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🐟 Fish fish fish ... 🐠 11:22, July 28, 2014 (UTC)

As the termination of calculation seems to have been proved, I start preparing Bashicu matrix system.

Reference: User_blog:Nayuta_Ito/Introduction_To_Bashicu_Matrix_System

Bashicu matrix system is an algorithm which produces large numbers. It was invented by Bashicu in 2014. バシクが考案した原始数列システム、ペア数列システム、トリオ数列システムを一般化したものである.

原始数列システムは、ベクレミシェフの虫とよく似ていて、\(f_{\epsilon_0}(n)\) の強さを持つ. ペア数列システムは、\(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) の強さを持つ. トリオ数列は、現在検証中であるが、少なくとも \(f_{\psi(\psi_I(0))}(n)\) 以上の強さを持つ、非常に強力なシステムである.

Notation
Bashicu matrix is a matrix such as
 * $$\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$ where all elements are nonnegative integers. The matrix can be written in the form of \((a_{11},a_{21})(a_{12},a_{22})(a_{13},a_{23})\); sequence of transpose of each column (sequence expression of Bashicu matrix). Bashicu matrix \(BM\) works as a function from a natural number \(n\) to a natural number \(BM[n]\), and written as \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n]\). When the function is approximated with Hardy hierarchy of ordinal \(\alpha\), the matrix \(BM\) represents \(\alpha\). Therefore
 * $$\begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} = (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2) = \psi(\psi_1(\Omega_2))$$

Definition in program language
Bashicu defined the system with BASIC program language. The program by Bashicu was not intended to actually run, and therefore Fish wrote a program (C and BASIC) for verification of calculation process. The verification program was verified by Bashicu. Therefore, "official" definition of Bashicu matrix is in the source code of Bashicu matrix calculator. The program can be executed by web interface. Please note that the program has 4 options of "n increment". The original definition of Bashicu matrix is "n=n * n", and other options are variant. By using the option of "Simulate Hardy function", the calculation exactly matches Hardy function with Weiner hierarchy for ordinals below \(\epsilon_0\).

Definition in human language

 * 行列の列数を、数列の長さと呼ぶ.
 * 長さが1の数列、すなわち列ベクトルを、数列の「要素」と呼ぶ.
 * S: 任意長の数列. 長さ0の数列を含む. 例：(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)
 * Z: (0,0,...,0) (かつ列ベクトル)
 * \(f(n) = n^2\) (この定義が基本であるが、この関数を変えたものもバシク行列システムのバリエーションであるとする）
 * 数列 A と B の足し算 A + B は、数列の連結である. たとえば、(0,0)(1,1) + (2,2)(3,3) = (0,0)(1,1)(2,2)(3,3) である.

ルール1: [n] = n

ルール2: S Z[n] = S[f(n)]

ルール3: 要素の大小関係を次のように定める. \(A = (a_0,a_1,…,a_m), B = (b_0,b_1,…,b_m), D=\{0,1,...,m\}\) について、 \[A < B \Leftrightarrow \forall i \in D ((a_i<b_i) \vee \exists j \in D (b_j=0 \wedge j \le i))\] すなわち、\(b_j=0\) が成り立つ最小の j に対して（そのような j が存在しない時には、j=m+1とする）、\(a_1 < b_1, a_2 < b_2, ..., a_{j-1} < b_{j-1}\) がすべて成り立つ時に、\(A < B\) であるとする.

ルール4-1: ベクレミシェフの虫のように、\(S = S_0 S_1 \ldots S_n\) を考える. ここで、\(S_i\) は数列Sの要素であり、\(S_n \ne Z\) とする. \(i<n, S_i < S_n\) が成立する i が存在するかどうかを考え、
 * i が存在しない時には、\(S = S_0 S_1 \ldots S_{n-1} Z\) とする. 以下、ルール2によって計算が続けられる.
 * i が存在する時には、 \(k = \max \{i; i < n, S_i < S_n\}\) を定義する. 数列の良い部分を \(G = S_0 \ldots S_{k-1}\) 悪い部分を \(B = S_k \ldots S_{n-1}\) とする. この時点で、一番右の \(S_n\) は消されていることに注意. また、良い部分と悪い部分の境界もベクレミシェフの虫とは1つずれている. すなわち、\(S = G + B + N, N = S_n\) である. k=0 の時には、G は空の数列とする. 以下、次のルール4-2からルール4-4に従って、計算が進められる.

ルール4-2: B の一番左の要素 \(L = B_0 = S_k\) は、ルール4-1によって、\(L < N\) が成立している. したがって、\(P = (P_0, P_1, \ldots ,P_m)\) を \(L = (L_0, L_1, \ldots ,L_m), N = (N_0,N_1, \ldots ,N_m), D=\{0,1,...,m\}\) として

\begin{equation} P_i = \begin{cases} 0 & \text{if } \exists j \in D (N_j=0 \wedge j \le i+1) \\ N_i - L_i & otherwise \\ \end{cases} \end{equation}

と定義すると、\(P_i\) は必ず非負整数となる.

ルール4-3: B(i) を、次のように定義する.


 * B(0) = B
 * B(i+1) は、B(i)のすべての要素 に P を加えたもの. ここで、加えるとは連結の意味ではなく、値を足し算する、という意味. たとえば、B(0) = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3), P = (3,1,0) の時、B(1) = (4,2,1)(5,3,2)(6,4,3), B(2) = (7,3,1)(8,4,2)(9,5,3) となる.

ルール4-4: \(S[n] = \{ G + B(0) + B(1) + \ldots\ + B(f(n))\}[f(n)] \)

Example
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2] を、上記ルールに従って計算する.

すなわち (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2] = (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)(10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)(13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)[4] となる. これを行列の形で表記すると、このようになる. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \end{pmatrix}[2] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[4]\]
 * ルール4-1により、 S = (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0) として、\(S_4 = (4,2,0)\) よりも小さい要素で一番右のものを探すと、\(S_1 = (1,1,1)\) である. したがって、G = (0,0,0), B = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3), N = (4,2,0) となる.
 * ルール4-2により、 L = (1,1,1) と N = (4,2,0) に対して、P = (3,0,0) と計算される.
 * ルール4-3により、 B(0) = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3), B(1) = (4,1,1)(5,2,2)(6,3,3), B(2) = (7,1,1)(8,2,2)(9,3,3), B(3) = (10,1,1)(11,2,2)(12,3,3), B(4) = (13,1,1)(14,2,2)(15,3,3) となる.
 * ルール4-4により S [2] = {G + B(0) + B(1) + B(2) + B(3) + B(4)} [4]


 * この結果は、バシク行列計算機の計算結果と一致する.

2行行列まで（原始数列、ペア数列）

 * ペア数列数を参照

3行行列（トリオ数列）
\begin{array}{ll} (0,0,0)(1,1,1) &=& \psi(\Omega_{\omega}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,0) &=& \vartheta(\epsilon_{\Omega_{\omega}+1}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1) &=& \psi(\Omega_{\omega \cdot \omega}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0) &=& \psi(\Omega_{\omega^{\omega}}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,0) &=& \psi(\Omega_{\Omega}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,1) &=& \psi(\Omega_{\Omega_{\omega}}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,1)(4,2,1)(5,1,1) &=& \psi(\Omega_{\Omega_{\Omega_\omega}}) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0) &=& \psi(\psi_I(0)) \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)(3,0,0) &=& ψ_0(Ω_{I^ω})\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)(4,3,0) &=& ψ_0(Ω_{^ωI})\\ &=& v(v(v(1,0,v(1,1,0)),0))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) &=& v(v(v(ω,0,0),0))\\ &=&ψ_0(ψ_{I_ω}(0))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3) &=& v(v(v(v(ω,0,0,0),0,0),0))\\ &>&ψ_0(ψ_{I_{I_{I_{...}}}}(0))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,4) &=& v(v(v(v(v(ω,0,0,0,0),0,0,0),0,0),0))\\ \end{array}
 * バシク行列の解析から、いくつかの結果を抜粋


 * 2chの書き込みによると

\begin{array}{ll} (1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(2,2,1)(3,3,1) &=& \text{"Limit of Taranovsky's C"} \end{array}

4行行列
\begin{array}{ll} (0,0,0,0)(1,1,1,1) &=& C(C(\varepsilon_{\Omega+1},0),0) \\ \end{array}
 * 2chの書き込みによると