Wiki Googologie
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L'application m(n) est une fonction googologique qui opère sur des fonctions. Elle a été définie par le googologue japonais Fish en 2003[1][2] et utilisée pour définir le cinquième nombre de Fish. Son système atteint un taux de croissance de , similaire à la fonction hydre de Kirby-Paris. Le nom de la carte a été tiré d'un mot mapping.

Définition et taux de croissance

Chaque m(n) est une fonction avec un domaine et un codomaine identiques. m(1) a un domaine et un codomaine , et chaque m(n + 1) est , où D est le (co)domaine de m(n). Donc , , , et ainsi de suite.

  • m(1)(x) = xx
  • m(2)f(x) = fx(x)

où m(2) correspond à s(1) de l'application s(n) ; m(2)=s(1).

L'application m(3) est une fonction qui fait correspondre une "fonction qui fait correspondre des fonctions à une fonction" à une "fonction qui fait correspondre des fonctions à une fonction", définie et calculée comme suit (les parenthèses sont écrites ici de manière verbeuse pour indiquer l'ordre de calcul)

((m(3)m(2))f)(x) = (m(2)xf)(x) = (s(1)xf)(x) = (s(2)f)(x)

Par conséquent, m(3) m(2) = s(2) dans l'application s(x), et m(3)2 m(2) est calculé comme s(3) comme suit.

Le calcul se poursuit de la même manière, avec une approximation de la hiérarchie de croissance rapide,

où f(x) = m(1)(x) = xx. En général

  • M0 = ensemble d'entiers positifs
  • Mn+1 = ensemble des fonctions qui transforment Mn en Mn

L'application m(n) (n ≥ 1) appartient à Mn et est définie comme suit.

Pour , est défini comme suit.
Pour , est défini comme suit.
Pour , est défini comme suit.
……
Pour , est défini comme suit.

Par conséquent, en désignant f1 par f et f0 par x,

Et ça marche comme ça.

  • m(4) m(3) m(2) m(1)(x) = m(3)^x m(2) m(1)(x)
  • m(3) [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) = [m(3)^{x} m(2)]^x m(1)(x)
  • m(3)2 [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x)
  • m(3)a [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x)
  • [ m(4) m(3) ]2 m(2) m(1)(x) = [ m(3)x ] [ m(3)x m(2)] m(1)(x)
  • [ m(4) m(3) ]3 m(2) m(1)(x)
  • [ m(4) m(3) ]a m(2) m(1)(x)
  • [ m(4)2 m(3) ] m(2) m(1)(x)
  • m(3) \bigl[ m(4)2 m(3) ] m(2) m(1)(x)
  • [ m(4) m(3) ] [ m(4)2 m(3) ] m(2) m(1)(x)
  • [ m(4) m(3) ]2 [ m(4)2 m(3) ] m(2) m(1)(x)
  • [ m(4) m(3) ]3 [ m(4)2 m(3) ] m(2) m(1)(x)
  • [ m(4)2 m(3) ]2 m(2) m(1)(x)
  • [ m(4)2 m(3) ]3 m(2) m(1)(x)
  • m(4)3 m(3) m(2) m(1)(x)
  • m(4)4 m(3) m(2) m(1)(x)
  • m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x)

Il a été démontré que

et de la même manière,

Exemples

Utilisation de la fonction d'Ackermann multivariable de Taro pour l'approximation.

\begin{eqnarray*} m(2)m(3)m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,0,x)]^x \approx A(1,1,x) \\ m(2)^2m(3)m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,1,x)]^x \approx A(1,2,x) \\ [m(3)m(2)]^2m(1)(x) &=& m(2)^x[m(3)m(2)]m(1)(x) \approx A(1,x,x)(x) = A(2,0,x) \\ m(3)^2m(2)m(1)(x) &=& [m(3)m(2)]^xm(1)(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \\ m(2)m(3)^2m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,0,0,x)]^x \approx A(1,0,1,x) \\ m(3)m(2)[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& m(2)^x[A(1,0,0,x)] \approx A(1,1,0,x) \\ m(2)[m(3)m(2)][m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& [A(1,1,0,x)]^x \approx A(1,1,1,x) \\ [m(3)m(2)]^2[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& A(1,2,0,x) \\ [m(3)m(2)]^3[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& A(1,3,0,x) \\ [m(3)^2m(2)]^2m(1)(x) &=& [m(3)m(2)]^x[m(3)^2m(2)]m(1)(x) \approx A(2,0,0,x) \\ [m(3)^2m(2)]^3m(1)(x) &\approx& A(3,0,0,x) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(3) &=& m(3)^3m(2)m(1)(3) = [m(3)^2m(2)]^3m(1)(3) \approx A(3,0,0,3) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(4) &=& m(3)^4m(2)m(1)(3) = [m(3)^3m(2)]^4m(1)(4) \approx A(4,0,0,0,4) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(5) &=& A(5,0,0,0,0,5) \end{eqnarray*}

Pour F5(x) \(= ((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)\)

  • \(F_5(3) \approx 10 \uparrow^3 257 \)
  • \(F_5(4) \approx A(4,0,0,0,4) \approx f_{\omega^4}(4)\)
  • \(F_5(5) \approx f_{\omega^{\omega^5}}(5)\)
  • \(F_5(6) \approx f_{\omega^{\omega^{\omega^6}}}(6)\)
  • \(F_5(102) \approx f_{\varepsilon_0}(100)\)
  • \(F_5(x) \approx f_{\varepsilon_0}(x-2)\)

Arbre d'hydre

La structure de m(n) est comme l'hydre de Kirby-Paris et l'ordinal correspondant.[3] Dans l'équation

[m(4) m(3)]3 correspond à ω×3, m(4)2 correspond à 2, et m(4)2 m(3) correspond à ω2.

L'ordinal α correspondant à l'arbre de l'hydre correspond à celui de la hiérarchie de Hardy, alors que l'ordinal β calculé dans cette page était celui du HCR. Par conséquent, α=ωβ. Pour m(3)3m(2)m(1)(x), par exemple, et β=ω3.

Hydra1.jpg

Dans la figure (Kirby et Paris, 1982),[4] le nœud supérieur le plus à gauche est m(3), car il s'agit du troisième nœud en partant de la racine. Le nœud situé un segment en dessous est m(2), et il a 3 m(3) au-dessus, il est donc m(3)3m(2). Le nœud situé en dessous est le nœud m(1) avec m(3)3m(2) et m(4)m(3)m(2), et donc [m(3)3m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1). Le nœud racine est [m(2)[m(3)2m(2)]m(1)]. [[m(3)3m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)](x).

Dans cette figure, après avoir coupé un des nœuds supérieurs au niveau m(3), 2 nouveaux arbres hydra ont été produits à partir d'un nœud. Cela correspond à l'évaluation de m(3)=m(2)x avec x=3. En comparant la structure m(n) à l'arbre hydre avant et après avoir coupé les têtes,

[m(3)2m(2)m(1)]22[[m(3)3m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)](3) = [[m(3)m(2)]3m(1)][m(3)2m(2)m(1)][[m(3)3m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)](3)

elle correspond exactement à la définition de la carte m(n), car

m(3)2m(2)m(1)(3) = m(2)3[m(3)m(2)]m(1)(3) = [m(3)m(2)]3m(1)(3)

l'application m(n) peut donc être corrélée à l'arbre d'hydre, qui est corrélé à l'ordinal de la forme normale de Cantor normal form.[4] Par conséquent, elle a le taux de croissance de .

Références

  1. Fish 巨大数論 (Googologie) , 1ère édition 2013, 2ème édition 2017.
  2. Fish "巨大数の世界 (The world of googology)" 数学セミナー (Mathematics seminar) Juillet, 2019. pp. 28-31.
  3. Visualization of calculation prodcedure of Fish number 5 using Hydra tree (slide PDF), presented by Pochi at googology meeting in Tokyo, November 3, 2007
  4. 4,0 et 4,1 Kirby, L.; Paris, J. (1982), "Accessible independence results for Peano arithmetic", Bulletin of the London Mathematical Society 14: 285-293.
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