Sigma_1(x) \\ s'(1)^2f & = & \Sigma_2(x) \\ s'(1)^3f & = & \Sigma_3(x) \\ s'(1)^nf & = & \Sigma_n(x) \\ s'(1)^xf & = & \Sigma_x(x) \end{eqnarray*}
\(n>1\) に対する\(s'(n)\)変換を、s(n)変換と同様に次のように定義する。
\begin{eqnarray*} s'(n)f & = & s'(n-1)^{x}f(x) (\text{for } n>1) \\ \end{eqnarray*}
すなわち、\(s(n)\)変換と同じように、\(s'(n)\)変換は\(s'(n-1)\)変換を対角化する操作である。
\begin{eqnarray*} s'(2)f & = & s'(1)^xf(x) \\ s'(3)f & = & s'(2)^xf(x) \\ s'(n)f & = & s'(n-1)^xf(x) \\ \end{eqnarray*}
ここから先は、ふぃっしゅ数バージョン3の定義と同じである。
\begin{eqnarray*} ssʹ(1)f & = & sʹ(x)f(x) \\ ssʹ(n)f & = & [ssʹ(n − 1)^{x}]f(x) (\text{for } n>1) \\ F_4(x) & = & ssʹ(2)^{63}f; f(x) = x + 1 \\ F_4 & = & F_4^{63}(3) \end{eqnarray*}
FGH による近似について
en:Busy Beaverには、x次ビージービーバー関数 \(\Sigma_x(n)\) が急増加関数で \(f_{\omega_x^\text{CK}}(n)\) であるという記述が2013年1月30日からされていて、その記述は2015年2月11日に削除された。ふぃっしゅ数バージョン4はこの記述に基づいてFGHで近似をしていたが、この近似は妥当な近似ではないため削除した。どんな計算可能順序数xを取ってきてもx次ビジービーバーを神託にして計算可能な順序数の上限は\(\omega_1^\text{CK}\)である[3]。
