User:Kyodaisuu/Continuous arrow notation

This page describes \(a \uparrow^n x\) for real x and make continuos function.

Continuous tetration
There are several ways to extend tetration to real heights, as described in. The easiest way is the linear approximation.

\begin{equation} {}^{x}a = \begin{cases} \log_a(^{x+1}a) & x \le -1 \\ 1 + x & -1 < x \le 0 \\ a^{\left(^{x-1}a\right)} & 0 < x \end{cases} \end{equation}

This function is smoothiest when \(a=e\).

(from here to be translated later)

巨大数の大きさを比較する時には、\(a\)を同じ値にそろえればいいのですが、数学的には最も滑らかな\(a=e\)にそろえるのが良く、実用的には、\(a=10\)にそろえるのも、10の指数表記による直感が働き、Hypercalc の計算結果をそのまま使えるので、便利でいいと思います.

以下は、計算例です.

\begin{eqnarray} 10^{100} &=& 10 \uparrow 10 \uparrow 2 = 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow log_{10}(2) \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 0.301 = 10 \uparrow \uparrow 2.301 \\ 10^{10^{100}} &=& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 2 \approx 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 0.301 = 10 \uparrow \uparrow 3.301 \\ \end{eqnarray}

Inverse tetration
テトレーションの連続関数化ができると、テトレーションの逆関数である が定義できます. これは、超対数という訳が妥当でしょうか. ここに linear approximation として書かれている次の式が、上記のテトレーションの式に対応しているようです.

\begin{equation} \mathrm{slog}_b(x) = \begin{cases} \mathrm{slog}_b(b^x) - 1 & \text{if } x \le 0 \\ -1 + x & \text{if } 0 < x \le 1 \\ \mathrm{slog}_b(\log_b(x)) + 1 & \text{if } 1 < x \\ \end{cases} \end{equation}

Continuous pentation
同じ方針でペンテーションを連続関数化すると

\begin{equation} a \uparrow^3 x = \begin{cases} slog_a(a \uparrow^3 (x+1)) & x \le -1 \\ 1 + x & -1 < x \le 0 \\ a \uparrow \uparrow (a \uparrow^3 (x-1)) & 0 < x \end{cases} \end{equation}

となります. ためしに計算してみると、

\begin{eqnarray} 3 \uparrow \uparrow \uparrow 2.5 &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 0.5 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 0.5 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 1.73205 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 0.73205 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 2.235 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 11.651 \\ &=& 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 0.651 \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow (3.5045 \cdot 10^{15427}) \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 15427.5446 \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 4.1883 \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 0.622 \\ &=& 10 \uparrow \uparrow 10.622 \\ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 2.7 &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 0.7 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 0.7 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 2.15767 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 0.15767 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 57.7985 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 56.804 \\ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 2.8 &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 0.8 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 0.8 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 2.40822 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 0.40822 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 462.8426 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 461.864 \\ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 2.9 &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 0.9 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 2.68788 \\ &=& 3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 0.68788 \\ &\approx& 3 \uparrow \uparrow 88825.22 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 88824.2 \\ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 &=& 3 \uparrow \uparrow 7625597484987 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 7625597484986.041 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 10 \uparrow 12.88227 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 0.04532 \\ &=& 10 \uparrow \uparrow 10 \uparrow \uparrow 2.04532 \\ &\approx& 10 \uparrow \uparrow 10 \uparrow \uparrow 10 \uparrow \uparrow 0.31076 \\ &=& 10 \uparrow \uparrow \uparrow 2.31076 \\ \end{eqnarray}

のようになります. ペンテーションの逆関数は超々対数 sslog で

\begin{equation} \mathrm{sslog}_b(x) = \begin{cases} \mathrm{sslog}_b(b \uparrow \uparrow x) - 1 & \text{if } x \le 0 \\ -1 + x & \text{if } 0 < x \le 1 \\ \mathrm{sslog}_b(slog_b(x)) + 1 & \text{if } 1 < x \\ \end{cases} \end{equation}

Continuous arrow notation
以下同様に自然数\(n\)に対して \(a \uparrow^n x\) を

\begin{equation} a \uparrow^n x = \begin{cases} \underbrace{ss...s}_{n-2個のs}log_a(a \uparrow^n (x+1)) & x \le -1 \\ 1 + x & -1 < x \le 0 \\ a \uparrow^{n-1} (a \uparrow^n (x-1)) & 0 < x \end{cases} \end{equation}

のように連続関数化できます.

\(x\) を正の実数として、定義域を \(x > 0, n \ge 1, n \in \mathbb{N}\) とすると、

\begin{equation} a \uparrow^n x = \begin{cases} a^x & \text{if } 0 < x \le 1 \text{ or } n=1 \\ a \uparrow^{n-1} (a \uparrow^n (x-1)) & \text{if } 1 < x, 1 < n \end{cases} \end{equation}

とすることができます. さらに、\(n\) 正の実数 \(y>0\) にした上で連続関数とするためには、どうしても式が複雑になります. 一例として、定義域を \(x>0, y>0\) として

\begin{equation} a \uparrow^y x = \begin{cases} a^{x^y} x^{1-y} & \text{if } 0 < x \le 1 \text{ or } 0 < y \le 1 \\ a \uparrow^{y-1} (a \uparrow^y (x-1)) & \text{if } 1 < x, 1 < y \end{cases} \end{equation}

のような関数を考えることができます. 1つ目の式が不自然に複雑になっているのは、連続関数とするために \(a \uparrow^0 x = ax\) を満たす必要があるためです. 冪乗の1つ前のハイパー演算が乗算なので、そうなります.

この式はそのまま3つ組チェーン表記の連続関数化になります. 4つ組チェーン以上に拡張するのは、連続関数という要請を外さない限りはかなり難しそうです.