Application s(n)

L'application s(n) est une fonctionnelle, c'est-à-dire une fonction qui fait correspondre des fonctions à des fonctions. Elle a été définie par le googologue japonais Fish en 2002 et utilisée pour définir le troisième nombre de Fish. Le nom de l'application a été tiré du mot japonais shazou, qui signifie mise en correspondance, qui signifie application.

Définition

• s(1)f = g; g(x)=f^x(x)
• s(n)f = g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (si n>1)

Analyse

Soit f(x) = x+1, et le taux de croissance peut être calculé comme suit :

• f²(x) = x+2
• f³(x) = x+3
• s(1)f(x) = f^x(x) = x+x = 2x
• s(1)²f(x) = g^x(x) = 2^x x > 2^x, where g(x)=2x
• s(1)³f(x) > h^x(x) > 2↑↑x , where h(x) = 2^x
• s(2)f(x) = s(1)^xf(x) > 2↑^xx > A(x,x) = A(1,0,x) ≈ f_ω(x)

Ici, A est la fonction d'Ackermann multivariable, où le taux de croissance dans la hiérarchie de croissance rapide (HCR) est :

A(..., a₃, a₂, a₁, a₀, n) ≈ $f_{... + \omega^3 \cdot; a_3 + \omega^2 \cdot; a_2 + \omega \cdot; a_1 + a_0}(n)$

Soit f(n) = A(X, b, n) (X est un vecteur de longueur quelconque), et : $\begin{array}{rl} A(X, b+1, n) & = & A(X, b, A(X, b+1, n-1)) \\ & = & f(A(X , b+1, n-1)) \\ & = & f^2(A(X, b+1, n-2)) \\ & = & f^n(A(X, b+1, 0)) \\ & \approx & f^n(n) \end{array}$

Par conséquent, en comparant les 3 fonctions,

• s(1)f(x) = f^x(x)
• $f_{\alpha+1}(n) = f^n_\alpha(n)$
• A(X, b+1, n) = fⁿ(n) where f(n) = A(X, b, n)

ils ont tous un taux de croissance similaire. L'application de s(1) a le même effet que d'ajouter 1 à l'ordinal dans HCR et d'ajouter 1 au deuxième paramètre à partir de la droite dans la fonction d'Ackermann. On obtient ainsi :

• s(1)s(2)f(x) ≈ A(1,1,x) ≈ $f_{\omega + 1}(x)$
• s(1)² s(2)f(x) ≈ A(1,2,x) ≈ $f_{\omega + 2}(x)$
• s(1)ⁿ s(2)f(x) ≈ A(1,n,x) ≈ $f_{\omega + n}(x)$

et en diagonalisant s(1) une fois de plus,

s(2)² f(x) = s(1)^x s(2)f(x) ≈ A(1,x,x) = A(2,0,x) ≈ $f_{\omega \times 2}(x)$

Ici, le calcul de s(2)²f(3) se fait comme suit :

s(2)²f(3) = s(1)³s(2) f(3) = [s(1)² s(2)f]³(3) = [s(1)² s(2)f]²[[s(1)s(2)f]³(3)]

For this calculation, by changing \(s(2)^2 f\) to \(f_{\omega \times 2}\), \(s(1)^3 s(2)f\) to \(f_{\omega+3}\), \(s(1)^2s(2)f\) to \(f_{\omega+2}\), and \(s(1)s(2)f\) to \(f_{\omega+1}\), respectively, the following is obtained: Pour ce calcul, en remplaçant s(2)² f par $f_{\omega \times 2}$, s(1)³ s(2)f par $f_{\omega+3}$, s(1)²s(2)f à $f_{\omega+2}$, et s(1)s(2)f à $f_{\omega+1}$, respectivement, on obtient ce qui suit :

$f_{\omega \times 2}(3) = f_{\omega+3}(3) = f_{\omega+2}^3(3) = f_{\omega+2}^2(f_{\omega+1}^3(3))$

qui montre exactement comment le HCR est calculé.

Le calcul se fait de la même manière :

$\begin{array}{rl} s(2)^n f(x) & \approx & A(n,0,x) \approx f_{\omega \times n}(x) \\ s(3)f(x) & = & s(2)^{x}f(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \approx f_{\omega^2}(x) \\ s(3)^2 f(x) & \approx & A(2,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times 2}(x) \\ s(3)^n f(x) & \approx & A(n,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times n}(x) \\ s(4)f(x) & = & s(3)^{x}f(x) \approx A(x,0,0,x) = A(1,0,0,0,x) \approx f_{\omega^3}(x) \\ s(1)^4 s(2)^3 s(3)^2s(4)f(x) & \approx & A(1,2,3,4,x) \approx f_{\omega^3+\omega^2 \times 2+\omega \times 3 + 4}(x) \\ s(5)f(x) & \approx & f_{\omega^4}(x) \\ s(6)f(x) & \approx & f_{\omega^5}(x) \\ s(n)f(x) & \approx & f_{\omega^{n-1}}(x) \\ s(x)f(x) & \approx & f_{\omega^\omega}(x) \end{array}$

Par conséquent, en appliquant l'application s(x), qui diagonise l'application s(n), à la fonction f(x)=x+1, le taux de croissance est $f_{\omega^\omega}(x)$, similaire à la notation des puissances itérées et à la fonction d'Ackermann multivariable.

En fait, la carte s(n) correspond exactement à HCR comme suit.

$\begin{array}{rl} f_{\omega} & = & s(2)f_0 \\ f_{\omega^2} & = & s(3)f_0 \\ f_{\omega^n} & = & s(n+1)f_0 \\ f_{\omega^2 \times a_2 + \omega \times a_1 + a_0} & = & s(1)^{a_0}s(2)^{a_1}s(3)^{a+2}f_0 \\ f_{\omega^n \times a_n ... + \omega^2 \times a_2 + \omega \times a_1 + a_0} & = & s(1)^{a_0}s(2)^{a_1}s(3)^{a_2}...s(n+1)^{a_n}f_0 \\ \end{array}$