User talk:Denis Maksudov

--Denis Maksudov (talk) 08:55, August 15, 2016 (UTC)gargantuuldachime · gargantuuldatoll · gargantuuldagong · gargantuulda-suennex · gargantuulda-suennexichime · gargantuulda-suennexitoll · gargantuulda-suennexigong · gargantuulda-dusuennex · gargantuulda-dusuennexichime · gargantuulda-dusuennexitoll · gargantuulda-dusuennexigong

they were my first pages, if something is wrong, let me know, if everything is alright, I'll go further using this page template


 * Hmmm.... Everything's okay. AarexWikia04 - 10:32, August 15, 2016 (UTC)

Denis, since you've put your numbers on a site, do you mind if I or someone else makes pages for them? Username5243 (talk) 17:05, August 15, 2016 (UTC)

--Denis Maksudov (talk) 17:52, August 15, 2016 (UTC) Of course, I agree

Okay. I've made a page for what I think is the smallest named number on your list, quadralum. What do you think? Username5243 (talk) 18:02, August 15, 2016 (UTC)

--Denis Maksudov (talk) 20:25, August 15, 2016 (UTC) O'k, it seems good

ExE site is disabled.
While the program making pages, the Sbiis site is disabled. AarexWikia04 - 13:18, September 10, 2016 (UTC)

Denis Maksudov (talk) 13:21, September 10, 2016 (UTC)I copied yesterday 1000 numbers in txt-file and now use it

What about numbers less than Terinngathor? Username5243 (talk) 13:25, September 10, 2016 (UTC)

Make it do more pages Username5243 (talk) 13:30, September 10, 2016 (UTC)

I will do Cascading-E numbers less than Terinngathor when Sbiis site will work. Now it disablet. Question: I copied yesterday 1000 numbers in txt-file and now use it. I write in pages "Retrieved 2016-09-09." It's true - yesterday it worked. Is it possible to continue to create pages about Cascading-E numbers (now bigger than Terinngathor)Denis Maksudov (talk) 13:35, September 10, 2016 (UTC)

Sure. I think you'll be fine? When will you do smaller numbers? Username5243 (talk) 13:39, September 10, 2016 (UTC)

when site will work but anyway not todayDenis Maksudov (talk) 13:43, September 10, 2016 (UTC)

Make the rest of the Dekaelgathor regiment Username5243 (talk) 17:23, September 10, 2016 (UTC)

Question
Are you done with E^ numbers? AarexWikia04 - 20:02, September 11, 2016 (UTC)

I reached end of Cascading-E numbers (but I missed several tens of Cascading-E numbers in the beginning of this series, I will do them later)Denis Maksudov (talk) 20:20, September 11, 2016 (UTC)

After you do the rest of E^, what numbers will you do next? Username5243 (talk) 20:23, September 11, 2016 (UTC)

I would go further to Extended cascading-E numbers and so on but no sooner next weekends

My  aim was to test program during this two days. Well, today program worked without mistakes and without stops during 7,5 hours so  we reached level of 8000 articles and I satisfied, next step: day after tomorrow I will publish code of program and  some instructions for help of using. I will busy next days, may be you will begin Extended cascading-E numbers without me, if you want Denis Maksudov (talk) 20:56, September 11, 2016 (UTC)

Let's do the rest of xE# too... Username5243 (talk) 20:57, September 11, 2016 (UTC)

Do you want to do pages for all numbers of Sibian?Denis Maksudov (talk) 21:07, September 11, 2016 (UTC)

Denis, when can you do more number pages? Username5243 (talk) 15:41, January 15, 2017 (UTC)

I plan to create pages for all your numbers in nearest future, but I will create not more than several tens pages per day to not create also problems for other users --Denis Maksudov (talk) 00:23, January 16, 2017 (UTC)

Leaderboard
Just wanted to let you know that with all these edits recently you have elevated to the 2nd place in the badge leaderboard on the wiki. Grats! LittlePeng9 (talk) 10:43, January 3, 2017 (UTC)

Indeed. I did not even expect. Nevertheless I think that In googology wiki true rank is defined not by simply amount of edits. Here real leaders are googologists, who created BIG FOOT, Dollar-function and so on.--Denis Maksudov (talk) 22:39, January 3, 2017 (UTC)

Hold on a minute
Your bot doesn't seem to parse superscripts correctly. For example, in grangol-carta-tethrapeton, the definition is given as E100#^^#5100#100 rather than E100#^^#5100#100. Actually not much of the numbers in xE# part 1 is affected by the issue; in most of them it is written as #^(5), for example dustacultethrathoth-carta-tethrapeton = E100#^^#^(5)100#^^#>#^^#100. Just something I had to tell you. -- ☁ I want more clouds! ⛅ 15:46, January 3, 2017 (UTC)

Thanks, Cloudy. The bot reads numbers from file of notepad. I will fix (manually) where need and I will launch bot again 3-4 hours later--Denis Maksudov (talk) 16:29, January 3, 2017 (UTC)

UNAN numbers
Username5243 defined a few new numbers. Look at the shortened list of UNAN numbers and you will see these: The list still stops at ectulinoogol here.
 * Zettulinoogol
 * Yottulinoogol
 * Xennulinoogol
 * Wekulinoogol

73.235.194.108 15:00, March 23, 2017 (UTC)

Question
When you make more number pages, either for ExE or UNAN numbers? (I now finished up to ennoogol regiment) Username5243 (talk) 12:19, March 27, 2017 (UTC)

You published near 500 new numbers and Sbiis published several thousands numbers. I don't know how to create so many pages without bot, but applying of bot creates problems for other users who works with page "Recent wiki activity". Second, applying of bot requires all day of free time to control proucess, presently I have not so much free time. So maybe in a few months.--Denis Maksudov (talk) 18:32, March 27, 2017 (UTC)

Cardinal collapsing
Приветствую, недавно возникла идея того как можно расширить иерархию коллапсирования. Попробую объяснить на примере тета-функции и ее аналогов для недостижимых кардиналов. Сразу оговорюсь, что для простоты я не буду писать индексы тета-функции и делать матрешку из тета-функций. Условное сокращение будет единым $$\theta$$.

Основной принцип работы универсальной тета-функции:

$$\theta(nx^k+...,cx^2+bx+a) = \Phi(k,...,c,b,a,0)$$, где $$\Phi$$ любой аналог расширенной функции Веблена, а $$x$$ коллапсируемый кардинал.

Итак начнем с регулярных кардиналов:

$$\theta(\Omega) = \phi(1,0,0)$$

$$\theta(\Omega_2) = \phi(1,0,\Omega+1)$$

$$\theta(\Omega_3) = \phi(1,0,\Omega_2+1)$$

и так далее до:$$\theta(\Omega_\omega)$$

Затем диагонализация: $$\theta(\Omega_\Omega)$$

и в конце-концов $$\theta(\alpha\mapsto\Omega_\alpha)$$ - первая $$\Omega$$-fixed point

которую я предлагаю обозначать так: $$\theta(\Omega_{(1,0)})$$

Соответственно $$\theta(\Omega_{(1,1)})$$ - вторая $$\Omega$$-fixed point и т.д.

И так продолжаем по аналогии с расширенной нотацией Веблена $$\phi$$

Теперь берем недостижимый кардинал $$I$$ и диагонализиуем им все это.

$$\theta(\Omega_{(1,0,0)}) = \theta(I)$$

Так же как у регулярных кардиналов есть характеристика cardinality $$(\Omega_n)$$. У недостижимого кардинала есть характеристика inaccessibility $$I_n$$. Значит мы можем продолжать иерархию:

$$\theta(\Omega_{(1,0,I+1)}) = \theta(I_2)$$

$$\theta(\Omega_{(1,0,I_2+1)}) = \theta(I_3)$$

Затем: $$\theta(I_\omega), \theta(I_\Omega), \theta(I_I)$$

И так аналогично $$\theta(\alpha\mapsto I_\alpha) = \theta(I_{(1,0)})$$ - первая $$I$$-fixed point

$$\theta(I_{(1,1)})$$ - вторая $$I$$-fixed point и т.д.

Теперь на помощь для диагонализации приходит $$M$$ - Mahlo-кардинал. Он имеет уже две характеристики mahloness и mahloness-inaccessibility $$m'M_n$$, причем увеличение второй характеристики делает кардинал большим, вне зависимости от размера первой. Значит ее можно использовать для сверхдиаганализации над первой.

$$\theta(I_{(1,0,0)}) = \theta(M)$$

$$\theta(\Omega_{(1,0,M+1)}), \theta(I_{(1,0,M+1)}) = \theta(M_2), \theta(M_\omega), \theta(M_\Omega), \theta(M_I), \theta(M_M)$$

$$\theta(\alpha\mapsto M_\alpha) = \theta(M_{(1,0)}), \theta(M_{(1,0,0)}) = \theta(2'M)$$.

Вся эта сверхдиагонализация описана в блоге Deedlit11 - Ordinal Notations VI

Здесь я просто привожу другую запись для универсальной тета-функции, чтобы наглядно показать всю эту сверхиерархию:

$$\theta((2'M)_2), \theta((2'M)_\omega), \theta((2'M)_\Omega), \theta((2'M)_I), \theta((2'M)_M), \theta((2'M)_{(2'M)}))$$

$$ \theta(\alpha\mapsto (2'M)_\alpha) = \theta((2'M)_{(1,0)}), \theta((2'M)_{(1,0,0)}) = \theta(3'M)$$

$$ \theta((3'M)_M), \theta((3'M)_{(2'M)}), \theta((3'M)_{(3'M)})), \theta((3'M)_{(1,0,0)}) = \theta(4'M)$$

$$\theta(\omega'M), \theta(\Omega'M), \theta(I'M), \theta(M'M), \theta(M'M'M), \theta(\alpha\mapsto\alpha'M) = \theta((1,0)'M)$$

В конце вышеуказанной статьи предлагается всю эту сверхиерархию диганализировать слабокомпактным кардиналом $$K$$.

$$\theta((1,0,0)'M) = \theta(K)$$

Я слабо понимаю, что такое слабокомпактный кардинал, но у него тоже есть характеристика compactness $$K_n$$. Сам по себе слабокомпактный кардинал уже Mahlo и недостижим. Но вот его compactness очевидно аналогично может быть mahloness и inaccessibility $$(m'K_n)|k|$$. Что дает нам три характеристики, каждая из которых сверхиерархична. Тогда полная иерархия коллапсирования слабокомпактных кардиналов должна выглядеть как-то так: $$\theta(\Omega_{(1,0,K+1)}), \theta(I_{(1,0,K+1)}), \theta(M_{(1,0,K+1)}), \theta(2'M_{(1,0,K+1)}), \theta(M'M_{(1,0,K+1)}) $$

$$\theta((1,0,0)'M_{(1,0,K+1)}) = \theta(K_2), \theta(K_\omega), \theta(K_\Omega), \theta(K_I), \theta(K_M)$$

$$\theta(K_{(2'M)}), \theta(K_{(M'M)}), \theta(K_{(1,0)'M)}), \theta(K_{(1,0,0)'M)}) = \theta(K_K)$$

$$\theta(\alpha\mapsto K_\alpha) = \theta(K_{(1,0)}), \theta(K_{(1,0,0)}) = \theta(2'K)$$

$$\theta((2'K)_2), \theta((2'K)_\omega), \theta((2'K)_\Omega), \theta((2'K)_I), \theta((2'K)_M)$$

$$\theta((2'K)_{(2'M)}), \theta((2'K)_{((1,0,0)'M)}) = \theta((2'K)_K), \theta((2'K)_{(2'K)}))$$

$$ \theta(\alpha\mapsto (2'K)_\alpha) = \theta((2'K)_{(1,0)}), \theta((2'K)_{(1,0,0)}) = \theta(3'K)$$

$$\theta(\omega'K), \theta(\Omega'K), \theta(I'K), \theta(M'K), \theta(2'M'K), \theta((1,0,0)'M'K) = \theta(K'K)$$

$$\theta(K'K'K), \theta(\alpha\mapsto\alpha'K) = \theta((1,0)'K), \theta((1,0,0)'K) = \theta((K|2|)$$

Далее, упрощенно, сверхсверхдиагонализация по третьей характеристике:

$$\theta((K|2|)_2), \theta((K|2|)_{(K|2|)}), \theta((2'(K|2|))), \theta((2'(K|2|)_2)$$

$$\theta((2'(K|2|)_{(2'(K|2|)}), \theta((K|2|)'(K|2|)), \theta(\alpha\mapsto\alpha'(K|2|)) = \theta((1,0)'(K|2|))$$

$$\theta((1,0,0)'(K|2|) = \theta(K[3])$$

$$\theta(K|K|), \theta(K|K_2|),\theta(K|2'K|),\theta(K|K|2||),\theta(K|K|K||)$$

$$\theta(K|K|K|K|||), \theta(K|K|K|...|||) = \theta(K|1,0|), \theta(K|1,0,0|)$$

Для дальнейшей диагонализации нам требуется еще более мощный кардинал. Следующие на очереди неописуемые кардиналы. Я так же не сильно в них разбираюсь, но как пишут опытные пользователи на этой вики, неописуемые кардиналы в их обычном виде не слишком подходят, для того чтобы использовать их в и диагонализации. Я же предлагаю ввести что-то еще более мощное, некие сверхбольшие недостижимые кардиналы, которые имеют n-число характеристик $$\Pi_n$$. Так, например:

$$I = \Pi_1$$ (inaccessibility)

$$M = \Pi_2$$ (mahloness, mahloness-inaccessibility)

$$K = \Pi_3$$ (compactness, inaccessibility-compactness, mahloness-inaccessibility-compactness)

Это позволяет нам создать супериерархию коллапсирующих функций:

$$\theta(\Omega), \theta(\Pi_1), \theta(\Pi_2), \theta(\Pi_3), \theta(\Pi_4), \theta(\Pi_5), \theta(\Pi_6)$$ и т.д.

Не знаю, можно ли сделать число характеристик трансфинитным. Но если так, то можно продоложать от: $$\theta(\Pi_\omega)$$

до:

$$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha)$$

Пока еще не представляю как диагонализировать последнее выражение и вообще возможно ли это. К сожалению мои познания в теории множеств недостаточны, чтобы определить корректно ли я определил иерархию недостижимых кардиналов. Но хочу узнать ваше мнение, как вам идея в целом?

Scorcher007 (talk) 04:15, May 16, 2017 (UTC)

Это похоже на то, что я предлагал дедлиту на его странице обсуждения - применение функции Веблена для диагонализации различных кардиналов. Можете посмотреть, что он ответил. Однако и мое предложение и его анализ - они были в значительной мере интуитивны. Нужно четкое определение. Например так:

Если обычная функция Веблена $$\Phi_\alpha^{^{(0)}}:=\text{Enum}(\{\beta\in On:\forall \gamma<\alpha(\Phi_\gamma^{^{(0)}}(\beta)=\beta)\})$$ где On означает класс ординалов и $$\Phi_0^{^{(0)}}(\alpha):=\omega^\alpha$$,

то мы можем по аналогии определить $$\Phi_\alpha^{^{(1)}}:=\text{Enum}(\{\beta\in UC:\forall \gamma<\alpha(\Phi_\gamma^{^{(1)}}(\beta)=\beta)\})$$ где UC означает класс несчетных кардиналов и $$\Phi_0^{^{(1)}}(\alpha):=\Omega_\alpha$$,

затем $$\Phi_\alpha^{^{(2)}}:=\text{Enum}(\{\beta\in UA:\forall \gamma<\alpha(\Phi_\gamma^{^{(2)}}(\beta)=\beta)\})$$ где UA означает класс недоступных кардиналов и $$\Phi_0^{^{(2)}}(\alpha):=\Iota_\alpha$$

ну и так далее (хотя далее лучше пока не ходить, поскольку там для меня пока темный лес). Вот такие бинарные функции Веблена $$\Phi^{^{(k)}}(\alpha,\beta)=\Phi_\alpha^{^{(k)}}(\beta)$$, перечисляющие неподвижные точки базовой функции-диагонализатора. Для них верно: $$\Omega_{(\alpha,\beta)}=\Phi^{^{(1)}}(\alpha,\beta)$$ или $$\Iota_{(\alpha,\beta)}=\Phi^{^{(2)}}(\alpha,\beta)$$ и т.д. Однако, я плохо представляю как они будут работать при подстановке кардиналов следующего уровня, например $$\Phi^{^{(1)}}(\alpha,\Iota+1)$$ или $$\Phi^{^{(2)}}(1,0,\Mu+1)$$-мы это не определили-Denis Maksudov (talk) 22:00, May 16, 2017 (UTC)

Я понимаю, что как раз формализация недоступных кардиналов, как некого единого диагонализатора и представляет наибольшую сложность. В том числе, там надо еще теоретико-множественные свойства этих кардиналов учитывать. Но то что я предлагаю, это по сути не моя идея, как я понимаю: M. Rathjen в своих работах еще в 2001 году (Proof-theoretic analysis of KPM ) основываясь на работах Jäger и Pohlers определил коллапсирование $$I_a$$ и $$M_a$$. Позже в 1994 (Proof theory of reflection) он расширил свою теорию до коллапсирования $$n'M_a$$-кардиналов и $$K$$-кардиналов, или $$\Pi_3$$-reflection. Позже основываясь на его работах в 2008 году (Thinning Operators and П_4-Reflection) C. Duchhardt показывает возможность коллапсирования $$\Pi_4$$-reflection. Ну а уже в 2010 году (Ordinal Proof Theory of Kripke-Platek Set Theory Augmented by Strong Reflection Principles) J.-C. Stegert изучает возможность коллапсирования $$\Pi_n, \Pi_\omega,$$ и даже еще больших кардиналов. Так что в принципе теоретико-множественная основа имеется, хоть я и мало что в ней понимаю.

Моя задача понять и объяснить ее как можно проще для человека не разбирающегося в теории множеств. Разобраться в основополагающих принципах самой концепции.

Так вот, из того что я понял ваша нотация (даже если она не до конца определена) работает только в рамках $$\Pi_2$$ или $$M$$. Если $$\Omega$$ диагонализиует $$\Phi^{(0)}$$, а $$I$$ диагонализиует $$\Phi^{(1)}$$, то с $$M$$ все сложнее у него есть сверхиерархия $$n'M_a$$, значит $$(n+1)'M_a$$ диагонализирует $$\Phi^{(n)}$$. И как записать коллапсирования кардинала скажем такого вида $$M'M'M_a$$ в вашей нотации я уже не знаю. Все это дело диагонализируется $$\Pi_3$$, что похоже сильнее вашей нотации.

Дальше идут мои домыслы и догадки. Если $$\Pi_3$$ приравнивается к $$K$$, то значит у $$K$$ есть иерархия, сверхиерархия и сверхсверхиерархия (3-уровня иерархии) $$(m'K_n)|k|$$.

Соответственно $$\Pi_4$$ должен иметь 4-уровня иерархии и т.д. Но поскольку содержание работы J.-C. Stegert для меня вообще темный лес, мне бы хотелось, чтобы кто-нибудь подтвердил или опроверг мои догадки. Кому бы лучше из активных пользователей вики задать этот вопрос?

Scorcher007 (talk) 23:54, May 16, 2017 (UTC)

1) Это не то что бы моя нотация, просто хочу вам помочь с формальным определением линейного массива в нижнем индексе ординала/кардинала применяя аналогию функции Веблена. Мы ведь можем напрямую определить, например:

$$\Omega_\alpha=\aleph_\alpha$$,

$$\Omega_{(0,\alpha_1,...,\alpha_n)}=\Omega_{(\alpha_1,...,\alpha_n)}$$,

$$\Omega_{(s,\alpha_k,z,\beta)}=\text{Enum}(\{\gamma\in \text{UC}:\forall\eta<\alpha_k(\gamma=\Omega_{(s,\eta,\gamma,z)})\})$$,

где

$$z$$ - строка нулей,

$$s$$ - строка аргументов $$\alpha_1,...,\alpha_{k-1}$$ перед $$\alpha_k$$ в которой $$\alpha_1>0$$,

$$\text{UC}$$ - класс неисчислимых ординалов.

Аналогично с $$\Iota_{(\alpha_1,...,\alpha_n)},$$ $$\Mu_{(\alpha_1,...,\alpha_n)},$$ $$\Kappa_{(\alpha_1,...,\alpha_n)},$$ и так далее.

2) Я не знаю пользователей более опытных в плане ординальных нотаций, чем известный вам Deedlit11, правда его активность последнее время близка к нулю. Вообще это проблема, то что самые продвинутые пользователи Hyp cos, Wythagoras и.т д. в настоящее время неактивны,

3) Помните в свое время я предлагал вам объяснить работу ординальной коллапсирующей функции. Эта идея со временем трансформировалась в написание статьи Buchholz's function, в которой я максимально подробно описал машинерию коллапсирования на примере функции Бухгольца.

4) Посмотрите на статью в русскоязычной википедии, посвященную гугологии. Вы могли бы ее дополнить. —Preceding unsigned comment added by Denis Maksudov (talk • contribs) 19:22, May 17, 2017 (UTC)

Спасибо за помощь с формализацией моей системы. Но как я понимаю она все равно работает только в рамках $$\Pi_2$$-reflection. Как я выяснил из работ Rathjen, Duchhardt и Stegert $$\Pi_n$$-reflection это даже не столь кардиналы сколь пруфы принципов коллапсирования. Cами их работы не дают никакой строгой ординальной нотации, а просто описывают принципы коллапсирования с теоретико-множественным обоснованием. Так например: $$\theta(f(\Omega))$$ определяющая fixed-points $$\alpha\mapsto\omega^\alpha$$ - это KPw, $$\theta(f(I))$$ определяющая fixed-points $$\alpha\mapsto\Omega_\alpha$$ - это KPi, $$\theta(f(M))$$ определяющая fixed-points $$\alpha\mapsto I_\alpha$$ - это KPM. Но все эти три системы коллапсирования относятся к $$\Pi_2$$-reflection, поскольку они определяют положение одной fixed-points. С введением кардиналов имеющих сверхиерархию как например: $$n'M_a$$ или сверхсверхиерархию $$(m'K_n)|k|$$ число fixed-points увеличивается, поэтому для их коллапсирования нужны принципы $$\Pi_3$$-reflection и $$\Pi_4$$-reflection соотвественно.

К сожалению, я не силен в формализации ординальных нотаций и хотел бы попросить у вас помощи в формализации системы: $$n'M_a$$ и $$(m'K_n)|k|$$. Я могу разбираться в уровнях рекурсии только используя табличный метод, поэтапно выстраивая иерархию. Что я и сделал на своем хостинге lihachevss.ru/555.html. Там я ввожу универсальную тета-функцию $$\Theta$$, которая применима только если в нее подставляется именно тот ординал по которому происходит коллапсирование, ну или некая функция над ним (+,*,^ и.т.п.). Каждый раз $$\Theta$$ замыкается на (1,0,0)-fixed-points, что работает как для $$\Pi_2$$-reflection: $$\omega^\alpha$$, $$\Omega_\alpha$$, $$I_\alpha$$, $$M_\alpha$$, Так и для $$\Pi_3$$-reflection: $$\alpha'M_\alpha$$, И для $$\Pi_4$$-reflection: $$(\alpha'K_\alpha)|\alpha|$$.

Как я и говорил система может быть продолжена до $$\Pi_\omega$$ и даже до: $$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha)$$. Дальнейшая диагонализация очевидно тоже возможна, но мысли о ней просто взрывают мне мозг. Однако Stegert в своей работе утверждает, что это возможно:

Итак кардиналы $$\Omega, I, M$$ имеют только один уровень иерархии значит это $$\Pi_2$$-ref

$$n'M_a$$ имеют два уровня иерархии, диагонализируются $$K$$ слабокомпактным кардиналом он же $$\Pi_1^1$$-indescribable - это $$\Pi_3$$-ref

$$(m'K_n)|k|$$ имеют три уровня иерархии, диагонализируются $$\Pi_1^2$$-indescribable - это $$\Pi_4$$-ref

Таким образом, $$\Pi_1^n$$-indescribable = $$\Pi_{n+2}$$-reflection

Ну а чтобы диагонализировать $$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha)$$ вводится так называемая $$n$$-$$\Pi$$-stability. Не знаю, что это значит, там очень глубокая теория множеств. Но похоже:

$$\Pi_0^{n+1}$$-indescribable = $$n$$-$$\Pi$$- stability

Но я все равно не могу понять каким образом произвести диагонализацию $$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha)$$ при помощи $$1$$-$$\Pi$$, ведь напомню, что n для $$\Pi_n$$ является не fixed-point иерархией, а числом этих fixed-point иерархий.Scorcher007 (talk) 01:30, May 24, 2017 (UTC)

Эка вас занесло - в диссертация Стегерта. В 2015 году Натан Хо, основатель этой вики и Hyp cos пытались ее прочитать и признали, что она слишком сложна для их понимания. Что же касается лично меня, то хотел бы вам помочь, но я на данный момент работаю не выше первой фиксированной точки омеги $$\Omega_{\Omega_{...}}$$.

Принцип у меня такой - разобраться в ординалах до определенного уровня - так что бы уверенно себя почувствовать, что бы можно было сформулировать общие правила для фундаментальных последовательностей для подключения к иерархиям функций натуральных чисел, и вот только потом идти дальше.

До нового года потолком для меня был первый номер эпсилон $$\varepsilon_0$$, к февралю дошел до Гаммы $$\Gamma_0$$, потом освоил расширенную функцию Веблена с финитным, а позже и с трансфинитным числом аргументов.

Я хотел и дальше изучать ординалы по линии тэта-функции $$\theta(\alpha,\beta)$$, к которой я привык читая Криса Берда, но в апреле я переключился на пси-функция Бухгольца $$\psi(\alpha)$$, потому что она такая же мощная, но при этом гораздо проще.

Вот смотрите, в тэта-функции Фефермана между уровнем степенной башни омег $$\omega^{\omega^{...}}$$ и моментом появления первого неисчислимого ординала $$\theta(\Omega,0)=\Gamma_0=\varphi(1,0,0)$$находится вся протяженность бинарной функции Веблена $$\varphi(\alpha,\beta)$$, то же самое между $$\Omega^{\Omega^{...}}$$ и $$\theta(\Omega_2,0)=\Gamma_{\Omega+1}=\varphi(1,0,\Omega+1)$$ и так далее на уровне любого неисчислимого ординала $$\Omega_\nu$$. И у вас ведь в принципе тоже самое: повсюду замыкание на (1,0,0)-fixed-points. С моей точки зрения это ведет просто к неоправданному усложнению (сила при этом изменяется незначительно - разница просто в одном уровне степенной башни).

В пси-функции Бухгольца следующий неисчислимый ординал вводится сразу же после степенной башни предыдущего. Очень удобно, количество правил для фундаментальных последовательностей сокращается раза в два как минимум. Этот принцип (замыкание на (1,0)-fixed-points) можно было бы распространить и на высшие кардиналы. Например $$\psi_\Omega(\Omega_{\Iota+1})=\psi_\Omega(\Iota^{\Iota^{...}})$$. Гораздо проще.

Прочитал пару ваших рассказов - Эмулятор и Там где темно и тихо. Второй больше понравился с точки зрения ощущения сопричастности персонажу. Вам видимо близки идеи трансгуманизма. Помню, несколько лет назад с увлечением прочитал несколько книг по этой тематики - Юдковски, Турчинова (если я фамилии не путаю).--Denis Maksudov (talk) 21:09, May 24, 2017 (UTC)

Для начала небольшая поправка. Вчера осознал это из работы Тарановского. Оказывается, что n-stability это намного более слабая штука чем я думал. Тарановский описывает stability так:

$$\Pi_{n\cdot\omega}$$-reflection = n-stability

Соответственно

$$\Pi_{n\cdot\omega^2}$$-reflection = n-stability of stability

По сути получается, что n-stability описывает трансфинитную reflection, а это значит, что $$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha)$$ будет предельным ординалом и для stability collapsing и вообще пределом для любых ординальных нотаций построенных по принципу коллапсирования. Конечно все это можно снова диагонализировать, но чтобы получить существенный прирост, нужна будет уже какая-то кардинально новая идея отличающаяся от коллапсирования. Об этом писал и Тарановский, когда разрабатывал свою нотацию и Hypcos на своем сайте. Там же они приводят доводы того, что их нотации TON и pDAN намного сильнее чем $$\Pi_\omega$$ и даже $$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha)$$. Вообще при изучении ординальной иерархии складывается такое ощущение, что этим занимается всего несколько десятков человек на всей планете. Это профессиональные математики вроде Rathjen, Duchhardt, Stegert, Taranovsky (при чем каждый из них ссылается на работы предыдущего) и пользователи этой вики. Короче говоря ощущается катастрофический недостаток информации. Что касается моих выводов приведенных здесь по reflection и stability я пришел к ним изучая крупицы понятной мне информации из каждого источника. Порой что-то понимаешь у Stegert, и более полно это объясняет уже Taranovsky, при это отсылает к Rathjen, а чтобы понять его смотришь какой-нибудь из блогов на этой вики, например того же Deedlit11.

Отсюда у меня еще один вопрос к вам по ординальным нотациям. Это очень странно, что изучением сверхбольших ординалов занимается так мало людей среди математиков, ведь это как я понимаю очень важный момент для теории множеств. Ибо у каждой аксиоматической системы теории множеств есть свой proof-theoritic ordinal:

$$\omega^2 - RFA$$

$$\omega^3 - EFA$$

$$\omega^\omega - PRA$$ и $$RCA_0$$

$$\varepsilon_0 - PA$$ и $$ACA_0$$

$$\Gamma_0 - ATR_0$$ (Feferman–Schütte ordinal)

$$\theta(\varepsilon_{\Omega+1}) - KP\omega$$ (Bachmann-Howard ordinal)

$$\theta(\Omega_\omega) - \Pi_1^1$$-$$CA_0$$ (Buchholz ordinal)

$$\theta(\varepsilon_{\Omega_\omega+1}) - \Pi_1^1$$-$$CA$$+$$TI$$ (Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal)

$$\theta(\alpha\mapsto\Omega_\alpha) - \Pi_1^1$$-$$CA$$+$$TR_0$$ (Small Rathjen ordinal)

$$\Theta(\varepsilon_{I+1}) - KPi$$

$$\Theta(\varepsilon_{M+1}) - KPM$$

$$\Theta(\varepsilon_{K+1}) - KP$$+$$\Pi_3$$

$$\Theta(\varepsilon_{\Pi_4+1}) - KP$$+$$\Pi_4$$

$$\Theta(\Pi_\omega) - ACA_0$$+$$\Pi_2^1$$

$$\alpha\mapsto\Theta(\Pi_\alpha) - ATR_0$$+$$\Pi_2^1$$

Я понимаю, что это какие-то аксиоматические системы основанные на индукции, но я не понимаю, что значит proof-theoritic ordinal. Вы понимаете что-либо в этом? Например, Тарановкий утверждает, что в его нотации может быть создан proof-theoritic ordinal даже для ZFC и ZF (и даже еще больший) - а это насколько мне известно общепринятые системы аксиоматизации теории множеств (ну, то есть, основа основ, аксиоматическая база, на которой держится вся современная математика), такие что в них проблемы континуум-гипотезы и теоремы о неполноте Гёделя как-то хитро аксиоматически обойдены. Значит ли это, что создавая все большие и большие ординалы математики способны как-то продвинутся в решении проблемы континуум-гипотезы?

Что касается тета-функции, вы знаете, такая же ситуация, привык к ней после чтения работ Бёрда. Пси-функция просто изначально как-то отпугивала своей матрешечностью. Но сейчас я понимаю как она функционирует и что она действительно интуитивнее проще чем тета-функция. А разница между (1,0,0)-fixed-points и (1,0)-fixed-points действительно нивелируется, когда мы подбираемся к тем самым proof-theoritic ordinal, о чем мы с вами вроде уже говорили. Так например:

$$\theta(\varepsilon_{\Omega+1}) = \psi(\varepsilon_{\Omega+1})$$

$$\theta(\varepsilon_{I+1}) = \psi(\varepsilon_{I+1})$$

$$\theta(\varepsilon_{M+1}) = \psi(\varepsilon_{M+1})$$

$$\theta(\varepsilon_{K+1}) = \psi(\varepsilon_{K+1})$$

$$\theta(\varepsilon_{\Pi_4+1}) = \psi(\varepsilon_{\Pi_4+1})$$

$$\theta(\Pi_\omega) = \psi(\Pi_\omega)$$

$$\alpha\mapsto\theta(\Pi_\alpha) = \alpha\mapsto\psi(\Pi_\alpha)$$

Просто эту свою таблицу да и цикл статей начинал делать используя тета, и уже так и остановился на ней. Хотя переписать все в пси-функции несложно.

Кстати,  интересно  что я заметил, что коллапсирование I принято делать в пси-функции, а при коллапсировании M, Ратченом уже используется аналог тета-функции (чи-функция).

ПС: Спасибо за оценку моего творчества. Эмулятор - это один из моих первых рассказов, писал его еще на пятом курсе универа, сейчас он и мной восприминамется иначе. А "тихо и темно" это уже из позднего, там действительно более взрослый вгляд (что наверно так и должно быть).

Да, одно время я был приверженцам трансгуманизма, в его, если так можно выразится, радикальном виде, теперь с возрастом стаёшь меньшим оптимистом и понимаешь, что технологическая сингулярность завтра не наступит, и скорее всего это не столь стремительный процесс как его описывают большинство футурологов трансгуманизма. Однако я по-прежнему придерживаюсь подобных взглядов, но уже более умеренных. Намного больше трансгуманистических концепций можно найти в рассказах "Недоношенный" и "Подарки", так же я об этом вскольз упоминаю в науч.-поп. рассказе "Нагревая лед" (идея о том, что цивилизации могут создавать целые вселенные) и более подробно рассматриваю эти идеи в науч.-поп. повести "Расстояние длиною в вечность". Так же отсылки к этому есть в моей последней статье "Некоторые выводы о реальности на основе теории вероятности" в моем ЖЖ: scorcher-7.livejournal.com

Scorcher007 (talk) 03:42, May 25, 2017 (UTC)

1) Я не математик, объясню, как сам понимаю: proof-theoritic ordinal это просто предел некой математической теории, до которого она непротиворечива и работоспособна, однако сам этот ординал не может быть найден средствами указанной теории, но лишь при использовании более мощной теории. Например, если вы пишите proof-theoritic ordinal PA = $$\varepsilon_0$$, то это означает непротиворечивость арифметики Пеано до ординала $$\varepsilon_0$$.

2) Вы могли бы попытаться связаться непосредственно с Дмитро Тарановским dmytro@mit.edu, он, кстати, родом из Киева и писал в резюме, что понимает по русски.

3) Идея технологической сингулярности - это современная версия старой концепции о конце света. Когда персонажи средневековых арабских сказок выпускали джина из бутылки, то на вопрос последнего, какой сейчас век, они отвечали стандартной фразой: "Мы живем в самом конце времен". Так что, во все времена людям казалось, что они живут в неком особом времени. Это просто проявление антропоцентризма, так же как аксиома геоцентризма. Однако, вместе с тем, я верю в возможность создания искусственного интеллекта или моделирования человеческого сознания в суперкомпьютере (хотя все же это будет уже другая личность - идентичная, но не тождественная). Искусственное создание вселенных также возможно – вот несколько рецептов: взять сотую долю миллиграмма (т.е. планковскую массу) некой материи и сжать до планковской плотности, или взять \(10^{40}\) планковских масс и подождать \(10^{69}\) лет, или построить адронный коллайдер на \(10^{19}\) Гэв. --Denis Maksudov (talk) 19:12, May 25, 2017 (UTC)

Ну да, это более ли менее общеизвестная гипотеза, что при планковских энергиях рождаются вселенные  (гипотеза, поскольку теории квантовой гравитации мы так и не имеем, а значит не можем с уверенностью обсуждать эти масштабы). Если уж на то пошло для планковских энергий не нужны коллайдеры размером с галактику, они могут возникать и скорее всего возникают спонтанно в результате квантовых флуктуаций. Только вот все эти зародыши вселенных образованные в результате флуктуаций скорее всего будут мертворожденные (сколлапсируют обратно), да и нет никакой гарантии, что искусственно созданная планковская энергия породит вселенную с законами физики позволяющими зарождение хотя бы атомов (под законами физики я понимаю свойства вакуума, которые определяют тип, массу частиц и тип, интенсивность взаимодействий). Я продолжаю идею Ли Смолина, который ввел концепцию естественного отбора вселенных (The_Life_of_the_Cosmos), по его гипотезе стабильные вселенные могут рождаться только в планковских энергиях внутри черных дыр, и вселенные в которых могут возникать черные дыры, соответственно будут более плодовиты и оставят больше потомства (естественный отбор). Так же получается, что законы физики и условия во вселенной, необходимые для формирования черных дыр очень схожи с условиями и законами необходимыми для формирования жизни. Я же предлагаю идею искусственного отбора, выведения вселенных. Наличие черных дыр во вселенной, конечно способствует формированию жизни, но не гарантирует что законы физики этой вселенной позволят это. Разумная цивилизация же, достигшая трансгуманистического уровня развития очевидно будет способна не только создавать планковские энергии, но и манипулировать ими, подгоняя условия новорожденной вселенной до приемлемых к зарождению жизни в этой вселенной. Поскольку это уже совсем не гугология, я перенес это обсуждение в гостевую моего сайта, где предлагаю вам его продолжить, чтобы не захламлять вашу talk page (а здесь его можно подчистить) Scorcher007 (talk) 00:37, May 26, 2017 (UTC)

About a million googologisms
Apparently, I found out on your website about how to get a million googologisms using the FGH generator of googologisms, but I don't understand how to use the codes. And also, where do you get the code? I'm a little bit curious about how this thing work. ARsygo (talk) 16:26, June 27, 2017 (UTC)

That is the program written in modern russian version of Pascal. I wrote the program in august 2016 for automatization of generation of googologisms using rules of my naming system. I can't put all million googologisms on my site since such quantity surpasses limits of google sites but really during 100 minutes program can write one million names of numbers and expression in latex for each number. Feel free to ask me more.--Denis Maksudov (talk) 16:52, June 27, 2017 (UTC)

System comparisons
My website http://www.put.com/A/bignumb.html is back up as of today. I'd be interested in your comparison of my numbers to other systems.12.144.5.2 18:13, September 11, 2017 (UTC)

I don't see numbers containing something stronger than power towers and hence this is Tetration level. May be you'll do full list of your numbers in the form "one line for one number"? --Denis Maksudov (talk) 18:26, September 11, 2017 (UTC)

You haven't read too deeply in my system if you haven't picked up the complex function sections.(Note that there are pages that follow on from the first).L.E./12.144.5.2 22:47, September 11, 2017 (UTC)


 * I'm sorry if I missed something but today I really have problems with time. I'll read more deeply later, ok?--Denis Maksudov (talk) 23:26, September 11, 2017 (UTC)

Hi, I'd like to analyze your system. I'll use normal math notation for now, and if need be, up arrow notation. However, because, I will do it in my user blog, because I'm not sure this is a good place. Username5243 (talk) 23:14, September 11, 2017 (UTC)

Operations with inaccessible ordinals
If we are talking about operations on inaccessible ordinals, then we can write $$\Omega_{I+1}$$, but what does it mean? Similarly, we can introduce such an operation for Mahlo ordinal $$\Omega_{M+1}$$. Then will it make sense $$I_{M+1}$$? If so, why it is not used in the OCF, and why after $$M+\alpha, \Omega_{M+\alpha}$$ immediately used $$M_2$$? Scorcher007 (talk) 03:49, September 14, 2017 (UTC)

Dear Scorcher,

$$\Iota+1$$ is smallest ordinal which is greater than $$\Iota$$. In terms of functions collapsing $\alpha$-weakly inaccessible cardinals $$\Omega_{\Iota+1}$$ is smallest 0-inaccessible cardinal which is greater than $$\Iota$$

or in other words

$$\Omega_{\Iota+1}=\Iota(0,\Iota(1,0)+1)$$.

Considering Veblen function's analogy it looks like

$$\varphi(0,\varphi(1,0)+1)=\omega^{\varepsilon_0+1}=\varepsilon_0\omega$$ - smallest power of omega which is greater than $$\varepsilon_0$$.

Taking into account the rules for fundamental sequences assigned for those functions we can say that in this case

$$\psi_{\Omega_{\Iota+1}}(0)=\omega^{\Omega_\Iota+1}=\Iota\omega$$

and

$$\psi(\Omega_{\Iota+1})=\psi(\psi_{\Omega_{\Iota+1}}(\psi_{\Omega_{\Iota+1}}(\psi_{\Omega_{\Iota+1}}(...))))=\psi(\Iota^{\Iota^{\Iota^{...}}})$$

Although I did not assign fundamental sequences for functions collapsing Mahlo-cardinals but if I would did it I believe I would got analogical result and for $$\Omega _{M+1}$$

$$\psi(\Omega_{M+1})=\psi(M^{M^{M^{...}}})$$

--Denis Maksudov (talk) 10:28, September 14, 2017 (UTC)


 * But do these expressions have meaning outside the collapsing function? I suppose as well as $$\varepsilon_{\Omega+1}$$ means $$\Omega+1$$ fixed point of $$\alpha \mapsto \omega^\alpha$$, and $$\Omega_{I+1}$$ should mean $$\Omega$$ with cardinality $$I+1$$, $$\Omega_{M+1}$$ should mean $$\Omega$$ with cardinality $$M+1$$ or $$I(0,M+1)$$, and $$I_{M+1}$$ should mean $$M+1$$-th inaccessible cardinal or $$I(1,M+1)$$, and $$I(2,0)_{M+1}$$ should mean $$M+1$$-th 2-inaccessible cardinal or $$I(2,M+1)$$.


 * Do I understand this correctly? And if this is so, why do not we then make a collapsing function, where after $$M+\alpha, \Omega_{M+\alpha}$$ used $$I_{M+1} = I(1,M+1)$$, $$I(2,0)_{M+1} = I(2,M+1)$$, $$I(3,0)_{M+1} = I(3,M+1)$$ etc.? This will be a much more powerful notation.
 * Scorcher007 (talk) 02:59, September 15, 2017 (UTC)

If you think that for all existing colapsing functions $$M_2$$ follows immediately after $$\Omega_{M+1}$$, $$\Omega_{\Omega_{M+1}}$$, $$\Omega_{\Omega_{\Omega_{M+1}}}$$ then it is not correctly.

As you can see, even for example $$\psi_{\Iota(2,1)}(0)$$ follows not after

$$\Omega_{\Iota(2,0)+1}$$, $$\Omega_{\Omega_{\Iota(2,0)+1}}$$, $$\Omega_{\Omega_{\Omega_{\Iota(2,0)+1}}}$$ ...

but after

$$\Iota_{\Iota(2,0)+1}$$, $$\Iota_{\Iota_{\Iota(2,0)+1}}$$, $$\Iota_{\Iota_{\Iota_{\Iota(2,0)+1}}}$$ ...

And what to say about Mahlo-cardinals! Smallest of them is greater than any inaccessible cardinals $$\Iota(\alpha,\beta)$$ same way as first uncountable ordinal is greater than any countable ordinal of Veblen function.

But I will not try to look smart saying about cardinals of Mahlo, since I only begin to understand them, nevertheless I will say something intuitively:

we can define collapsing function

$$C_0(\alpha,\beta) = \beta\cup\{0\}$$

$$C_{n+1}(\alpha,\beta) = \{\gamma+\delta|\gamma,\delta\in C_n(\alpha,\beta)\}$$

$$\cup \{M_\gamma|\gamma\in C_n(\alpha,\beta)\}$$

$$\cup \{\chi_\pi(\gamma)|\pi,\gamma\in C_n(\alpha,\beta)\wedge\gamma<\alpha\wedge\pi\text{ is weakly Mahlo}\}$$

$$\cup \{\psi_\pi(\gamma)|\pi,\gamma\in C_n(\alpha,\beta)\wedge\gamma<\alpha\wedge\pi\text{ is uncountable regular}\}$$

$$C(\alpha,\beta) = \bigcup_{n<\omega} C_n(\alpha,\beta)$$

$$\chi_\pi(\alpha) = \min\{\beta<\pi|C(\alpha,\beta)\cap\pi\subseteq\beta\wedge\beta\text{ is uncountable regular}\}$$

$$\psi_\pi(\alpha) = \min\{\beta<\pi|C(\alpha,\beta)\cap\pi\subseteq\beta\}$$

such that

$$\psi(M_2)=\psi(\chi_{M_2}(\chi_{M_2}(...\chi_{M_2}(M)...)))=\psi(\Iota(1,M+1))$$

and we can define collapsing function

$$C_0(\alpha,\beta) = \beta\cup\{0\}$$

$$C_{n+1}(\alpha,\beta) = \{\gamma+\delta|\gamma,\delta\in C_n(\alpha,\beta)\}$$

$$\cup \{M_\gamma|\gamma\in C_n(\alpha,\beta)\}$$

$$\cup \{\Iota(\gamma,\delta)|\gamma,\delta\in C_n(\alpha,\beta)\}$$

$$\cup \{\chi_\pi(\gamma)|\pi,\gamma\in C_n(\alpha,\beta)\wedge\gamma<\alpha\wedge\pi\text{ is weakly Mahlo}\}$$

$$\cup \{\psi_\pi(\gamma)|\pi,\gamma\in C_n(\alpha,\beta)\wedge\gamma<\alpha\wedge\pi\text{ is uncountable regular}\}$$

$$C(\alpha,\beta) = \bigcup_{n<\omega} C_n(\alpha,\beta)$$

$$\chi_\pi(\alpha) = \min\{\beta<\pi|C(\alpha,\beta)\cap\pi\subseteq\beta\wedge\beta\text{ is uncountable regular}\}$$

$$\psi_\pi(\alpha) = \min\{\beta<\pi|C(\alpha,\beta)\cap\pi\subseteq\beta\}$$

such that

$$\psi(M_2)=\psi(\Iota(1,1,M+1))$$

Second seems stronger.

But!

Look at analogy: although collapsing function such that $$\psi(\Omega_2)=\psi(\varphi(1,0,\Omega_1+1))$$ is stronger than another collapsing function such that $$\psi(\Omega_2)=\psi(\psi_{\Omega_2}(\psi_{\Omega_2}(...\psi_{\Omega_2}(\Omega_1)...)))=\psi(\varphi(1,\Omega_1+1))$$ but the second will catch the first at the level $$\varepsilon_{\Omega_2+1}$$

Same way and for functions collapsing Mahlo: the first will catch the second at the level $$\varepsilon_{M_2+1}$$. Thus although the second function collapsing cardinals of Mahlo is stronger but not really much stronger meanwhile the first function collapsing cardinals of Mahlo is simplier for creating of common rules for fundamental sequences. --Denis Maksudov (talk) 21:17, September 15, 2017 (UTC)

Large cardinals simply
Приветствую. Спасибо за разъяснения по коллапсировании недостижимых кардиналов. Все же я по-прежнему не оставляю надежды понять и самое главное после этого как можно проще объяснить смысл самих больших кардиналов. Чтобы опять же все это упрощенно изложить в популярном цикле статей. Сейчас мое понимание немного расширилось благодаря общению с пользователями этой вики, и то что я писал вам ранее теперь уже мне самому видится некорректным. Мне хотелось бы сравнить то, что я сейчас понимаю с вашими знаниями и представлениями об этом.

Итак, прежде всего каждый недостижимый кардинал это аксиома, то есть вводится без доказательств.

Недостижимый кардинал $$I$$ это такой кардинал, кардинальность которого равна этому кардиналу $$\aleph_I = I$$, соответственно и соответствующие ординалы подчиняются этому же правилу $$\omega_I = I$$. То есть это нечто большее, чем фиксированные точки $$\alpha \mapsto \omega_\alpha$$ и их любое рекурсивное расширение.

Следующим большим кардиналом будет $$\aleph_{I+1} > I$$, но мы не можем назвать его вторым недостижимым кардиналом, потому как для его ординала правило недостижимости не работает $$\omega_{I+1} > I+1$$. Значит вторым недостижимым кардиналом будет тот у которого правило недостижимости будет работать и для его ординала: $$\aleph_{I_2} = I_2$$ и $$\omega_{I_2} = I_2$$.

Дальше вводится понятие 2-недостижимого кардинала. Он соответственно будет больше любых фиксированных точек $$\alpha \mapsto I_\alpha$$ и их любого рекурсивного расширения. Определяется как $$I_{I(2)} = I(2)$$. И дальше $$I(2)_{I(3)} = I(3)$$, и так далее.

Или в терминах другой нотации, где $$\aleph_1 = I(0,0)$$, $$I = I(1,0)$$, $$I(2) = I(2,0)$$ и т.д. Это можно выразить так:

$$I(0,I(0,I(0,I(0,...)))) < I(1,0)$$

$$I(1,I(1,I(1,I(1,...)))) < I(2,0)$$

$$I(2,I(2,I(2,I(2,...)))) < I(3,0)$$

Дальше мы можем ввести понятие гипернедостижимого кардинала:

$$I(I(I(I(...,0),0),0),0) < I(1,0,0)$$

Гипергипернедостижимого:

$$I(I(I(I(...,0,0),0,0),0,0),0,0) < I(1,0,0,0)$$

n-гипернедостижимого и т.д.

В целом по сравнению с одноуровневой $$\aleph_\alpha$$ у нас получилась двухуровневая иерархия:

1. n-th inaccessible cardinals

2. n-inaccessible cardinals.

Дальше идет mahlo-кардинал. У него сложное определение. И то что я из него приблизительно понял, это то что mahlo-кардиналом называют такой кардинал множество всех пределов, которого равно этому кардиналу (или математическим языком: стационарно). Иными словами применимо к недостижимому кардиналу это будет так: $$I(\{S\}) = \{S\} = M$$, то есть mahlo-кардинал будет больше любых рекурсивных пределов гипернедостижимого кардинала.

Затем аналогично большим чем mahlo-кардинал будет $$\aleph_{M+1} > M$$, но мы не можем назвать его вторым mahlo-кардиналом, потому как для его ординала mahlo-недостижимости не работает $$\aleph_{M+1}\{S\} > \{S\}$$. Значит вторым недостижимым кардиналом будет тот, у которого правило mahlo-недостижимости будет работать и на его пути на попадутся такие кардиналы как: $$\aleph_{M+1} = I(0,M+1)$$, $$I_{M+1} = I(1,M+1)$$, $$I(2,M+1)$$, $$I(1,0,M+1)$$, $$I(1,0,0,...,M+1)$$ и так далее по всем рекурсивным пределам, пока: $$I(\{S\},M+1) = \{S\} = M_2$$.

После чего $$\alpha \mapsto M_\alpha > M_{M(2)} = M(2)$$, что называется недостижимым пределом mahlo-кардиналов. Следующий недостижимый предел $$\alpha \mapsto M(2)_\alpha > M(2)_{M(3)} = M(3)$$. И рекурсивная иерархия этих пределов:

$$M(1,M(1,M(1,M(1,...)))) < M(2,0)$$

$$M(2,M(2,M(2,M(2,...)))) < M(3,0)$$

$$M(M(M(M(...,0),0),0),0) < M(1,0,0)$$

$$M(M(M(M(...,0,0),0,0),0,0),0,0) < M(1,0,0,0)$$

Дальше то, что называется 2-mahlo-кардинал. Определяется аналогично: $$M(\{S\}) = \{S\} = 2-M$$, то есть 2-mahlo-кардинал будет больше любых рекурсивных пределов недостижимых пределов mahlo-кардиналов. Ну а дальше $$2-M(\{S\}) = \{S\} = 3-M$$ и так далее до $$...-M-M-M-M$$ гипер mahlo-кардинала, затем гипергипер mahlo-кардинал и т.д.

Итого мы имеем трехуровневую иерархию:

1. n-th mahlo cardinals

2. n-limit of mahlo cardinals

3. n-mahlo cardinals

Следующими идут слабокомпактные кардиналы. У них огромное множество определений и все из них малопонятные для непрофессионального математика. Одно из них гласит, что слабокомпактный кардинал это кардинал неописуемый на языке гиперарифметики или $$\Pi_1^1$$. Это нам и пригодится для его упрощенного определения. Дело в том, что недостижимый кардинал, так же как и mahlo-кардинал являются неописуемыми на языке рекурсивной арифметики. То есть мы говорим, какие бы рекурсивные расширения $$\alpha \mapsto \omega_\alpha$$ мы не использовали $$I$$ будет больше, или какие бы рекурсивные расширения пределов $$I(\{S\})$$ мы бы не использовали $$M$$ будет больше. То есть в своем определении эти кардиналы аналогично $$\omega_1^{CK}$$ рекурсивно недостижимы. Но у рекурсивной недостижимости есть своя иерархия Admissible ordinals: $$\omega_2^{CK}$$, $$\omega_3^{CK}$$, и т.д, она же гиперарифметическая иерархия. Так вот слабокомпактный кардинал по своему определению недостижим даже с использованием гиперарифметики. Значит он будет больше любых возможных гипер mahlo-кардиналов.

Ну а дальше аналогичная уже четырехуровненная иерархия:

1. n-th weakly compact cardinals

2. n-limit of weakly compact cardinals

3. n-stationary of weakly compact cardinals

4. n-weakly compact cardinals or n-weakly compact cardinals with "weakly compact condition" over weakly compacts cardinals.

Затем идут $$\Pi_2^1$$-неописуемые кардиналы, $$\Pi_3^1$$, $$\Pi_4^1$$, $$\Pi_5^1$$ и так далее вплоть до $$\Pi_n^1$$-неописуемого кардинала. Вот это для меня уже совсем темный лес, что бы понимать что это значит надо разбираться в аналитической иерархии (Analytical hierarchy). Могу только предположить, что $$\Pi_2^1$$ будет иметь уже пятиуровневую иерархию, $$\Pi_3^1$$ - шестиуровневую иерархию и т.д. до $$\Pi_n^1$$ c n+3 - уровневой иерархией.

Есть ли вам что добавить или исправить в этой теме? Может быть где-то мое понимание недостаточно или неправильно? Scorcher007 (talk) 04:11, September 16, 2017 (UTC)

Недостижимый кардинал нельзя определять просто как $$\alpha=\aleph_\alpha$$, то есть это равенство выполняется, но не является единственным условием.

Недостижимый кардинал определяется как кардинал, который одновременно и регулярный и предельный.

Кардинал $$\alpha$$ является предельным если $$\alpha=\aleph_\beta$$ где $$\beta$$ - предельный ординал

Кардинал $$\alpha$$ является регулярным если он равен собственной кофинальности $$\text{cof}(\alpha)=\alpha$$

Кофинальность кардинала $$\alpha$$ это наименьшая кардинальность множества (т.е. количество элементов множества) ординалов, меньших чем $$\alpha$$, которые в сумме дают $$\alpha$$

Кофинальность понятие чрезвычайно важное в данном случае, поэтому я поясню ее на ряде примеров:

$$\text{cof}(\omega)=\omega$$ поскольку омега это сумма всех натуральных чисел $$\omega=1+2+3+...$$ и число элементов этой суммы равно омеге, а вот например для эпсилон это условие не выполняется $$\text{cof}(\varepsilon_0)=\omega\neq\varepsilon_0$$ поскольку этот ординал может быть разложен на множество меньших составных частей, число которых равно омеге $$\varepsilon_0=\omega+\omega^{\omega}+\omega^{\omega^{\omega}}+...$$, аналогично для предельного кардинала $$\Omega_\omega$$ т.е.$$\text{cof}(\Omega_\omega)=\omega\neq\Omega_\omega$$ поскольку $$\Omega_\omega=\Omega_1+\Omega_2+\Omega_3+...$$, а вот первый неисчислимый ординал не может быть получен как сумма меньших составных частей с числом членов, меньшим чем он сам $$\text{cof}(\Omega_1)=\Omega_1$$

Первой фиксированной точной омеги на самом деле является $$\psi_\Iota(0)=\text{min}\{\alpha|\Omega_\alpha=\alpha\}$$ это кардинал предельный, но не регулярный поскольку $$\text{cof}(\psi_\Iota(0))=\omega\neq\psi_\Iota(0)$$ т.к. $$\psi_\Iota(0)=\Omega+\Omega_{\Omega}+\Omega_{\Omega_{\Omega}}+...$$

Давайте определим функцию Веблена на базе $$\Phi(0,\alpha)=\Omega_{1+\alpha}$$ следующим стандартным образом:

$$\Phi(\alpha,\beta)=\beta$$-я общая неподвижная точка функций $$\Phi(\gamma,\delta)=\delta$$ для всех $$\gamma<\alpha$$.

Тогда $$\psi_\Iota(0)$$ соответствует $$\Phi(1,0)$$

$$\psi_\Iota(\alpha)$$ соответствует $$\Phi(1,\alpha)$$

$$\psi_\Iota(\Iota)$$ соответствует $$\Phi(2,0)$$ что напоминает некоторые определения пси-функции где $$\psi(\Omega_1)=\zeta_0=\varphi(2,0)$$

Таким образом, первый недоступный кардинал соотносится со всеми рекурсиями на базе $$\alpha=\Omega_\alpha$$, как первый неисчислимый кардинал со всеми рекурсиями на базе $$\alpha=\omega^\alpha$$

Теперь по аналогии дадим определение $$\beta$$-му $$\alpha$$-слабо недоступному кардиналу $$\Iota(\alpha, \beta)$$:

если некий ординал является $$\beta$$-м $$\alpha$$-слабо недоступным кардиналом, следовательно это $$(1+\beta)$$-й неисчислимый регулярный кардинал, такой что $$\Iota(\gamma,\delta)=\delta$$ для всех $$\gamma<\alpha$$

или же иначе говоря $$I(\alpha,\beta)=$$ the $$(1+\beta)$$й ординал, принадлежащий множеству $$\{\gamma\in R|\forall\delta<\alpha(I(\delta,\gamma)=\gamma)\}$$ где $$R$$ обозначает множество всех регулярных кардиналов $$\xi>\omega$$.

Как видите, определение очень похоже на определение функции Веблена, но очень важно, что это именно РЕГУЛЯРНЫЕ неисчислимые кардиналы, то есть такие, что их кофинальность равна им самим. --Denis Maksudov (talk) 22:52, September 16, 2017 (UTC)


 * "Таким образом, первый недоступный кардинал соотносится со всеми рекурсиями на базе $$\alpha=\Omega_\alpha$$, как первый неисчислимый кардинал со всеми рекурсиями на базе $$\alpha=\omega^\alpha$$".


 * То есть если $$\omega^\alpha < \Omega$$ и $$\Omega_\alpha < I$$, где $$\alpha$$ - любые возможные рекурсивные расширения. Тогда я полагаю мое определение $$I(\alpha) < M$$, можно считать корректным? То есть М - это такой регулярный кардинал, множество регулярных кардиналов входящих в него равно этому самому кардиналу (стационарно).


 * Все эти три определения используют понятие рекурсивной недостижимости (подобно $$\omega_1^{CK}$$), то есть неописуемы арифметически или $$\Pi_0^1$$. Тогда как слабокомпактный кардинал неописуем уже на языке гиперарифметики $$\Pi_1^1$$.Scorcher007 (talk) 08:30, September 17, 2017 (UTC)

Зачем вообще использовать степень омеги в определении первого неисчислимого ординала? Он определяется как наименьший ординал, который не может быть разложен на сумму счетных ординалов, число которых меньше чем он сам. То есть он наименьший ординал с кардинальностью алеф_1 или же наименьший ординал соответствующий множеству всех исчислимых ординалов. Кроме того могут быть случаи когда $$\omega^\alpha > \Omega$$, например если $$\alpha = \Omega+1$$. Точно также $$\Iota(0,M+1)>M$$--Denis Maksudov (talk) 08:43, September 17, 2017 (UTC)


 * Ну я же не даю полное определение, а пытаюсь уловить концептуальные особенности неописуемости, для упрощенного объяснения. Так понятно, что скажем, и $$\omega^\alpha < \omega_1^{CK}$$. Так что, я наверно неправильно выразился, я приводил, скорее свойства, чем определения. В любом случае, спасибо за разъяснения. Scorcher007 (talk) 08:58, September 17, 2017 (UTC)

Тут все же есть нюансы: $$\omega_1^{CK}$$ это счетный ординал, следовательно $$ \omega_1^{CK}<\Omega$$, в тоже время, если $$\alpha = \Omega+1$$, то в таком случае $$\omega^\alpha =\omega^{\Omega+1} =\Omega\omega>\Omega>\omega_1^{CK}$$. То есть строго говоря $$\omega^\alpha < \omega_1^{CK}$$ только если $$\alpha$$ счетный ординал.

Может быть отойду немного в сторону от темы, но замечу, что вообще степени омеги это очень удобная вещь для организации степенных башен чего угодно, например тех же кардиналов Махло

$$\omega^{M+1}=M\omega$$

$$\omega^{\omega^{M+1}}=M^\omega$$

$$\omega^{\omega^{\omega^{M+1}}}=M^{M^\omega}$$

и так далее.--Denis Maksudov (talk) 09:22, September 17, 2017 (UTC)

Кстати что касается коллапсирования Махло. Там вводятся две коллапсирующие функции, одна учитывает предельные ординалы $$\psi_M(\omega) = \Omega_\omega$$, другая не учитывает $$\chi_M(\omega) = \Omega_{\omega+1}$$, из-за это получается следующее:

$$\psi_M(I) = \Omega_\alpha$$

$$\psi_M(M) = \Omega_\alpha$$

$$\psi_M(M+1) = I$$

$$\chi_M(I) = I$$

$$\chi_M(M) = I$$

$$\chi_M(M+1) = \Omega_{I+1}$$

В общем, мне не понятно следующее, если мы в ординальной нотации пользуемся в основном $$\chi$$, потому что она позволяет подогнать аналог иерархии бахмана $$\chi(M^n)$$, под аналог иерархии Вебелна $$I(a,b)$$, зачем тогда нужна $$\psi$$?Scorcher007 (talk) 10:00, September 17, 2017 (UTC)

$$\chi_M(\alpha)$$ коллапсирует ординал $$\alpha$$ в другой ординал $$\beta$$, меньший чем $$M$$, в частных случаях $$\beta =\Iota(\gamma,\delta) <M$$. Затем $$\psi_\pi(\beta)$$ коллапсирует этот ординал $$\beta$$ в ординал $$\eta$$, меньший чем регулярный кардинал $$\pi$$, в частном случае, если $$\pi=\Omega_1$$, то на выходе будет счетный ординал, который можно подставить в быстро-растущую иерархию и получить наконец натуральное число.--Denis Maksudov (talk) 10:23, September 17, 2017 (UTC)

Я это понимаю, и спрашивал не совсем это. Но, кажется я сам понял, вместо того чтобы писать сложные исключение в работу функции $$\psi$$, которая на масштабах $$\psi_M$$, начинает работать по-другому, проще ввести новую функцию $$\chi$$, которая на всех масштабах работает по-другому.Scorcher007 (talk) 10:35, September 17, 2017 (UTC)

Основная мотивация для введения $$\chi$$ следующая:

Вот аналогия: при помощи функции Веблена мы можем генерировать большие счетные ординалы для быстрорастущей иерархии, такие как $$\varphi(1,0)$$, $$\varphi(1,0,0)$$, $$\varphi(1,0,0,0)$$ и вот тут мы подходим к пределу возможностей этого алгоритма. Далее нужно ввести функцию, коллапсирующую неисчислимые ординалы, и дело идет гораздо веселее:

$$\psi(\Omega^\Omega)=\varphi(1,0,0)$$

$$\psi(\Omega^{\Omega^2})=\varphi(1,0,0,0)$$

$$\psi(\Omega^{\Omega^3})=\varphi(1,0,0,0,0)$$

и так далее. Это вы, конечно, и так понимаете, просто привел для аналогии с похожей проблемой. Теперь нужно генерировать большие ординалы уже не для быстро-растущей иерархии, а для самой $$\psi$$-функции. Точно также, это можно сделать вводя $$\Iota(1,0)$$, $$\Iota(1,0,0)$$, $$\Iota(1,0,0,0)$$ и вот опять этот алгоритм себя быстро исчерпал. Вот тогда мы и вводим $$\chi$$ функцию, которая выполняет для $$\psi$$-функции такую же роль, как и сама $$\psi$$-функция для быстрорастущей иерархии:

$$\chi(M^M)=\Iota(1,0,0)$$

$$\chi(M^{M^2})=\Iota(1,0,0,0)$$

$$\chi(M^{M^3})=\Iota(1,0,0,0,0)$$

и так далее. Именно $$\chi$$-функция позволяет получить по настощяему большие ординалы и без нее никак.

И еще $$\chi$$ функция всегда дает на выходе регулярный неисчислимый кардинал $$\pi$$, то есть это готовый индекс для $$\psi$$-функции: $$\psi_\pi$$

То есть $$\psi$$ принимает в качестве аргументов как предельные, так и регулярные кардиналы и на выходе дает как предельные так и регулярные кардиналы, но в качестве индекса приемлет только регулярные кардиналы, а вот $$\chi$$ на выходе дает именно РЕГУЛЯРНЫЕ кардиналы-Denis Maksudov (talk) 11:12, September 17, 2017 (UTC)

В продолжении темы: нашел ряд работ, которые дают ключ к упрощенному пониманию неописуемых кардиналов. Итак как мы выяснили $$I$$ и $$M$$, это кардиналы в которых лежит принцип арифметической неописуемости $$\Pi^0_1$$ с переделом $$\omega_1^{CK}$$.

Слабокомпактный кардинал $$K$$ это такой кардинал, который $$\Pi^1_1$$ неописуем, то есть неописуем на языке гиперарифметики. Вопрос назревает сам собой, каков предельный ординал у гиперарифметики.

Для этого мы должны разобрать иерархию гиперарифметических ординалов они же Admissible ordinals, далее так и будем их называть. 1st admissible ordinal это $$\omega$$ он рекурсивно-недостижимым для конечных чисел, 2nd admissible ordinal это $$\omega_1^{CK}$$ он рекурсивно-недостижимым для вычислимых счетных ординалов. Любые невычислимые функции должны иметь скорость роста по меньшей мере $$UCF \geqslant FGH_{\omega_1^{CK}}$$. Соответственно, 2nd admissible ordinal это $$\omega_2^{CK}$$, такой который рекурсивно-недостижимым для любых рекурсивных операций над $$\omega_1^{CK}$$.

И так далее иерархия продолжается до $$\omega_\omega^{CK}$$, который как ни странно не считается admissible ordinal, видимо это по аналогии с regular cardinal.

Так или иначе иерархия продолжается дальше: $$\omega_{\omega_1^{CK}}^{CK}$$, $$\omega_{\omega_{\omega_1^{CK}}^{CK}}^{CK}$$ и $$\alpha \mapsto \omega_\alpha^{CK}$$ и всевозможных рекурсивных расширений последнего. Собственно тут прослеживается сильная похожесть с несчетными кардиналами, и если кардинал не является regular, то и его счетный аналог не является admissible. И более того как пишет википедия: Any regular uncountable cardinal is an admissible ordinal.

Так же как с несчетными кардиналами аналогично и для admissible ordinal дальше вводится понятие недостижимости или recursively inaccessible ordinal, общепринятого обозначения у него нет, поэтому давайте будем записывать его так $$I^{CK}$$. Аналогичная иерерахия n-th inaccessible и n-inaccessible и вообще все аналогично.

Дальше recursively Mahlo ordinal $$M^{CK}$$ с аналогичной иерархией n-th Mahlo, n-limit Mahlo и n-Mahlo.

А вот когда доходим до recursively weakly compact ordinal, вот тут и ключ к пониманию. Из его свойств получается, что это гиперарифметический кардинал, который гиперарифметически ($$\Pi^1_1$$) неописуем. По всей видимости он и является нашим искомым предельным ординалом. Все что сверх него следует считать гипергиперарифметическим $$\Pi^1_2$$. Wayne Richter предлагает называть его 2-admissible ordinal, между прочим weakly compact cardinal из его же работ зовется 2-regular cardinal. Но вернемся к 2-admissible ordinal, давайте запишем его вот так $$\omega_1^{CK'2}$$ по всей видимости это тот самый ординал, который устанавливает предел для вычислений на Вечной машине Тьюринга, ну или как следует из работы David Hamkins по крайней мере $$\lambda \geqslant \omega_1^{CK'2}$$. Соотвественно $$\omega_1^{CK'2}$$ может проделать весь тот же иерархический путь, что и $$\omega_1^{CK}$$, до тех пор пока:

3-admissible ordinal это 2-admissible ordinal неописуемый на языке гипергиперарифметики ($$\Pi^1_2$$). Соотетсвтенно $$\Pi^1_2$$-неописуемый кардинал, это кардинал, который так же неописуем на языке гипергиперарифметики ($$\Pi^1_2$$). Ну в общем и так далее.

Феферман, устанавивает между всем этим следующее соответствие: $$\Pi^1_n$$-indescribable cardinal = n+1-regular cardinal неописуем с использованием n+1-admissible ordinal = $$\Pi^0_{n+2}$$-reflection.

Так продолжается влоть до $$\omega$$-admissible ordinal после чего вводится понятие stability и stable ordinal, которые соответсвуют total indescribable cardinal при своих конечных значениях, и соответствуют shrewd indescribable cardinal при транфинитных значениях.

По всей видимости $$\omega$$-admissible ordinal или $$\Pi^1_n$$ или $$\Pi^2_0$$ это 1st stable ordinal. И это все, что я могу пока сказать про stable ordinal. Более детально об этом можно узнаить разве, что из работ Мадоре, Ратченаили Стегерта

Но, в общем, Стегерт и Тарановски начиная с $$\Pi^1_n$$-неописуемых кардиналов отказываются от кардиналов при коллапсировании и переходят на коллапсирование stable ordinals, которые позволяют дойти почти до самых пределов ZFC.

Вот... Просьба, опять же, указать на неправильное понимание или некорректные места, если вы таковое заметите.Scorcher007 (talk) 11:52, September 19, 2017 (UTC)

Спасибо за полезные ссылки. Я только вчера обновил правила для фундаментальных последовательностей, теперь они позволяют описать любой случай до $$I(1,0,0)$$, что соответствуем $$\chi(M^M)$$, но дальше у меня большие пробелы в знаниях. По вашим ссылкам надо разбираться. К сожалению, сейчас у меня проблемы со временем. Так что я пожалуй воздержусь от комментариев, что бы случайно не ввести вас в заблуждение.--Denis Maksudov (talk) 20:20, September 19, 2017 (UTC)

Buchholz style inaccessible cardinal collapsing
Приветствую. Изучая коллапсирование недостижимых кардиналов, Я заметил одну интересную особенность. Коллапсирование недостижимого кардинала, по всей видимости, было разработано на основе функции Бахмана. Но это создает дополнительные сложности в восприятии результатов функции. Поскольку функция Бухольца намного интуитивнее чем функция Бахмана, мы могли бы переписать коллапирование недостижимых кардинал по принципу Бухольца, что упростило бы и весь последующий процесс надстраивания коллапсирований типа Махло и слабокомпактных. К сожалению я не силен в написании формальных определений функции, могу лишь показать наглядно как бы это работало:

функция Бухольца для недсотижимых кардиналов:

&psi;I(0) = 1

&psi;I(1) = &Omega;

&psi;I(2) = &Omega;2

&psi;I(&omega;) = &Omega;&omega;

&psi;I(&psi;I(1)) = &psi;I(&Omega;) = &Omega;&Omega;

&psi;I(&psi;I(&psi;I(&psi;I(&psi;I(...))))) = &psi;I(I) = &Omega;&Omega; &Omega; &Omega; ...

&psi;(&Omega;&Omega; &Omega; ... I+1  ) = &psi;(&psi;I2 (I2)) = &psi;(I2)

&psi;(II I I ...  ) = &psi;(&psi;I(2,0)(I(2,0))) = &psi;(I(2,0))

Это помогло бы избежать постоянных нудных шагов, когда мы вынуждены каждый раз карабкаться от нуля в аргументе функции до соответствующего ей кардинала. Но на общую скорость роста это бы не повлияло, поскольку обе функции сходятся в "степени омега", так же как классические Бахмановская и Бухольцевская функции.

&psi;(&Omega;&Omega; &Omega; &Omega; ...  ) - Bachman type: &psi;(&psi;I(0)) - Buchholz type: &psi;(&psi;I(I)) = &psi;(I)

Bachman type: &psi;(&psi;I(&psi;I(&psi;I(&psi;I(&psi;I(...)))))) = &psi;(&psi;I(I)) = &psi;(I) - Buchholz type: &psi;(&psi;I(I2)) = &psi;(I2)

Bachman type: &psi;(&psi;I(I&omega;)) = &psi;(I&omega;) - Buchholz type: &psi;(&psi;I(I&omega;)) = &psi;(I&omega;)

&psi;(&Omega;&Omega; &Omega; ... I+1  ) - Bachman type: &psi;(&psi;I2 (0)) - Buchholz type: &psi;(&psi;I2 (I2)) = &psi;(I2)

Bachman type: &psi;(&psi;I(&psi;I(&psi;I(&psi;I(&psi;I(...)))))) = &psi;(&psi;I2 (I2)) = &psi;(I2) - Buchholz type: &psi;(&psi;I2 (I22)) = &psi;(I22)

Bachman type: &psi;(&psi;I2 (I2&omega;)) = &psi;(I2&omega;) - Buchholz type: &psi;(&psi;I2 (I2&omega;)) = &psi;(I2&omega;)

&psi;(II I I ...  ) - Bachman type: &psi;(&psi;I(2,0)(0)) - Buchholz type: &psi;(&psi;I(2,0)(I(2,0))) = &psi;(I(2,0))

Bachman type: &psi;(&psi;I(2,0)(&psi;I(2,0)(&psi;I(2,0)(&psi;I(2,0)(&psi;I(2,0)(...)))))) = &psi;(&psi;I(2,0)(I(2,0))) = &psi;(I(2,0)) - Buchholz type: &psi;(&psi;I(2,0)(I(2,0)2)) = &psi;(I(2,0)2)

Bachman type: &psi;(&psi;I(2,0)(I(2,0)&omega;)) = &psi;(I(2,0)&omega;) - Buchholz type: &psi;(&psi;I(2,0)(I(2,0)&omega;)) = &psi;(I(2,0)&omega;)

Таким образом можно было бы легко пропустить отмеченные здесь http://lihachevss.ru/collapse.html мной зеленым шаги, при этом сохранив скорость роста, облегчив наглядность и интуитивность коллапсирования.

Что вы думаете по этому поводу, реально ли это, или есть какие-то ограничения, которые я не вижу? Scorcher007 (talk) 07:19, October 12, 2017 (UTC)

Я хорошо, понимаю о чем вы говорите. Когда я формулировал фундаментальные последовательности для функции коллапсирующей альфа-слабо недоступные кардинала, мне и самому приходило в голову, что правила можно было бы существенно упростить, если бы функция обладала теми свойствами. Я думаю, что бы функция вела себя так, как вы описываете, она должна быть определена следующим образом: --Denis Maksudov (talk) 18:04, October 12, 2017 (UTC)
 * $$C_0(\alpha,\beta) = \beta\cup\{0\}$$
 * $$C_{n+1}(\alpha,\beta) = \{\gamma+\delta,I(\epsilon,\zeta),\psi_\pi(\eta)|\pi,\gamma,\delta,\epsilon,\zeta,\eta\in C_n(\alpha,\beta)\wedge\zeta,\eta<\alpha\}$$
 * $$C(\alpha,\beta) = \bigcup_{n<\omega} C_n(\alpha,\beta)$$
 * $$\psi_\pi(\alpha) = \min\{\beta<\pi|C(\alpha,\beta)\cap\pi\subseteq\beta\}$$

На самом деле изменение функции &psi;I(...) это только полдела, в модификации нуждаются и последующие Махло-расширения. Пока что в коллапсировании твориться вот такой хаос:

&Omega;&alpha; - Buchholz style

I&alpha; - Bachman style

I(1,0) e.t.c. - Bachman style

M&alpha; - Buchholz style

M(1,0) e.t.c. - Bachman style

M(2;0) e.t.c. - Buchholz style

K - feferman style

И, например, M&alpha; - несмотря на Buchholz style, тащит за собой нулевой аргумент из I(a,b)

M(a,b) в свою очередь выполнена в Bachman style и добавляет еще один нулевой аргумент, в итоге мы получаем вот такую матрешку: MM M M ...  = &psi;&chi; M(1,0)(0) (0).

Опять же M(a;b) - несмотря на Buchholz style, тащит оба этих нуля: MM M M ...  = &psi;&chi; M(2;0)(0) (0).

Следовательно, чтобы все привести к Buchholz style нужно еще переделать M(a,b). Ну и неплохо было бы K из Feferman style перевести в Buchholz style (если это возможно). Тогда бы все выглядело очень красиво, наглядно и элегантно.

Я опять же как и говорил, не умею формулировать определения, но вот тут http://lihachevss.ru/buchholz.html определил необходимые свойства функций и там же ниже в таблице сделал небольшой анализ коллапсирования до KP-П3. Получилось всё очень даже наглядно и понятно.Scorcher007 (talk) 16:32, October 14, 2017 (UTC)

Еще немного в продолжении темы, там же  http://lihachevss.ru/buchholz.html#indescribable, ниже под таблицей. Я привожу схемы коллапсирования до KP-П&omega;. Используя предложенный Hypcos принцип нотации:

M(a;b)

K(a;b;c)

П12I(a;b;c;d)

П13I(a;b;c;d;e)

И используя общие принципы коллапсирования Бухольца-Веблена, очень легко наглядно показать масштабы ординалов до самого KP-П&omega;. Хоть конечно, я понимаю, что должно быть формальное определение коллапсирующих функций, чтобы выстроить фундаментальные последовательности. Но схемы кажутся не особо сложными и запутанными, так что полагаю и формализация функций вполне возможна.

ПС: поразительным является тот факт, что в какой бы схеме мы не коллапсировали, будь то KP-П3,KP-П4,KP-П5, или даже KP-П&omega;, данные нотации позволяют записать любой кардинал от &Omega; до собственно передельного ординала нотации.Scorcher007 (talk) 16:04, October 17, 2017 (UTC)

На самом деле, функция которую я вам в прошлый раз предложил корректно работать не будет. Я просто искусственно ограничил рост $$\beta$$ в $$I(\alpha,\beta)$$ для того, что функция имела бы те свойства, которые вы описали. Но я поторопился. Сегодня я рассмотрел ее работу на примерах. Проблема там несколько серьезнее и требует фундаментальной перестройки алгоритма образования ординалов в множествах, если вообще решаема.

Вы хотите получить $$\psi_I(\psi_I(\psi_I(...)))=\Omega_{\Omega_{\Omega_{...}}}$$ по аналогии с $$\psi_\Omega(\psi_\Omega(\psi_\Omega(...)))=\omega^{\omega^{\omega^{...}}}$$, но разница в том, что в случае $$\psi_\Omega$$ в каждом следующем множестве $$C_{\Omega}^{n+1}(\alpha)$$ новые ординалы, меньшие $$\Omega$$ образуются просто за счет сложения ординалов $$\beta$$ и $$\gamma$$ из предыдущего множества $$C_{\Omega}^n(\alpha)$$, в то время как в случае $$\psi_I$$ новые ординалы, меньшие $$I$$ образуются за счет подстановки $$\beta$$ из предыдущего множества $$C_I^n(\alpha)$$ в функцию $$I(0,\beta)$$.

Иными словами на уровне $$I$$ у нас просто нет аналога операции сложения и применяется операции подстановки в $$I(1,\beta)$$--Denis Maksudov (talk) 21:37, October 17, 2017 (UTC)

Кажется я понял в чем проблема. Действительно &psi;I(I+a), при любом a, будет выдавать лишь 1st &Omega;-fixed point.

А что если вести функцию &chi;I, которая бы работала аналогично коллапсированию Махло?

&chi;I(0) = &Omega;1

&chi;I(1) = &Omega;1+1

&chi;I(&omega;) = &Omega;&omega;+1

&chi;I(&chi;I(1)) = &Omega;&Omega;+1

&chi;I(&chi;I(&chi;I(1))) = &Omega;&Omega; &Omega;+1

&chi;I(&chi;I(&chi;I(&chi;I(1)))) = &Omega;&Omega; &Omega; &Omega; +1

&chi;I(&chi;I(&chi;I(...))) = &chi;I(I) = &Omega;1&Omega;FP+1

&chi;I(I+1) = &Omega;1&Omega;FP+2

&chi;I(I*2) = &Omega;2&Omega;FP+1

etc

[n&Omega;FP это n-&Omega;-fixed point]

Согласен, что на первый взгляд это выглядит как усложнение. Но наша задача унифицировать весь процесс коллапсирования и привести его к стилю Бухольца, что в конечном счете облегчит восприятие анализа результатов функции.Scorcher007 (talk) 04:13, October 18, 2017 (UTC)

Или можно сделать вот так, чтобы не создавать новых функций. Поскольку колапсирование I(a,b) и т.д. и так уже находится в системе KPM, мы могли бы позаимстовать функцию &chi;M, которую бы использовали для определения сложения путем создания исключения:

&psi;I(&alpha;) = &Omega;1+&alpha;= I(0,&alpha;)

&chi;M(&alpha;) = &Omega;&beta;=1+&alpha;[if &beta; singular ordinal &beta;=&beta;+1]

&psi;I(I+n+1) = &chi;M(&psi;I(I)+n)

&psi;I(I&times;n) - n-fixed point of &Omega;&alpha;= I(0,&alpha;)

&psi;I(I&times;n+m+1) = &chi;M(&psi;I(I&times;n)+m)

А находясь в системе KP-П3 мы могли аналогично бы использовать более высшее функции для определения сложения, ну для, скажем M(a,b) и т.д., использовать &chi;M(2;0)(&alpha;). По выше указанной ссылке я уже переписал все свойства функций, с этими исключениями для сложения.Scorcher007 (talk) 09:16, October 18, 2017 (UTC)

About Saibian's regiments
I think I can do tethriterator regiment and the rest of tethracross regiment with FGH approximation within this year (but not this weel because I'm travelling and don't have access to computer). I've done godtothol, tethracubor and tethratope regimentd. If I have time I will do tethra-ogdon, tethrennon and tethradekon regiments. I'm also trying to do pentacthulhum regiment but maybe I can't do the FGH approximations because I don't know well about ordinals past Γ0. Some questions. 1. Should we create pages for godsgodgulus and blasphemorgulus regiments? 2. Some other googologists like Bowers, username5243 an hyp cos have lots of googologisms as well, but should we create regiment pages for them? Rpakr (talk) 21:56, December 21, 2017 (UTC)

Also, what should be done to stubs for each googologisms after we finish all the regiments? Should they be deleted, redirected or kept? (I prefer deleting) Rpakr (talk) 22:58, December 21, 2017 (UTC)

The regiment project was planned with aim of integration of knowledges about large numbers by creation of regiments pages and clearing the wikia from stubs. So theoretically we should create regiment's pages for all numbers written in each well-defined notation and redirect to them all stubs of the form "A is equal to B using C. The term was coined by D".But the project can be fully implemented only by joint efforts of several users. It will be great if you make as many regiments as possible because working alone I will not finish even Saibian's regiments. And I believe I will can do regiments where need to write FGH-approximations for ordinals large than Gamma_0.--Denis Maksudov (talk) 12:40, December 22, 2017 (UTC)

I just finished pentacthulhum regiment. Please check if I understand the ordinals from \(\Gamma_0\) correctly. I also did tethra-ogdon regiment. Now we have only 14 more Saibian regiments left! Rpakr (talk) 20:30, January 8, 2018 (UTC)

Nice work. I just will pay attention to one nuance. According system of fundamental sequences assigned for Veblen hierarchy (and maybe this should be seen as a standard):

$$\varphi(\Gamma_0,1)=\varphi(\varphi(1,0,0),1)$$

$$\varphi(\Gamma_0,1)[n]=\varphi(\Gamma_0[n],\varphi(\Gamma_0,0)+1)=\varphi(\Gamma_0[n],\Gamma_0+1)$$

$$\varphi(\Gamma_0,1)[0]=\varphi(0,\Gamma_0+1)$$

$$\varphi(\Gamma_0,1)[1]=\varphi(\varphi(0,0),\Gamma_0+1)=\varphi(1,\Gamma_0+1)$$

$$\varphi(\Gamma_0,1)[2]=\varphi(\varphi(1,0),\Gamma_0+1)=\varphi(\varepsilon_0,\Gamma_0+1)$$

$$\varphi(\Gamma_0,1)[3]=\varphi(\varphi(\varepsilon_0,0),\Gamma_0+1)$$

$$\varphi(\Gamma_0,1)[4]=\varphi(\varphi(\varphi(\varepsilon_0,0),0),\Gamma_0+1)$$

and so on

$$\varphi(\Gamma_0+1,0)=\varphi(\varphi(1,0,0)+1,0)$$

$$\varphi(\Gamma_0+1,0)[0]=0$$

$$\varphi(\Gamma_0+1,0)[1]=\varphi(\Gamma_0,0)=\Gamma_0$$

$$\varphi(\Gamma_0+1,0)[2]=\varphi(\Gamma_0,\Gamma_0)$$

$$\varphi(\Gamma_0+1,0)[3]=\varphi(\Gamma_0,\varphi(\Gamma_0,\Gamma_0))$$

and so on--Denis Maksudov (talk) 21:30, January 8, 2018 (UTC)

Question
Where have you been the last few months? We've missed you, please return soon! (If you're not too busy with others things that is.) C G G-flat G G-sharp G B&#39; C&#39; (talk) 01:45, March 29, 2018 (UTC)

Question on your numbers
Your numbers using FGH and OCFs are regarded as computable numbers in this wiki. Are there actual algorithms to compute them? I know that you have defined fundamental sequences in set theory, but I could not find any evidence that the resulting FGHs are actually computable. Since there are so many googologists who unreasonably believe that any FGH (or even an OCF) is automatically computable, I would like to add the information if your numbers are not intended to be computable or not. Thanks.

p-adic 14:48, November 25, 2019 (UTC)

I believe that my numbers of series 1.1-11.2 are computable (they are defined using fast growing hierarchy and systems of fundamental sequences from sections II-VI).

But the numbers from the series 12.1-12.3 use fundamental sequences of ordinals from the sections VII-VIII and those sequences are defined using the expression \(\alpha [n]=\text{max}\{\beta <\alpha |L(\beta )\leq L(\alpha )+n\}\). This expression is used and for fundamental sequences for ordinals of Taranovsky’s notation for definition of numbers from the series 13.1-13.2

Also I defined numbers using extension of arrow notation to transfinite ordinals and systems of fundamental sequences for ordinals up to Rathjen's original. Definitely those numbers and systems are computable.

By the way you can see array notation extended to transfinite ordinals similarly like arrow notation. --Denis Maksudov (talk) 17:02, November 25, 2019 (UTC)


 * > I believe that my numbers of series 1.1-11.2 are computable (they are defined using fast growing hierarchy and systems of fundamental sequences from sections II-VI).


 * The OCFs in section I-IV yield ordinal notations, and the assciated fundamental sequences on those are primitive recursive. Therefore there are few issues on numbers defined by them.


 * On the other hand, the OCFs in section V-VII are not known to yield ordinal notatons, and hence the systems of fundamental sequences are just defined in set theory instead of arithmetic. Therefore numbers defined by them have issues on the computability. Do you have any evidence of the computability of those numbers? I recall that Rathjen set many conditions on the standard OCFs in order to make the resulting OCFs yield ordinal notations. On the other hand, the OCFs in section V-VII do not have similar structures. Therefore the issue is not so easy for us to solve.


 * > Also I defined numbers using extension of arrow notation to transfinite ordinals and systems of fundamental sequences for ordinals up to Rathjen's original. Definitely those numbers and systems are computable.


 * Why are they definitely computable? Do you have any evidence that your (T,∈)'s are ordinal notations? The decidability is not obvious from the construction, because you have no explicit algorithm to determine the constructibility using B and C. If you do not have an arithmetic interpretation of the ∈-relation for the notations systems, the fundamental sequences defined in set theory are not necessarily computable.


 * p-adic 22:53, November 25, 2019 (UTC)


 * When I write about computability I meant existence of sets of rules based on multiplication and recursion which describe fundamental sequences for all ordinals written in normal form and expressible using symbols of given OCF, that, as I believe, allows one to write finite program including all necessary instructions for hypothetical infinite computer to compute given number.


 * I don’t see problems for numbers defined using FGH and extended arrow notation (EAN) with fundamental sequences (FS) for ordinals written in Cantor normal form (CNF) and normal forms for Veblen and Buchholz functions (VF and BF).


 * Here you can see notation, writing with aim to imitate working of FGH+BF without introducing of conception of infinite numbers and to obtain the expression n|(_k)=f_{ψ _0(Ω_k)} (n).


 * In a set of rules for FS the only one place, creating problems, is the rule for diagonalization where α= ψ_π(β) with cof(β)=ρ≥ π, because we need to compare regular cardinals ρ and π, but for BF it’s not a problem, since we can just compare natural numbers which are indexing regular cardinals less than Ω_ω


 * For notations based on α-weakly inaccessible cardinals (WIC ) and the least Mahlo cardinal (LMC), regular cardinals can be indexed by infinite ordinals but we can compare them in all possible cases, using the rules:


 * If α<β then ψ_π(α)<ψ_π(β)<π


 * If α<β then χ(α)<χ(β) When I write about computability I meant existence of sets of rules based on multiplication and recursion which describe fundamental sequences for all ordinals written in normal form and expressible using symbols of given OCF,
 * It is not relevant to the actual notion of the computability in mathemtics, because ordinals are not necessarily encoded into arithmetic.


 * > that, as I believe, allows one to write finite program including all necessary instructions for hypothetical infinite computer to compute given number.
 * It is unfortunately false, and this is why I am asking this question. As I wrote above, Rathjen carefully constructed OCFs under many important conditions in order to make them yield ordinal notations, which allow us to compute FGHs by finite programmes.
 * So, as a conculusion, you do not have an evidence of the computability (in the sense of mathematics), while you expect the computability, right?


 * > regular cardinals can be indexed by infinite ordinals but we can compare them in all possible cases, using the rules:
 * The most non-trivial parts are the decidability of the comparisons ψ_π(α) < ψ_κ(β) and ψ_π(α) < χ(β), which are not derived from those inequalities. The corresponding inequalities for Rathjen's ordinal notations are carefully studied, and their decidability are not obvious at all. At least, the proof heavily uses conditions which are employed for the OCFs.


 * > Do you know what was happened with it?--
 * I am sorry, but I do not know about it. Since I did not notice such a trouble, it might be a local problem on your PC.
 * p-adic 11:44, November 26, 2019 (UTC)


 * >It is not relevant to the actual notion of the computability in mathemtics


 * A computable number is a number that can be calculated by a finite computer program. I said that a finite computer program for number calculation can be written on base of a ruleset for FS. It’s relevant to the notion of the computability although of course we can argue, is it possible to write this finite program or not. I agree with you, comparison of infinite ordinals for notation based on Mahlo cardinal is really hard problem for some cases.


 * But what about computability of numbers defined using BF,VF,CNF? At least up to ψ_0(Ω_ω) definition of FS for those notations doesn’t require comparison of infinite ordinals.


 * And about those numbers defined using α-inaccessible cardinals and the least Mahlo: let we haven’t an evidence of their computability, but do you consider them nevertheless well-defined? (link to my site homepage)


 * Anyway thanks, seems you studied my systems for FS deeper than anyone.
 * --Denis Maksudov (talk) 06:49, November 27, 2019 (UTC)


 * > It’s relevant to the notion of the computability although of course we can argue, is it possible to write this finite program or not


 * I just meant that "existence of sets of rules based on multiplication and recursion which describe fundamental sequences for all ordinals written in normal form and expressible using symbols of given OCF" does not ensure the computability. Sorry if I chose inappropriate words to point out it.


 * It might be computable or not. At least, we do not have an explicit algorithm to compute the FS, right? Since your numbers are still in the higest realm if they are actually computable, then their computability can be one of significant topics in current computable googology.


 * > But what about computability of numbers defined using BF,VF,CNF?


 * As I wrote above, the functions in section I-IV are known to yield ordinal notations, on which the fundamental sequences are primitive recursive. Therefore if there are no minour errors and typos, then they are definitely computable. (I have not checked whether they have errors or not, though.)


 * But the definitions have a similar issue: you have not specified how to compute it in terms of finite programmes. You just gave set theoretic definitions, and hence average googologists do not know how to interprete them into computable notations with explicit algorithms. Maybe it was not an issue when you were active in this community, because there were so many expert googologists like you. But in the current community, majority of googologists do not know how to associate ordinal notations from those functions. It might be surprising for you, but many googologists in the current community do not know the definition of the notion of an ordinal notation. They just regard it as something which express ordinals.


 * Omitting the way to compute in terms of algorithm causes the problem that others do not easily understand whether it is computable or not. It is problematic, because others as a result believe that you have an explicit algorithm also for the ones which you do not have explicit algorithms, i.e. those defined by non-standard OCFs. Therefore I strongly recommend to add explicit algorithms (without using ordinals, by the definition of the computability) if you have.


 * > those notations doesn't require comparison of infinite ordinals


 * I note that the "finiteness" is meaningless, because the OCF itself is uncomputable by the definition. Therefore you actually need to encode it into arithmetic notation without using ordinals, i.e. an ordinal notation.


 * > let we haven’t an evidence of their computability, but do you consider them nevertheless well-defined? (link to my site homepage)


 * The OCF based on higher inaccessible cardinals is well-defined, but there are many errors in the descriptions:


 * 1) The property ψ_{I(0,α+1)}(β) = ω^{I(0,α)+1+β} is incorrect, because you assumed no restriction on α.
 * 2) In the definition of standard forms, the fouth clause needs an additional assumption, because an additive principal ordinal below ψ_{I(1,0,0)}(0) is not necessarily expressed by I or ψ.
 * 3) The standardness of ψ_π(δ) is badly defined. It does not work as you desire, because you do not require the constructibility of α by itself using π.
 * They are not so serious, i.e. experts can fix them. But literary, the FGH is ill-defined mainly due to the bad behaviour of the standardness, which causes the non-uniqueness of the standard expression. If you require the computability, the you have other problems.


 * 1) You need to encode it into an ordinal notation.
 * 2) The expression of the fundamental sequence does not preserve the standardness. Therefore you need to define how to replace an expression by a standard one using only the information of strings.
 * p-adic 09:43, November 27, 2019 (UTC)


 * Thank you very much for the such detailed smart analysis!
 * --Denis Maksudov (talk) 10:56, November 27, 2019 (UTC)

>The standardness of ψ_π(δ) is badly defined.

Current standard form for notation based on α-weakly inaccessible cardinals stayed unchangeable after it was formulated in August 2017.

Now I rewrote this standard form in the same manner I did it for notation based on the least weakly Mahlo cardinal (May 2018).

Definition of OCF

.....

Standard form

1) α=_{NF}α _1+... +α _n :⇔ α =α _1+... +α _n ∨ α> α _1 ≥ ... ≥ α _n ∨ α _1,... ,α _n ∈ P where P is the set of additive principal numbers.

2) α=_{NF}I(β,γ) :⇔ α =I(β,γ) ∨ β,γ<α

3) α=_{NF}ψ_π(β) :⇔ α=ψ_π(β) ∨ β∈ C(β, ψ_π(β))

Set T of ordinals expressible using symbols 0,+,I, ψ

1) 0 ∈ T

2) α=_{NF}α_1+α_2+...+α_n ∨ α_1,α_2,...,α_n ∈ T ⇒ α ∈ T

3) α=_{NF}I(β,γ) ∨ β,γ ∈ T ⇒ α ∈ T

4) α=_{NF}ψ_π(β) ∨ π,β ∈ T ⇒ α ∈ T

Definition of fundamental sequences for non-zero ordinals α∈ T:

List of 14 rules

> additive principal ordinal below ψ_{I(1,0,0)}(0) is not necessarily expressed by I or ψ.

I still can’t get how we can express additive principal numbers without ψ and I if in the OCF’s definition

C_0(α,β)= β ∪ {0} and C_{n+1}(α,β)={γ+δ, I(γ,δ), ψ_π(η)| γ,δ, π,η ∈ C_n(α,β) ∨ η<α}

--Denis Maksudov (talk) 13:24, November 27, 2019 (UTC)