残念ながら今の計算規則ではwell-definedでありません。\(f_{\{0,0\}}(x)\)等を計算する方法が存在しないためです。

ごめんなさい、忘れてました。

\(f_{**\{*,0\}**}=f_{**\{*\}**}\)

のように減らすことができます。

そのルールを追加した場合もwell-definedではありません。\(f_{1,0,1}(x)\)等を計算する方法が２つ以上存在し、選択する手順によって値が異なるからです。

• \(f_{1,0,1}(2) = f_{1,2,0}(2) = f_{1,2}(2) = \cdots\)
• \(f_{1,0,1}(2) = f_{0,0,1}^2(2) = f_{0,0,1}(f_{0,2,0}(2)) = f_{0,0,1}(f_{0,2}(2)) = \cdots\)

（前者より後者の方が圧倒的に大きくなります）

何度もすみません。初心者なもので

\(bm_1(x)=...\)より上の式については、一番上の式から優先的に計算する。

「bm2を以下のように定義する。」より下については一つ式を追加して、

\(f_{\{n+1,*\}**}(x)=f_{\{n,*\}**}^x(x)\)

を最優先、その他の時は上の式から優先的に計算する。これでいけますか？

というか、\(bm_1(x)=\)の一つ上と、\(bm_2(x)=\)の二つ上、一つ上をそれぞれ、

\(\begin{eqnarray*}f_{\{●,0,n+1,*\}}(x)&=&f_{\{●,x,n,*\}}(x)\\f_{●●\{●,0,n+1,*\}**}(x)&=&f_{●●\{●,x,n,*\}**}(x)\\f_{●●\{0\}\{n+1,*\}**}(x)&=&f_{●●\{(x\ pieces\ of\ x)\}\{n,*\}**}(x)\end{eqnarray*}\)(ここで、●は0が、●●は{0}が0個以上あることを意味する)

と置き換えた方が綺麗でいいですか？

お構いなく。こういうのをきっちり書くのは難しいものですからね。

上から順の適用でもまだwell-definedではありません。\(f_{\{0,1,0,1\}}(x)\)等を計算する方法（であって上から同じ位置に記述されている計算ルールを適用するもの）が複数存在してしまい、選択する手順によって異なる値が出力されてしまうからです。上からだけでなく、より細かく優先順位を指定する必要があります。

ごめんなさい編集しました。下の定義でどうでしょう

Wainer階層に関するFGHにおける評価では、\(bm_1(x)\)は\(f_{\omega^{\omega}}(x)\)と\(f_{\omega^{\omega}+1}(x)\)の間の増大度を持ち、\(bm_2(x)\)は\(f_{\omega^{\omega^2}}(x)\)と\(f_{\omega^{\omega^2}+1}(x)\)の間の増大度を持つと思います。\(BM_1\)はおよそ\(f_{\omega^{\omega}+1}(64)\)くらいの大きさで、\(BM_2\)はおよそ\(f_{\omega^{\omega^2}+1}(64)\)くらいの大きさだと思います。