Wiki Googologie
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L'application s(n) est une fonctionnelle, c'est-à-dire une fonction qui fait correspondre des fonctions à des fonctions. Elle a été définie par le googologue japonais Fish en 2002[1][2] et utilisée pour définir le troisième nombre de Fish. Le nom de l'application a été tiré du mot japonais shazou, qui signifie mise en correspondance, qui signifie application.

Définition

  • s(1)f = g; g(x)=fx(x)
  • s(n)f = g; g(x)=[s(n-1)x]f(x) (si n>1)

Analyse

Soit f(x) = x+1, et le taux de croissance peut être calculé comme suit :

  • f2(x) = x+2
  • f3(x) = x+3
  • s(1)f(x) = fx(x) = x+x = 2x
  • s(1)2f(x) = gx(x) = 2x x > 2x, where g(x)=2x
  • s(1)3f(x) > hx(x) > 2↑↑x , where h(x) = 2x
  • s(2)f(x) = s(1)xf(x) > 2↑xx > A(x,x) = A(1,0,x) ≈ fω(x)

Ici, A est la fonction d'Ackermann multivariable, où le taux de croissance dans la hiérarchie de croissance rapide (HCR) est :

A(..., a3, a2, a1, a0, n) ≈

Soit f(n) = A(X, b, n) (X est un vecteur de longueur quelconque), et :

Par conséquent, en comparant les 3 fonctions,

  • s(1)f(x) = fx(x)
  • A(X, b+1, n) = fn(n) where f(n) = A(X, b, n)

ils ont tous un taux de croissance similaire. L'application de s(1) a le même effet que d'ajouter 1 à l'ordinal dans HCR et d'ajouter 1 au deuxième paramètre à partir de la droite dans la fonction d'Ackermann. On obtient ainsi :

  • s(1)s(2)f(x) ≈ A(1,1,x) ≈
  • s(1)2 s(2)f(x) ≈ A(1,2,x) ≈
  • s(1)n s(2)f(x) ≈ A(1,n,x) ≈

et en diagonalisant s(1) une fois de plus,

s(2)2 f(x) = s(1)x s(2)f(x) ≈ A(1,x,x) = A(2,0,x) ≈

Ici, le calcul de s(2)2f(3) se fait comme suit :

s(2)2f(3) = s(1)3s(2) f(3) = [s(1)2 s(2)f]3(3) = [s(1)2 s(2)f]2[[s(1)s(2)f]3(3)]

For this calculation, by changing \(s(2)^2 f\) to \(f_{\omega \times 2}\), \(s(1)^3 s(2)f\) to \(f_{\omega+3}\), \(s(1)^2s(2)f\) to \(f_{\omega+2}\), and \(s(1)s(2)f\) to \(f_{\omega+1}\), respectively, the following is obtained: Pour ce calcul, en remplaçant s(2)2 f par , s(1)3 s(2)f par , s(1)2s(2)f à , et s(1)s(2)f à , respectivement, on obtient ce qui suit :

qui montre exactement comment le HCR est calculé.

Le calcul se fait de la même manière :

Par conséquent, en appliquant l'application s(x), qui diagonise l'application s(n), à la fonction f(x)=x+1, le taux de croissance est , similaire à la notation des puissances itérées et à la fonction d'Ackermann multivariable.

En fait, la carte s(n) correspond exactement à HCR comme suit.[2]

Références

  1. Fish 巨大数論 (Googologie) , 1ère édition 2013, 2ème édition 2017.
  2. 2,0 et 2,1 Fish "巨大数の世界 (The world of googology)" 数学セミナー (Mathematics seminar) Juillet, 2019. pp. 28-31.
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