User blog:Rgetar/Iterated fundamental sequences for modified Wainer hierarchy

This is iterated fundamental sequences for ordinal ε0 in modified Wainer hierarchy up to four levels, n+m = 10.

Modified Wainer hierarchy is a fundamental sequence system similar to Wainer hierarchy, but if a fundamental sequence contain infinite number of limit ordinals, all non-limit ordinals are excluded from this fundamental sequence. And, if a fundamental sequence of an ordinal is defined through another fundamental sequence, this another fundamental sequence is taken from modified Wainer hierarchy (even if in Wainer hierarchy fundamental sequence for this ordinal contain only limit ordinals).

Iterated fundamental sequences for Wainer hierarchy see here.

Now I will not write properties (level and expandable) of ordinals.

One level
FS #1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

FS #2

ω

ωω

ωω ω

ωω ω ω

ωω ω ω ω

ωω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω ω

Initial ordinal

ε0

(Total 21 ordinals, 2 fundamental sequences).

Two levels
FS #1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

FS #2

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

ω + 4

ω + 5

ω + 6

ω + 7

ω + 8

ω + 9

ω + 10

FS #3

ω2

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

ω9

ω10

ω11

FS #4

ω2

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

ω9

ω10

ω11

FS #5

ωω

ωω ω

ωω ω ω

ωω ω ω ω

ωω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω ω

Initial ordinal

ε0

(Total 51 ordinals, 5 fundamental sequences).

Three levels
FS #1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

FS #2

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

ω + 4

ω + 5

ω + 6

ω + 7

ω + 8

ω + 9

ω + 10

FS #3

ω2

ω2 + 1

ω2 + 2

ω2 + 3

ω2 + 4

ω2 + 5

ω2 + 6

ω2 + 7

ω2 + 8

ω2 + 9

ω2 + 10

FS #4

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

ω9

ω10

ω11

FS #5

ω2

ω2 + 1

ω2 + 2

ω2 + 3

ω2 + 4

ω2 + 5

ω2 + 6

ω2 + 7

ω2 + 8

ω2 + 9

ω2 + 10

FS #6

ω2 + ω

ω2 + ω2

ω2 + ω3

ω2 + ω4

ω2 + ω5

ω2 + ω6

ω2 + ω7

ω2 + ω8

ω2 + ω9

ω2 + ω10

FS #7

ω22

ω23

ω24

ω25

ω26

ω27

ω28

ω29

ω210

ω211

FS #8

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

ω9

ω10

ω11

FS #9

ωω

ωω + 1

ωω + 2

ωω + 3

ωω + 4

ωω + 5

ωω + 6

ωω + 7

ωω + 8

ωω + 9

ωω + 10

FS #10

ωω + ω

ωω + ω2

ωω + ω3

ωω + ω4

ωω + ω5

ωω + ω6

ωω + ω7

ωω + ω8

ωω + ω9

ωω + ω10

FS #11

ωω2

ωω3

ωω4

ωω5

ωω6

ωω7

ωω8

ωω9

ωω10

ωω11

FS #12

ωω + 1

ωω + 2

ωω + 3

ωω + 4

ωω + 5

ωω + 6

ωω + 7

ωω + 8

ωω + 9

ωω + 10

FS #13

ωω2

ωω3

ωω4

ωω5

ωω6

ωω7

ωω8

ωω9

ωω10

ωω11

FS #14

ωω 2

ωω 3

ωω 4

ωω 5

ωω 6

ωω 7

ωω 8

ωω 9

ωω 10

ωω 11

FS #15

ωω ω

ωω ω ω

ωω ω ω ω

ωω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω ω

Initial ordinal

ε0

(Total 151 ordinals, 15 fundamental sequences).

Four levels
FS #1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

FS #2

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

ω + 4

ω + 5

ω + 6

ω + 7

ω + 8

ω + 9

ω + 10

FS #3

ω2

ω2 + 1

ω2 + 2

ω2 + 3

ω2 + 4

ω2 + 5

ω2 + 6

ω2 + 7

ω2 + 8

ω2 + 9

ω2 + 10

FS #4

ω3

ω3 + 1

ω3 + 2

ω3 + 3

ω3 + 4

ω3 + 5

ω3 + 6

ω3 + 7

ω3 + 8

ω3 + 9

ω3 + 10

FS #5

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

ω9

ω10

ω11

FS #6

ω2

ω2 + 1

ω2 + 2

ω2 + 3

ω2 + 4

ω2 + 5

ω2 + 6

ω2 + 7

ω2 + 8

ω2 + 9

ω2 + 10

FS #7

ω2 + ω

ω2 + ω + 1

ω2 + ω + 2

ω2 + ω + 3

ω2 + ω + 4

ω2 + ω + 5

ω2 + ω + 6

ω2 + ω + 7

ω2 + ω + 8

ω2 + ω + 9

ω2 + ω + 10

FS #8

ω2 + ω2

ω2 + ω3

ω2 + ω4

ω2 + ω5

ω2 + ω6

ω2 + ω7

ω2 + ω8

ω2 + ω9

ω2 + ω10

FS #9

ω22

ω22 + 1

ω22 + 2

ω22 + 3

ω22 + 4

ω22 + 5

ω22 + 6

ω22 + 7

ω22 + 8

ω22 + 9

ω22 + 10

FS #10

ω22 + ω

ω22 + ω2

ω22 + ω3

ω22 + ω4

ω22 + ω5

ω22 + ω6

ω22 + ω7

ω22 + ω8

ω22 + ω9

ω22 + ω10

FS #11

ω23

ω24

ω25

ω26

ω27

ω28

ω29

ω210

ω211

FS #12

ω3

ω3 + 1

ω3 + 2

ω3 + 3

ω3 + 4

ω3 + 5

ω3 + 6

ω3 + 7

ω3 + 8

ω3 + 9

ω3 + 10

FS #13

ω3 + ω

ω3 + ω2

ω3 + ω3

ω3 + ω4

ω3 + ω5

ω3 + ω6

ω3 + ω7

ω3 + ω8

ω3 + ω9

ω3 + ω10

FS #14

ω3 + ω2

ω3 + ω22

ω3 + ω23

ω3 + ω24

ω3 + ω25

ω3 + ω26

ω3 + ω27

ω3 + ω28

ω3 + ω29

ω3 + ω210

FS #15

ω32

ω33

ω34

ω35

ω36

ω37

ω38

ω39

ω310

ω311

FS #16

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

ω9

ω10

ω11

FS #17

ωω

ωω + 1

ωω + 2

ωω + 3

ωω + 4

ωω + 5

ωω + 6

ωω + 7

ωω + 8

ωω + 9

ωω + 10

FS #18

ωω + ω

ωω + ω + 1

ωω + ω + 2

ωω + ω + 3

ωω + ω + 4

ωω + ω + 5

ωω + ω + 6

ωω + ω + 7

ωω + ω + 8

ωω + ω + 9

ωω + ω + 10

FS #19

ωω + ω2

ωω + ω3

ωω + ω4

ωω + ω5

ωω + ω6

ωω + ω7

ωω + ω8

ωω + ω9

ωω + ω10

ωω + ω11

FS #20

ωω + ω2

ωω + ω3

ωω + ω4

ωω + ω5

ωω + ω6

ωω + ω7

ωω + ω8

ωω + ω9

ωω + ω10

FS #21

ωω2

ωω2 + 1

ωω2 + 2

ωω2 + 3

ωω2 + 4

ωω2 + 5

ωω2 + 6

ωω2 + 7

ωω2 + 8

ωω2 + 9

ωω2 + 10

FS #22

ωω2 + ω

ωω2 + ω2

ωω2 + ω3

ωω2 + ω4

ωω2 + ω5

ωω2 + ω6

ωω2 + ω7

ωω2 + ω8

ωω2 + ω9

ωω2 + ω10

FS #23

ωω3

ωω4

ωω5

ωω6

ωω7

ωω8

ωω9

ωω10

ωω11

FS #24

ωω + 1

ωω + 1 + 1

ωω + 1 + 2

ωω + 1 + 3

ωω + 1 + 4

ωω + 1 + 5

ωω + 1 + 6

ωω + 1 + 7

ωω + 1 + 8

ωω + 1 + 9

ωω + 1 + 10

FS #25

ωω + 1 + ω

ωω + 1 + ω2

ωω + 1 + ω3

ωω + 1 + ω4

ωω + 1 + ω5

ωω + 1 + ω6

ωω + 1 + ω7

ωω + 1 + ω8

ωω + 1 + ω9

ωω + 1 + ω10

FS #26

ωω + 1 + ωω

ωω + 1 + ωω2

ωω + 1 + ωω3

ωω + 1 + ωω4

ωω + 1 + ωω5

ωω + 1 + ωω6

ωω + 1 + ωω7

ωω + 1 + ωω8

ωω + 1 + ωω9

ωω + 1 + ωω10

FS #27

ωω + 12

ωω + 13

ωω + 14

ωω + 15

ωω + 16

ωω + 17

ωω + 18

ωω + 19

ωω + 110

ωω + 111

FS #28

ωω + 2

ωω + 3

ωω + 4

ωω + 5

ωω + 6

ωω + 7

ωω + 8

ωω + 9

ωω + 10

FS #29

ωω2

ωω2 + 1

ωω2 + 2

ωω2 + 3

ωω2 + 4

ωω2 + 5

ωω2 + 6

ωω2 + 7

ωω2 + 8

ωω2 + 9

ωω2 + 10

FS #30

ωω2 + ω

ωω2 + ω2

ωω2 + ω3

ωω2 + ω4

ωω2 + ω5

ωω2 + ω6

ωω2 + ω7

ωω2 + ω8

ωω2 + ω9

ωω2 + ω10

FS #31

ωω2 + ωω

ωω2 + ωω + 1

ωω2 + ωω + 2

ωω2 + ωω + 3

ωω2 + ωω + 4

ωω2 + ωω + 5

ωω2 + ωω + 6

ωω2 + ωω + 7

ωω2 + ωω + 8

ωω2 + ωω + 9

FS #32

ωω22

ωω23

ωω24

ωω25

ωω26

ωω27

ωω28

ωω29

ωω210

ωω211

FS #33

ωω2 + 1

ωω2 + 2

ωω2 + 3

ωω2 + 4

ωω2 + 5

ωω2 + 6

ωω2 + 7

ωω2 + 8

ωω2 + 9

ωω2 + 10

FS #34

ωω3

ωω4

ωω5

ωω6

ωω7

ωω8

ωω9

ωω10

ωω11

FS #35

ωω 2

ωω 2 + 1

ωω 2 + 2

ωω 2 + 3

ωω 2 + 4

ωω 2 + 5

ωω 2 + 6

ωω 2 + 7

ωω 2 + 8

ωω 2 + 9

ωω 2 + 10

FS #36

ωω 2 + ω

ωω 2 + ω2

ωω 2 + ω3

ωω 2 + ω4

ωω 2 + ω5

ωω 2 + ω6

ωω 2 + ω7

ωω 2 + ω8

ωω 2 + ω9

ωω 2 + ω10

FS #37

ωω 2 + ωω

ωω 2 + ωω2

ωω 2 + ωω3

ωω 2 + ωω4

ωω 2 + ωω5

ωω 2 + ωω6

ωω 2 + ωω7

ωω 2 + ωω8

ωω 2 + ωω9

ωω 2 + ωω10

FS #38

ωω 2 2

ωω 2 3

ωω 2 4

ωω 2 5

ωω 2 6

ωω 2 7

ωω 2 8

ωω 2 9

ωω 2 10

ωω 2 11

FS #39

ωω 2 + 1

ωω 2 + 2

ωω 2 + 3

ωω 2 + 4

ωω 2 + 5

ωω 2 + 6

ωω 2 + 7

ωω 2 + 8

ωω 2 + 9

ωω 2 + 10

FS #40

ωω 2 + ω

ωω 2 + ω2

ωω 2 + ω3

ωω 2 + ω4

ωω 2 + ω5

ωω 2 + ω6

ωω 2 + ω7

ωω 2 + ω8

ωω 2 + ω9

ωω 2 + ω10

FS #41

ωω 22

ωω 23

ωω 24

ωω 25

ωω 26

ωω 27

ωω 28

ωω 29

ωω 210

ωω 211

FS #42

ωω 3

ωω 4

ωω 5

ωω 6

ωω 7

ωω 8

ωω 9

ωω 10

ωω 11

FS #43

ωω ω

ωω ω + 1

ωω ω + 2

ωω ω + 3

ωω ω + 4

ωω ω + 5

ωω ω + 6

ωω ω + 7

ωω ω + 8

ωω ω + 9

ωω ω + 10

FS #44

ωω ω + ω

ωω ω + ω2

ωω ω + ω3

ωω ω + ω4

ωω ω + ω5

ωω ω + ω6

ωω ω + ω7

ωω ω + ω8

ωω ω + ω9

ωω ω + ω10

FS #45

ωω ω + ωω

ωω ω + ωω 2

ωω ω + ωω 3

ωω ω + ωω 4

ωω ω + ωω 5

ωω ω + ωω 6

ωω ω + ωω 7

ωω ω + ωω 8

ωω ω + ωω 9

ωω ω + ωω 10

FS #46

ωω ω 2

ωω ω 3

ωω ω 4

ωω ω 5

ωω ω 6

ωω ω 7

ωω ω 8

ωω ω 9

ωω ω 10

ωω ω 11

FS #47

ωω ω + 1

ωω ω + 2

ωω ω + 3

ωω ω + 4

ωω ω + 5

ωω ω + 6

ωω ω + 7

ωω ω + 8

ωω ω + 9

ωω ω + 10

FS #48

ωω ω + ω

ωω ω + ω2

ωω ω + ω3

ωω ω + ω4

ωω ω + ω5

ωω ω + ω6

ωω ω + ω7

ωω ω + ω8

ωω ω + ω9

ωω ω + ω10

FS #49

ωω ω2

ωω ω3

ωω ω4

ωω ω5

ωω ω6

ωω ω7

ωω ω8

ωω ω9

ωω ω10

ωω ω11

FS #50

ωω ω + 1

ωω ω + 2

ωω ω + 3

ωω ω + 4

ωω ω + 5

ωω ω + 6

ωω ω + 7

ωω ω + 8

ωω ω + 9

ωω ω + 10

FS #51

ωω ω2

ωω ω3

ωω ω4

ωω ω5

ωω ω6

ωω ω7

ωω ω8

ωω ω9

ωω ω10

ωω ω11

FS #52

ωω ω 2

ωω ω 3

ωω ω 4

ωω ω 5

ωω ω 6

ωω ω 7

ωω ω 8

ωω ω 9

ωω ω 10

ωω ω 11

FS #53

ωω ω ω

ωω ω ω ω

ωω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω ω

Initial ordinal

ε0

(Total 531 ordinals, 53 fundamental sequences).

Conclusion
I think that lists for modified Wainer hierarchy are better than lists for Wainer hierarchy. One level list for modified Wainer hierarchy corresponds to three levels list for Wainer hierarchy, and four levels list for modified Wainer hierarchy corresponds to six levels list for Wainer hierarchy.

Modified Wainer hierarchy better shows diversity of ordinals up to ε0: in Wainer hierarchy at six levels there are 44 fundamental sequences, and in modified Wainer hierarchy at four levels there are 53 fundamental sequences.