User blog comment:DrCocktor/81/@comment-32994025-20190424141015/@comment-32213734-20190425085306

I found solutions larger than 1 for numeral systems with base from 2 to 100.

Delphi code:

var n,a,e,i,y,u:integer; st:string; ... for n:=2 to 100 do  begin a:=1; st:=':'+inttostr(n)+': '; while (n-1)*a>sqrt(power(n,a-1)) do     inc(a); for e:=2 to ceil(sqrt(power(n,a))) do     begin i:=0; u:=e*e; for y:=0 to ceil(logn(n,u)) do        i:=i+floor(u/power(n,y)) mod n;      if e=i then st:=st+inttostr(u)+' '; end; writeln(f,st); end; ... Output:
 * 2:
 * 3: 4 16 25
 * 4: 9
 * 5: 16 64
 * 6: 25 100
 * 7: 9 16 36 81 144
 * 8: 49
 * 9: 64
 * 10: 81
 * 11: 25 36 100 225
 * 12: 121
 * 13: 16 81 144 256 441
 * 14: 169
 * 15: 49 64 196 441
 * 16: 36 100 225 441
 * 17: 256
 * 18: 289
 * 19: 81 100 324
 * 20: 361
 * 21: 25 256 400 625 1296
 * 22: 49 225 441 784 1296
 * 23: 121 144 484
 * 24: 529
 * 25: 81 256 576 1089
 * 26: 625
 * 27: 169 196 676
 * 28: 729
 * 29: 64 441 784 1296 2401
 * 30: 841
 * 31: 36 100 225 256 441 625 900 1296 1600 2601
 * 32: 961
 * 33: 1024
 * 34: 144 484 1089 2025 3025
 * 35: 289 324 1156
 * 36: 225 441 1225 2500
 * 37: 81 784 1296 2025 4096
 * 38: 1369
 * 39: 361 400 1444
 * 40: 169 729 1521 2704 4356
 * 41: 256 625 1600 3136
 * 42: 1681
 * 43: 49 225 441 484 784 1296 1764 2401 3249 4900
 * 44: 1849
 * 45: 144 1089 1936 3136 5929
 * 46: 100 1296 2025 3025
 * 47: 529 576 2116
 * 48: 2209
 * 49: 256 1089 2304 4096 6561
 * 50: 2401
 * 51: 625 676 2500
 * 52: 324 1156 2601 4761 7225
 * 53: 169 1600 2704 4225
 * 54: 2809
 * 55: 729 784 2916
 * 56: 121 2025 3025 4356
 * 57: 64 2401 3136 4096
 * 58: 361 1521 3249 5776 9216
 * 59: 841 900 3364
 * 60: 3481
 * 61: 256 441 625 1296 1600 2025 3600 5776 6561 7225 10000 11025
 * 62: 3721
 * 63: 961 1024 3844
 * 64: 784 1296 3969
 * 65: 4096
 * 66: 676 1600 4225 8281
 * 67: 144 484 1089 1156 2025 3025 4356 6084 7744 12321
 * 68: 4489
 * 69: 289 2704 4624 7225
 * 70: 576 2116 4761 8649 13225
 * 71: 225 441 1225 1296 2500 3136 4900 7225 8281 14400
 * 72: 5041
 * 73: 81 4096 5184 6561
 * 74: 5329
 * 75: 1369 1444 5476
 * 76: 625 2601 5625 10000 15876
 * 77: 400 3249 5776 9216 17689
 * 78: 484 3136 5929 9801 17689
 * 79: 169 729 1521 1600 2704 4356 6084 8281 11025 16900
 * 80: 6241
 * 81: 256 4225 6400 9216
 * 82: 6561
 * 83: 1681 1764 6724
 * 84: 6889
 * 85: 441 784 1296 2401 3249 4096 7056 11025 12544 14400 19881
 * 86: 1225 2601 7225 14400
 * 87: 1849 1936 7396
 * 88: 900 3364 7569 13689 21025
 * 89: 1089 3136 7744 14641 20736
 * 90: 7921
 * 91: 100 1296 2025 2116 3025 6561 8100 10000 15876
 * 92: 196 6084 8281 11025
 * 93: 576 4761 8464 13456 25921
 * 94: 961 3969 8649 15376 24336
 * 95: 2209 2304 8836
 * 96: 400 5776 9025 13225
 * 97: 1089 4096 9216 16641 25600
 * 98: 9409
 * 99: 2401 2500 9604
 * 100: 2025 3025 9801