Wiki Googologie
Advertisement
Wiki Googologie

Le premier nombre de Skewes, écrit Sk1, est une borne supérieure du plus petit nombre n tel que π(n) > li(n) soit vrai, où π(n) est la fonction de compte des nombres premiers et li(n) est la intégrale logarithmique. Cette limite a été prouvée pour la première fois en supposant l'hypothèse de Riemann.[1][2][3] Elle est égale à . Dans la notation hyper-E, elle s'exprime par E(e)79#3 ≈ E34#3. Le nombre porte le nom de Stanley Skewes, qui a trouvé la limite en 1933.

Le deuxième nombre de Skewes, Sk2, est une borne supérieure étroitement liée au plus petit nombre n tel que π(n) > li(n) existe, mais cette borne, contrairement à la précédente, a été prouvée sans supposer l'hypothèse de Riemann.[4] Elle est égale à , ce qui est plus grand que le nombre de Skewes original. Dans la notation hyper-E, elle s'exprime par E(e)7.705#4 ≈ E963#3 ≈ E3#4.

Dès à présent, on sait que le moindre exemple n de π(n) > li(n) doit se situer entre 1019[5] et 1.4 × 10316.[6]

Références

  1. Skewes, S. "On the Difference π(x)-li(x). (I)" J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933. doi:10.1112/jlms/s1-8.4.277
  2. Skewes Number, Wolfram Mathworld
  3. Nombre de Skewes, Wikipédia
  4. Skewes, S. "On the Difference π(x)-li x (II)" Proc. London Math. Soc. 5, 48-70, 1955. doi:https://doi.org/10.1112/plms/s3-5.1.48
  5. Büthe, Jan (2015), An analytic method for bounding ψ(x), arXiv:1511.02032
  6. Stoll, Douglas; Demichel, Patrick (2011), "The impact of ζ(s) complex zeros on π(x) for x<", Mathematics of Computation, 80 (276): 2381–2394, doi:10.1090/S0025-5718-2011-02477-4
Advertisement