Notation d'Archimède

La notation googologique la plus ancienne de l'histoire de l'humanité a été inventée par Archimède (vers 287 - vers 212 avant J.-C.) dans le livre L'Arénaire (grec ancien : Αρχιμήδης Ψαµµίτης), dans le but de calculer la quantité de grains de sable que l'univers peut contenir (en supposant que tout l'univers soit rempli de sable). Le plus grand nombre qui peut être défini avec ce système est $10^{8\times 10^{16}}$.

Définition

Numération grecque

La numération grecque de l'Antiquité était utilisé à l'époque. Actuellement, ce sont les chiffres arabes que l'on utilise le plus fréquemment en Grèce.

1 αʹ	10 ιʹ	100 ρʹ	1000 ͵α
2 βʹ	20 κʹ	200 σʹ	2000 ͵β
3 γʹ	30 λʹ	300 τʹ	3000 ͵γ
4 δʹ	40 μʹ	400 υʹ	4000 ͵δ
5 εʹ	50 νʹ	500 φʹ	5000 ͵ε
6 ϛʹ	60 ξʹ	600 χʹ	6000 ͵ϛ
7 ζʹ	70 οʹ	700 ψʹ	7000 ͵ζ
8 ηʹ	80 πʹ	800 ωʹ	8000 ͵η
9 θʹ	90 ϟʹ	900 ϡʹ	9000 ͵θ

Le système de chiffres grecs utilise le principe de l'additif, par exemple : ͵θτπεʹ = 9000+300+80+5 = 9385

Dix mille (une myriade; μυριάς en grec ancien) grecs anciens ont écrit comme "M" et quantité de myriades ils ont écrit avant "M". Par exemple :

͵θτπεM͵θτπεʹ = 9385 9385

Comme le numéral grec utilise la myriade comme unité de base, l'unité à 4 chiffres est utilisée comme séparateur décimal dans cet article.

Ainsi, le plus grand nombre que les Grecs anciens pouvaient écrire était ,θϡϟθM,θϡϟθ' = 9999 9999.

Notation d'Archimède

Tous les nombres naturels jusqu'à la myriade de myriades (1 0000 0000) sont des nombres premiers. Il est traduit de ἀριθμοὶ ἐς τὰς μυρίας μυριάδας πρώτοι καλουμένοι comme suit :

• ἀριθμοὶ = nombres
• μυρίας = myriade de
• μυρίας μυριάδας = myriades de myriades
• ἀριθμοὶ ἐς τὰς μυρίας μυριάδας = Les nombres des myriades de myriades
• πρώτοι = premiers
• πρώτοι καλουμένοι = premiers appelants
• ἀριθμοὶ ἐς τὰς μυρίας μυριάδας πρώτοι καλουμένοι = Les nombres des myriades de myriades appelées en premier lieu

L'unité des (n+1)ièmes nombres est la myriade des myriades de n-ièmes nombres. Et ainsi de suite jusqu'à 1 0000 0000-ème nombres.

Exemples

• ιʹ μονάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν = ten of units of second numbers $=10\times 10^{8\times (2-1)}=10^{9}$
• μυρίαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν = myriad of myriads of second numbers=αʹ μονάδα τῶν τρίτων ἀριθμῶν = one unit of third order $=10^{8\times(3-1)}= 10^{16}$
• ιʹ μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν = ten myriads of third numbers $=10\times 10^{4}\times 10^{8\times (3-1)}=10^{21}$
• ιʹ μονάδες τῶν πέμπτων ἀριθμῶν = ten of units of fifth numbers $=10\times 10^{8\times (5-1)}=10^{33}$
• ιʹ μυριάδες τῶν ἕκτων ἀριθμῶν = ten myriads of sixth numbers $=10\times 10^{4}\times 10^{8\times (6-1)}=10^{45}$
• ͵α μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν = thousand of units of seventh numbers $=10^{3}\times 10^{8\times (7-1)}=10^{51}$ = χιλίαι μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν
• ͵α μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν = thousand of myriads of eighth numbers= $=10^3\times10^4\times10^{8\times(8-1)}=10^{63}$
• ͵θτπεʹ μονάδες τῶν μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν = 9385 units of 1 0000 0000-ths numbers = 9385 × 10^{7 9999 9992}

In general, each natural number up to 10^{8 0000 0000} can be uniquely written in this form:

$N=\sum _{i=1}^{k}$(Number of myriads of i-ths numbers+Number of units of i-ths numbers)

Extension

All natural numbers up to myriada of myriads of 1 0000 0000ths numbers are numbers of first period (ἀριθμοὶ πρώτας περιόδου). The unit of first numbers of (n+1)th period is myriada of myriads of 1 0000 0000ths numbers of the n-th period.

μυρίαι μυριάδες τᾶς δευτέρας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν μονὰς καλείσθω τᾶς δευτέρας περιόδου δευτέρων ἀριθμῶν

= the myriad of myriads of first numbers of 2nd period is equal to the unit of 2-ths numbers of 2nd period $=10^{8\times 10^8 +8}$

$10^{16\times 10^8}$ is unit of first numbers of 3rd period

$10^{24\times 10^8}$ is unit of first numbers of 4th period

$10^{32\times 10^8}$ is unit of first numbers of 5th period

and so on, up to:

μυριακισμυριοστᾶς περιόδου μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας

= myriad of myriads of 1 0000 0000th numbers of 1 0000 0000th period $=10^{8\times 10^{16}}$

Voir aussi

• Chronologie de la googologie