Application s(n)

L'application s(n) est une fonctionnelle, c'est-à-dire une fonction qui fait correspondre des fonctions à des fonctions. Elle a été définie par le googologue japonais Fish en 2002 et utilisée pour définir le troisième nombre de Fish. Le nom de l'application a été tiré du mot japonais shazou, qui signifie mise en correspondance, qui signifie application.

Définition

• s(1)f = g; g(x)=f^x(x)
• s(n)f = g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (si n>1)

Analyse

Soit f(x) = x+1, et le taux de croissance peut être calculé comme suit :

• f²(x) = x+2
• f³(x) = x+3
• s(1)f(x) = f^x(x) = x+x = 2x
• s(1)²f(x) = g^x(x) = 2^x x > 2^x, where g(x)=2x
• s(1)³f(x) > h^x(x) > 2↑↑x , where h(x) = 2^x
• s(2)f(x) = s(1)^xf(x) > 2↑^xx > A(x,x) = A(1,0,x) ≈ f_ω(x)

Ici, A est la fonction d'Ackermann multivariable, où le taux de croissance dans la hiérarchie de croissance rapide est :

A(..., a₃, a₂, a₁, a₀, n) ≈ $f_{... + \omega^3 \cdot; a_3 + \omega^2 \cdot; a_2 + \omega \cdot; a_1 + a_0}(n)$

Soit f(n) = A(X, b, n) (X est un vecteur de longueur quelconque), et : Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{array} »): {\displaystyle \begin{array}{rl} A(X, b+1, n) & = & A(X, b, A(X, b+1, n-1)) \\ & = & f(A(X , b+1, n-1)) \\ & = & f^2(A(X, b+1, n-2)) \\ & = & … = f^n(A(X, b+1, 0)) \\ & \approx & f^n(n) \end{array} }

Therefore, comparing the 3 functions,

• \(s(1)f(x) = f^x(x)\)
• \(f_{\alpha+1}(n) = f^n_\alpha(n)\)
• \(A(X, b+1, n) = f^n(n)\) where \(f(n) = A(X, b, n)\)

they all have similar growth rate. \(s(1)\) map has the same effect of adding 1 to the ordinal in FGH and adding 1 to the second parameter from right in the Ackermann function. This results in:

\begin{eqnarray*} s(1)s(2)f(x) & \approx & A(1,1,x) \approx f_{\omega + 1}(x) \\ s(1)^2 s(2)f(x) & \approx & A(1,2,x) \approx f_{\omega + 2}(x) \\ s(1)^n s(2)f(x) & \approx & A(1,n,x) \approx f_{\omega + n}(x) \end{eqnarray*}

and by diagonizing \(s(1)\) again,

\begin{eqnarray*} s(2)^2 f(x) = s(1)^x s(2)f(x) \approx A(1,x,x) = A(2,0,x) \approx f_{\omega \times 2}(x) \end{eqnarray*}

Here, the calculation of \(s(2)^2f(3)\) goes as follows:

\begin{eqnarray*} s(2)^2f(3) &=& s(1)^3s(2) f(3) \\ &=& [s(1)^2 s(2)f]^3(3) \\ &=& [s(1)^2 s(2)f]^2[[s(1)s(2)f]^3(3)] \end{eqnarray*}

For this calculation, by changing \(s(2)^2 f\) to \(f_{\omega \times 2}\), \(s(1)^3 s(2)f\) to \(f_{\omega+3}\), \(s(1)^2s(2)f\) to \(f_{\omega+2}\), and \(s(1)s(2)f\) to \(f_{\omega+1}\), respectively, the following is obtained:

\begin{eqnarray*} f_{\omega \times 2}(3) &=& f_{\omega+3}(3) \\ &=& f_{\omega+2}^3(3) \\ &=& f_{\omega+2}^2(f_{\omega+1}^3(3)) \end{eqnarray*}

which shows exactly how FGH is calculated.

Calculation goes in the same way:

\begin{eqnarray*} s(2)^n f(x) & \approx & A(n,0,x) \approx f_{\omega \times n}(x) \\ s(3)f(x) & = & s(2)^{x}f(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \approx f_{\omega^2}(x) \\ s(3)^2 f(x) & \approx & A(2,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times 2}(x) \\ s(3)^n f(x) & \approx & A(n,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times n}(x) \\ s(4)f(x) & = & s(3)^{x}f(x) \approx A(x,0,0,x) = A(1,0,0,0,x) \approx f_{\omega^3}(x) \\ s(1)^4 s(2)^3 s(3)^2s(4)f(x) & \approx & A(1,2,3,4,x) \approx f_{\omega^3+\omega^2 \times 2+\omega \times 3 + 4}(x) \\ s(5)f(x) & \approx & f_{\omega^4}(x) \\ s(6)f(x) & \approx & f_{\omega^5}(x) \\ s(n)f(x) & \approx & f_{\omega^{n-1}}(x) \\ s(x)f(x) & \approx & f_{\omega^\omega}(x) \end{eqnarray*}

Therefore, by applying \(s(x)\) map, which diagonizes \(s(n)\) map, to the function \(f(x)=x+1\), the growth rate is \(f_{\omega^\omega}(x)\), similar to the notation des puissances itérées and the fonction d'Ackermann multivariable.