ふぃっしゅ数バージョン4

ふぃっしゅ数バージョン4 (F₄)は、ふぃっしゅっしゅが2002年10月31日に原型を考案し後に新たに投稿した巨大数で、ふぃっしゅ数の計算不可能な数の中で最小である。

s'(1)変換は、次のような関数から関数への写像（汎関数)である。

関数\(f\)を神託（オラクル）として持つチューリングの神託機械を考え、このマシンによるビジービーバー関数を\(s'(1)f\)とする。すなわち「n-状態 2-記号チューリングマシン＋関数\(f\)を与える神託」でセット可能な１の数の最大を\(s'(1)f(n)\)とする。

オーダーnのビージービーバー関数を\(\Sigma_n(x)\)とすると

\begin{eqnarray*} s'(1)f & = & \Sigma_1(x) \\ s'(1)^2f & = & \Sigma_2(x) \\ s'(1)^3f & = & \Sigma_3(x) \\ s'(1)^nf & = & \Sigma_n(x) \\ s'(1)^xf & = & \Sigma_x(x) \end{eqnarray*}

\(n>1\) に対する\(s'(n)\)変換を、s(n)変換と同様に次のように定義する。

\begin{eqnarray*} s'(n)f & = & s'(n-1)^{x}f(x) (\text{for } n>1) \\ \end{eqnarray*}

すなわち、\(s(n)\)変換と同じように、\(s'(n)\)変換は\(s'(n-1)\)変換を対角化する操作である。

\begin{eqnarray*} s'(2)f & = & s'(1)^xf(x) \\ s'(3)f & = & s'(2)^xf(x) \\ s'(n)f & = & s'(n-1)^xf(x) \\ \end{eqnarray*}

ここから先は、ふぃっしゅ数バージョン3の定義と同じである。

\begin{eqnarray*} ssʹ(1)f & = & sʹ(x)f(x) \\ ssʹ(n)f & = & [ssʹ(n − 1)^{x}]f(x) (\text{for } n>1) \\ F_4(x) & = & ssʹ(2)^{63}f; f(x) = x + 1 \\ F_4 & = & F_4^{63}(3) \end{eqnarray*}

FGH による近似について

en:Busy Beaverには、x次ビージービーバー関数 \(\Sigma_x(n)\) が急増加関数で \(f_{\omega_x^\text{CK}}(n)\) であるという記述が2013年1月30日からされていて、その記述は2015年2月11日に削除された。ふぃっしゅ数バージョン4はこの記述に基づいてFGHで近似をしていたが、この近似は妥当な近似ではないため削除した。どんな計算可能順序数xを取ってきてもx次ビジービーバーを神託にして計算可能な順序数の上限は\(\omega_1^\text{CK}\)である。

またオラクルチューリングマシンに対するビジービーバー関数は定式化の方法が一意的でないため、それを用いて具体的な巨大数を定義するためには定式化を固定する必要がある。現在ふぃっしゅ数バージョン4として知られる数の定義にも後述する旧バージョンの定義にも、オラクルチューリングマシンに対するビジービーバー関数の定義へのアクセス可能なリンクが含まれていないため、ふぃっしゅっしゅの意図した定式化が不明であるという問題が巨大数研究 Wiki ユーザーのOkkuuに指摘された。

旧バージョン

現在のバージョンと2002年10月31日にふぃっしゅ数バージョン4という名称でふぃっしゅっしゅが投稿した数は異なる。また双方のバージョンに対して、後にOkkuuがオラクルチューリングマシンに対するビジービーバー関数の定式化を明示した定義の代替案を投稿した。

出典

関連項目

日本の巨大数論

ふぃっしゅ数: バージョン1・バージョン2・バージョン3・バージョン4・バージョン5・バージョン6・バージョン7
写像: S変換・SS変換・s(n)変換・m(n)変換・m(m,n)変換
Aeton: おこじょ数・N成長階層
バシク: 原始数列数・ペア数列数・バシク行列システム
mrna: 段階配列表記
p進大好きbot: 巨大数庭園数
ゆきと: ハイパー原始数列・Y数列
たろう: 多変数・2重リスト・多重リスト
クロちゃん数: 第一クロちゃん数・第二クロちゃん数・第三クロちゃん数・第四クロちゃん数
マシモ: マシモ関数・マシモスケール
本: 巨大数論・寿司虚空編
大会: 東方巨大数・幻想巨大数・即席巨大数・式神巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト