銅蟲さんと色々話したので、ざっくりとまとめておきます。

たとえば巨大関数の性質を見極めるために FGH による順序数の評価をしたり、支配や対角化といった概念を導入したりすることは、洗練されていて価値があると思うのですが、それに対してマシモ関数による巨大関数と実数との対応付けは現時点だとそこまでの洗練が無い、言い換えれば蓄積された知見が無いので数学的な価値がはっきりしないという側面があるとは思います。もちろん出たばかりなのでそれで問題は無くて、大袈裟に言えば、一部の意見はクロネッカーによる集合論への批判に似たところもあるではないかと思います。その気持ちがわからないこともありません。また、マシモ関数がより強い価値を持つためには、たろう氏が行なったような構造の見極めで壁を超える必要があるのではないでしょうか。

銅蟲さんは L 空間や D 関数の階層で FGH を用いていない一貫性の無さに疑問を感じているようです。それには私も同意見で、現時点で順序数との対応付けができてない階層ではあるにせよ、この方針のままだと今後も新しい概念に対して場当たりな定義の追加をすることになりかねない、ということになってしまいます。特に、更に大きな巨大関数について考える必要が出てきた時のことを考えると、もっと良い方法は無いものだろうかと思います。

現時点でのマシモ関数について、私は以下の考えを持っています。

• 実数による巨大関数の階層と、その整数部からなる単一の指標が得られる
  • 順序数でも単一の指標にはなっていた
  • 実数はその存在を眺めるだけなら順序数のように高度な数学への理解を必要としないため、関数の大きさを気分で味うこともできる
    • 『寿司 虚空編』のマシモ氏に限らず、より広い人々から数学への関心を得ようとする人々の助けになる可能性がある
• 定義の洗練されていないところが見えてきた
  • いくつか arbitrary なところがある
    • 今後の拡張も恣意的に行うしかない状態にある
  • 巨大関数の重要な性質が見えてこない
    • 現時点でのマシモ関数のみから対角化などの話に発展しない
    • たとえば実数論における何らかの概念と順序数を対応付けできないか？

ちょっと過度な期待をしすぎているのかも知れませんが、考えを整理する目的も含めて投稿しておきます。

数学的な美しさを追求すると、最終的にはFBさんの「実際には、このアイデアは恣意的で、不要に複雑で、究極的には何も新しい概念や洞察をもたらさない」というコメントになると思います。目的は巨大数を並べて楽しむ、というところにとどめておくのがいいと思います。数学的な洞察を高めるためには、マシモスケールから離れて順序数そのものを扱う必要がありますが、そういったことに興味を持つきっかけになれば十分だろうと考えています。

複数の関数をつなげている時点で「洗練された定義」ではないんですよね。洗練されているかどうかは、マシモ関数ではなくて、個々のサブ関数に対して考えることになりますが、そういう意味で最も面白いのはH関数だろうと思っています。

「いくつか arbitrary なところがある」というのは、あまり正確ではありません。基本的に、この関数は全部が強力に arbitrary です。それはこの関数の本質です。

なるほど。確かにそうですね。単に目的を履き違えていたようです。たまに Twitter で「巨大数」という文字列を検索しているのですが、そこで解析学の視点から巨大数を作ろうとしている人がいたのを思い出して、頭の中で話をこじつけてしまいました。

マシモ関数の目的からすれば、銅蟲さんが表に色を付けていましたが、ああいった形が最も適切な触れ方だと思います。

色分けは、だんだん強力な関数になっていく様子が分かりやすくていいですよね。

マシモスケールの表に、直接色をつけることはできるのかな…。

たとえばこうやると可能です。

銅蟲さんの作ったグラデーションが綺麗なので、これをそのまま使ってマシモスケールの表を更新してみます。画像編集ソフトウェアのスポイトツールで色の値はわかりますね。

更新しておきました。画像が作成されてから表の 100 より上のところにいくつか追記されていますが、仮に画像のほうが更新されたとしてもちょっと色をいじるだけですから、すぐに終わると思います。

これはいいですね。ありがとうございます。110〜119の色を更新しておきました。