User blog:Rgetar/Description of format for Veblen-like functions

Format for arrays
Array is sequence of pairs "coordinates - element at this coordinates", separated with separators.

Ordinals may be considered as arrays of natural numbers:

"coordinates - element" pair is ωce, where c is coordinates, which is also ordinal, and e is element

separator is "+"

Ordinals are arrays of order 0. Array of order 1 is array of ordinals, and its coordinates are also arrays of order 1:

"coordinates - element" pair is Ωce

separator is "+"

Array of order 2 is array of array of order 1, and its coordinates are also arrays of order 2:

"coordinates - element" pair is Ω2ce

separator is "+"

Generally, array of order X is also array of all orders larger than X. And array of order X is array of array of orders lesser than X, and its coordinates are also arrays of order X:

"coordinates - element" pair is ΩXce

separator is "+"

Ω0 = ω

Ω1 = Ω

Veblen-like functions
φoutin(X) - this is Veblen-like function. Its input X is array of order in, and its output is array of order out. So, in is input order, and out is output order.

Earlier I placed input order as subscript, and output order as superscript, but then I swaped them for several reasons, including my "rule" "strong-first": upper elements are first, and output is "stronger" than input.

If in = 1, out = 0, then φ01(X) is generalized Veblen function.

For array of order α X

φαα + 1(X) = ΩαX

So, Ωα can be expressed using φ:

Ωα = φαα + 1(1)

And

φαα + 1(0) = 1

for any α.

For array of order α + 1 X φαα + 1(X) is defined similarly to Veblen function. For example,

φ12(Ω2) is limit of Ω, ΩΩ, ΩΩ Ω, ...

φ12(Ω2 + 1) is limit of φ12(Ω2), Ωφ 12(Ω2) + 1, ΩΩ φ 12(Ω2) + 1 , ...

φ12(Ω22) is limit of φ12(Ω2), φ12(Ω2 + φ12(Ω2)), φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2))), ...

etc.

Generally, φαα + 1(X) is in fact Veblen function with ω replaced by Ωα.

Definition for out ≠ in + 1:

φαβ(X) = φαγ(φγβ(X))

(By the way, the real reason why I swaped in and out is because φαβ(X) = φαγ(φγβ(X)) looks better than φβα(X) = φγα(φβγ(X)))

Rules of omitting.

Omitting subscript:

φα(X) = φαα + 1(X)

Omitting superscript:

φα(X) = φ0α(X)

Omitting subscript and superscript:

φ(X) = φ01(X) - Veblen function

Omitting φ:

φαβ(X) = αβ(X)

φα(X) = α(X)

φβ(X) = β(X)

φ(X) = (X)

(But if we use φ(X) = (X), then we should not use (X) as array of more than one element to not be confused with Veblen function. For example, not Ω(ω + 1), only Ωω + Ω, because Ω(ω + 1) = Ωφ(ω + 1) = Ωωω + 1).

Computer format
"Computer format" for Veblen-like functions:

φoutin(X)e = ⟨out.in.X⟩e

For example,

⟨α.β.X⟩ = ⟨α.γ.⟨γ.β.X⟩⟩

⟨α..X⟩ = ⟨α.α + 1.X⟩

⟨α.X⟩ = ⟨0.α.X⟩

⟨X⟩ = ⟨0.1.X⟩

Exploring ordinals
This list is made by hand and based mainly on intuition. Currently I still have not strict definition of Veblen-like functions and fundamental sequence system for ordinals beyond BHO.

FS #1

0

φ01(0) = φ12(0) = φ23(0) = φ34(0) = φ45(0) = ... = 1

2

3

4

5

6

7

...

FS #2

φ02(0) = φ01(φ12(0)) = φ01(1) = φ01(φ01(0)) = ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

ω + 4

ω + 5

ω + 6

ω + 7

...

FS #3

ω2

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

...

FS #4

φ01(2) = ω2

φ01(3) = ω3

φ01(4) = ω4

φ01(5) = ω5

φ01(6) = ω6

φ01(7) = ω7

φ01(8) = ω8

...

FS #5

φ01(φ01(1)) = φ01(φ01(φ01(0))) = ωω

φ01(φ01(φ01(1))) = φ01(φ01(φ01(φ01(0)))) = ωω ω

φ01(φ01(φ01(φ01(1)))) = φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(0))))) = ωω ω ω

φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(1))))) = φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(0)))))) = ωω ω ω ω

φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(1)))))) = φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(0))))))) = ωω ω ω ω ω

φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(1))))))) = φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(0)))))))) = ωω ω ω ω ω ω

φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(1)))))))) = φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(φ01(0))))))))) = ωω ω ω ω ω ω ω

...

FS #6

φ03(0) = φ01(φ12(φ23(0))) = φ02(φ23(0)) = φ02(1) = φ01(φ12(1)) = φ01(Ω) = φ01(φ12(φ12(0))) = φ(1, 0) = ε0

ε0 + 1

ε0 + 2

ε0 + 3

ε0 + 4

ε0 + 5

ε0 + 6

ε0 + 7

...

FS #7

ε0 + ω

ε0 + ωω

ε0 + ωω ω

ε0 + ωω ω ω

ε0 + ωω ω ω ω

ε0 + ωω ω ω ω ω

ε0 + ωω ω ω ω ω ω

...

FS #8

ε02

ε03

ε04

ε05

ε06

ε07

ε08

...

FS #9

ωε0 + 1

ωω ε0 + 1

ωω ω ε0 + 1

ωω ω ω ε0 + 1

ωω ω ω ω ε0 + 1

ωω ω ω ω ω ε0 + 1

ωω ω ω ω ω ω ε0 + 1

...

FS #10

φ01(Ω + 1) = ε1

φ01(Ω + 2) = ε2

φ01(Ω + 3) = ε3

φ01(Ω + 4) = ε4

φ01(Ω + 5) = ε5

φ01(Ω + 6) = ε6

φ01(Ω + 7) = ε7

...

FS #11

φ01(Ω + ω) = εω

φ01(Ω + ωω) = εωω

φ01(Ω + ωω ω ) = εωω ω

φ01(Ω + ωω ω ω ) = εωω ω ω

φ01(Ω + ωω ω ω ω  ) = εωω ω ω ω

φ01(Ω + ωω ω ω ω ω   ) = εωω ω ω ω ω

φ01(Ω + ωω ω ω ω ω ω    ) = εωω ω ω ω ω ω

...

FS #12

φ01(Ω + ε0) = εε 0

φ01(Ω + εε 0 ) = εε ε 0

φ01(Ω + εε ε 0 ) = εε ε ε 0

φ01(Ω + εε ε ε 0  ) = εε ε ε ε 0

φ01(Ω + εε ε ε ε 0   ) = εε ε ε ε ε 0

φ01(Ω + εε ε ε ε ε 0    ) = εε ε ε ε ε ε 0

φ01(Ω + εε ε ε ε ε ε 0     ) = εε ε ε ε ε ε ε 0

...

FS #13

φ01(Ω2) = φ(2, 0) = ζ0

φ01(Ω3) = φ(3, 0) = η0

φ01(Ω4) = φ(4, 0)

φ01(Ω5) = φ(5, 0)

φ01(Ω6) = φ(6, 0)

φ01(Ω7) = φ(7, 0)

φ01(Ω8) = φ(8, 0)

...

FS #14

φ01(Ωω) = φ(ω, 0)

φ01(Ωωω) = φ(ωω, 0)

φ01(Ωωω ω ) = φ(ωω ω, 0)

φ01(Ωωω ω ω ) = φ(ωω ω ω , 0)

φ01(Ωωω ω ω ω  ) = φ(ωω ω ω ω  , 0)

φ01(Ωωω ω ω ω ω   ) = φ(ωω ω ω ω ω   , 0)

φ01(Ωωω ω ω ω ω ω    ) = φ(ωω ω ω ω ω ω    , 0)

...

FS #15

φ01(Ωε0) = φ(ε0, 0)

φ01(Ωφ01(Ωε0)) = φ(φ(ε0, 0), 0)

φ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωε0))) = φ(φ(φ(ε0, 0), 0), 0)

φ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωε0)))) = φ(φ(φ(φ(ε0, 0), 0), 0), 0)

φ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωε0))))) = φ(φ(φ(φ(φ(ε0, 0), 0), 0), 0), 0)

φ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωε0)))))) = φ(φ(φ(φ(φ(φ(ε0, 0), 0), 0), 0), 0), 0)

φ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωφ01(Ωε0))))))) = φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ(ε0, 0), 0), 0), 0), 0), 0), 0)

...

FS #16

φ02(2) = φ01(φ12(2)) = φ01(Ω2) = φ(1, 0, 0) = Γ0

φ02(3) = φ01(φ12(3)) = φ01(Ω3) = φ(1, 0, 0, 0)

φ02(4) = φ01(φ12(4)) = φ01(Ω4) = φ(1, 0, 0, 0, 0)

φ02(5) = φ01(φ12(5)) = φ01(Ω5) = φ(1, 0, 0, 0, 0, 0)

φ02(6) = φ01(φ12(6)) = φ01(Ω6) = φ(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

φ02(7) = φ01(φ12(7)) = φ01(Ω7) = φ(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

φ02(8) = φ01(φ12(8)) = φ01(Ω8) = φ(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

...

FS #17

φ02(ω) = φ01(φ12(ω)) = φ01(Ωω) = SVO

φ02(φ02(ω)) = φ01(Ωφ 01(Ωω) )

φ02(φ02(φ02(ω))) = φ01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωω) ) )

φ02(φ02(φ02(φ02(ω)))) = φ01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωω) ) ) )

φ02(φ02(φ02(φ02(φ02(ω))))) = φ01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωω) ) ) ) )

φ02(φ02(φ02(φ02(φ02(φ02(ω)))))) = φ01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωω) ) ) ) ) )

φ02(φ02(φ02(φ02(φ02(φ02(φ02(ω))))))) = φ01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωφ 01(Ωω) ) ) ) ) ) )

...

FS #18

φ02(Ω) = φ02(φ12(1)) = φ01(φ12(φ12(1))) = φ01(φ12(φ12(φ12(0)))) = φ01(ΩΩ) = LVO

φ02(ΩΩ) = φ02(φ12(φ12(1))) = φ01(φ12(φ12(φ12(1)))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(0))))) = φ01(ΩΩ Ω )

φ02(ΩΩ Ω ) = φ02(φ12(φ12(φ12(1)))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(1))))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(0)))))) = φ01(ΩΩ Ω Ω )

φ02(ΩΩ Ω Ω ) = φ02(φ12(φ12(φ12(φ12(1))))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(1)))))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(0))))))) = φ01(ΩΩ Ω Ω Ω   )

φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  ) = φ02(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(1)))))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(1))))))) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(0)))))))) = φ01(ΩΩ Ω Ω Ω Ω    )

...

FS #19

φ04(0) = φ01(φ12(φ23(φ34(0)))) = φ01(φ12(φ23(1))) = φ01(φ12(Ω2)) = φ02(Ω2) = BHO

φ04(0) + 1

φ04(0) + 2

φ04(0) + 3

φ04(0) + 4

φ04(0) + 5

φ04(0) + 6

φ04(0) + 7

...

FS #20

φ04(0) + φ01(φ12(0)) = φ04(0) + ω

φ04(0) + φ01(φ12(φ12(0))) = φ04(0) + ε0

φ04(0) + φ01(φ12(φ12(φ12(0)))) = φ04(0) + φ02(Ω)

φ04(0) + φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(0))))) = φ04(0) + φ02(ΩΩ)

φ04(0) + φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(0)))))) = φ04(0) + φ02(ΩΩ Ω )

φ04(0) + φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(0))))))) = φ04(0) + φ02(ΩΩ Ω Ω )

φ04(0) + φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(0)))))))) = φ04(0) + φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  )

...

FS #21

φ04(0)2

φ04(0)3

φ04(0)4

φ04(0)5

φ04(0)6

φ04(0)7

...

FS #22

ωφ 04(0) + 1

ωω φ 04(0) + 1

ωω ω φ 04(0) + 1

ωω ω ω φ 04(0) + 1

ωω ω ω ω φ 04(0) + 1

ωω ω ω ω ω φ 04(0) + 1

ωω ω ω ω ω ω φ 04(0) + 1

...

FS #23

φ01(Ω + φ04(0) + 1)

φ01(ΩΩ + φ04(0) + 1)

φ01(ΩΩ Ω + φ04(0) + 1)

φ01(ΩΩ Ω Ω + φ04(0) + 1)

φ01(ΩΩ Ω Ω Ω  + φ04(0) + 1)

φ01(ΩΩ Ω Ω Ω Ω   + φ04(0) + 1)

φ01(ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω    + φ04(0) + 1)

...

FS #24

φ01(φ12(Ω2) + 1)

φ01(φ12(Ω2) + 2)

φ01(φ12(Ω2) + 3)

φ01(φ12(Ω2) + 4)

φ01(φ12(Ω2) + 5)

φ01(φ12(Ω2) + 6)

φ01(φ12(Ω2) + 7)

...

FS #25

φ01(φ12(Ω2) + ω)

φ01(φ12(Ω2) + ε0)

φ01(φ12(Ω2) + φ02(Ω))

φ01(φ12(Ω2) + φ02(ΩΩ))

φ01(φ12(Ω2) + φ02(ΩΩ Ω ))

φ01(φ12(Ω2) + φ02(ΩΩ Ω Ω ))

φ01(φ12(Ω2) + φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  ))

...

FS #26

φ01(φ12(Ω2) + φ04(0))

φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ04(0)))

φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ04(0))))

φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ04(0)))))

φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ04(0))))))

φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ04(0)))))))

φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ01(φ12(Ω2) + φ04(0))))))))

...

FS #27

φ01(φ12(Ω2) + Ω)

φ01(φ12(Ω2) + ΩΩ)

φ01(φ12(Ω2) + ΩΩ Ω )

φ01(φ12(Ω2) + ΩΩ Ω Ω )

φ01(φ12(Ω2) + ΩΩ Ω Ω Ω  )

φ01(φ12(Ω2) + ΩΩ Ω Ω Ω Ω   )

φ01(φ12(Ω2) + ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω    )

...

FS #28

φ01(φ12(Ω2)2)

φ01(φ12(Ω2)3)

φ01(φ12(Ω2)4)

φ01(φ12(Ω2)5)

φ01(φ12(Ω2)6)

φ01(φ12(Ω2)7)

φ01(φ12(Ω2)8)

...

FS #29

φ01(φ12(Ω2)ω)

φ01(φ12(Ω2)ε0)

φ01(φ12(Ω2)φ02(Ω))

φ01(φ12(Ω2)φ02(ΩΩ))

φ01(φ12(Ω2)φ02(ΩΩ Ω ))

φ01(φ12(Ω2)φ02(ΩΩ Ω Ω ))

φ01(φ12(Ω2)φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  ))

...

FS #30

φ01(φ12(Ω2)φ04(0))

φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ04(0)))

φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ04(0))))

φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ04(0)))))

φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ04(0))))))

φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ04(0)))))))

φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ01(φ12(Ω2)φ04(0))))))))

...

FS #31

φ01(Ωφ 12(Ω2) + 1 ) = φ01(φ12(φ12(Ω2) + 1)) = φ02(φ12(Ω2) + 1)

φ01(ΩΩ φ 12(Ω2) + 1 ) = φ01(φ12(φ12(φ12(Ω2) + 1))) = φ02(Ωφ 12(Ω2) + 1 )

φ01(ΩΩ Ω φ 12(Ω2) + 1  ) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(Ω2) + 1)))) = φ02(ΩΩ φ 12(Ω2) + 1  )

φ01(ΩΩ Ω Ω φ 12(Ω2) + 1   ) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(Ω2) + 1))))) = φ02(ΩΩ Ω φ 12(Ω2) + 1   )

φ01(ΩΩ Ω Ω Ω φ 12(Ω2) + 1    ) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(Ω2) + 1)))))) = φ02(ΩΩ Ω Ω φ 12(Ω2) + 1    )

φ01(ΩΩ Ω Ω Ω Ω φ 12(Ω2) + 1     ) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(Ω2) + 1))))))) = φ02(ΩΩ Ω Ω Ω φ 12(Ω2) + 1     )

φ01(ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω φ 12(Ω2) + 1      ) = φ01(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(φ12(Ω2) + 1)))))))) = φ02(ΩΩ Ω Ω Ω Ω φ 12(Ω2) + 1      )

...

FS #32

φ02(Ω2 + 1)

φ02(Ω2 + 2)

φ02(Ω2 + 3)

φ02(Ω2 + 4)

φ02(Ω2 + 5)

φ02(Ω2 + 6)

φ02(Ω2 + 7)

...

FS #33

φ02(Ω2 + ω)

φ02(Ω2 + ε0)

φ02(Ω2 + φ02(Ω))

φ02(Ω2 + φ02(ΩΩ))

φ02(Ω2 + φ02(ΩΩ Ω ))

φ02(Ω2 + φ02(ΩΩ Ω Ω ))

φ02(Ω2 + φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  ))

...

FS #34

φ02(Ω2 + φ04(0))

φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ04(0)))

φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ04(0))))

φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ04(0)))))

φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ04(0))))))

φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ04(0)))))))

φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ02(Ω2 + φ04(0))))))))

...

FS #35

φ02(Ω2 + Ω)

φ02(Ω2 + ΩΩ)

φ02(Ω2 + ΩΩ Ω )

φ02(Ω2 + ΩΩ Ω Ω )

φ02(Ω2 + ΩΩ Ω Ω Ω  )

φ02(Ω2 + ΩΩ Ω Ω Ω Ω   )

φ02(Ω2 + ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω    )

...

FS #36

φ02(Ω2 + φ12(Ω2)) = φ01(φ12(Ω2 + φ12(Ω2)))

φ02(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2)))

φ02(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2))))

φ02(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2)))))

φ02(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2))))))

φ02(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2)))))))

φ02(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2 + φ12(Ω2))))))))

...

FS #37

φ02(Ω22)

φ02(Ω23)

φ02(Ω24)

φ02(Ω25)

φ02(Ω26)

φ02(Ω27)

φ02(Ω28)

...

FS #38

φ02(Ω2ω)

φ02(Ω2ε0)

φ02(Ω2φ02(Ω))

φ02(Ω2φ02(ΩΩ))

φ02(Ω2φ02(ΩΩ Ω ))

φ02(Ω2φ02(ΩΩ Ω Ω ))

φ02(Ω2φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  ))

...

FS #39

φ02(Ω2φ04(0))

φ02(Ω2φ02(Ω2φ04(0)))

φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ04(0))))

φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ04(0)))))

φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ04(0))))))

φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ04(0)))))))

φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ02(Ω2φ04(0))))))))

...

FS #40

φ02(Ω2Ω)

φ02(Ω2ΩΩ)

φ02(Ω2ΩΩ Ω )

φ02(Ω2ΩΩ Ω Ω )

φ02(Ω2ΩΩ Ω Ω Ω  )

φ02(Ω2ΩΩ Ω Ω Ω Ω   )

φ02(Ω2ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω    )

...

FS #41

φ02(Ω2φ12(Ω2)) = φ01(φ12(Ω2φ12(Ω2)))

φ02(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2)))

φ02(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2))))

φ02(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2)))))

φ02(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2))))))

φ02(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2)))))))

φ02(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2φ12(Ω2))))))))

...

FS #42

φ03(2) = φ02(Ω22)

φ03(3) = φ02(Ω23)

φ03(4) = φ02(Ω24)

φ03(5) = φ02(Ω25)

φ03(6) = φ02(Ω26)

φ03(7) = φ02(Ω27)

φ03(8) = φ02(Ω28)

...

FS #43

φ03(ω) = φ02(Ω2ω)

φ03(ε0) = φ02(Ω2ε0)

φ03(φ02(Ω)) = φ02(Ω2φ 02(Ω) )

φ03(φ02(ΩΩ)) = φ02(Ω2φ 02(ΩΩ) )

φ03(φ02(ΩΩ Ω )) = φ02(Ω2φ 02(ΩΩ Ω ) )

φ03(φ02(ΩΩ Ω Ω )) = φ02(Ω2φ 02(ΩΩ Ω Ω  ) )

φ03(φ02(ΩΩ Ω Ω Ω  )) = φ02(Ω2φ 02(ΩΩ Ω Ω Ω   ) )

...

FS #44

φ03(φ04(0)) = φ02(Ω2φ 04(0) )

φ03(φ02(Ω2φ 04(0) )) = φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) )

φ03(φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) )) = φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) )

φ03(φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) )) = φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) )

φ03(φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) )) = φ02(Ω2 φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) ) )

φ03(φ02(Ω2 φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) ) )) = φ02(Ω2φ 02(Ω2 φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) ) ) )

φ03(φ02(Ω2φ 02(Ω2 φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) ) ) )) = φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2 φ02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 02(Ω2φ 04(0) ) ) ) ) ) ) )

...

FS #45

φ03(Ω) = φ02(Ω2Ω)

φ03(ΩΩ) = φ02(Ω2Ω Ω )

φ03(ΩΩ Ω ) = φ02(Ω2Ω Ω Ω )

φ03(ΩΩ Ω Ω ) = φ02(Ω2Ω Ω Ω Ω   )

φ03(ΩΩ Ω Ω Ω  ) = φ02(Ω2Ω Ω Ω Ω Ω    )

φ03(ΩΩ Ω Ω Ω Ω   ) = φ02(Ω2Ω Ω Ω Ω Ω Ω     )

φ03(ΩΩ Ω Ω Ω Ω Ω    ) = φ02(Ω2Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω      )

...

FS #46

φ03(φ12(Ω2)) = φ02(Ω2φ 12(Ω2) )

φ03(φ12(Ω2φ 12(Ω2) )) = φ02(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) )

φ03(φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) )) = φ02(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) )

φ03(φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) )) = φ02(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) )

φ03(φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) )) = φ02(Ω2 φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) ) )

φ03(φ12(Ω2 φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) ) )) = φ02(Ω2φ 12(Ω2 φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) ) ) )

φ03(φ12(Ω2φ 12(Ω2 φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) ) ) )) = φ02(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2 φ12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2φ 12(Ω2) ) ) ) ) ) ) )

...

FS #47

φ03(Ω2) = φ02(Ω2Ω2)

φ03(Ω2Ω2) = φ02(Ω2Ω2 Ω2 )

φ03(Ω2Ω2 Ω2 ) = φ02(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 )

φ03(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 ) = φ02(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2   )

φ03(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2  ) = φ02(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2    )

φ03(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2   ) = φ02(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2     )

φ03(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2    ) = φ02(Ω2Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2 Ω2      )

...

FS #48

φ05(0)

φ06(0)

φ07(0)

φ08(0)

φ09(0)

φ010(0)

φ011(0)

...

FS #49

φ0ω(0)

φ0ω(0) + 1

φ0ω(0) + 2

φ0ω(0) + 3

φ0ω(0) + 4

φ0ω(0) + 5

φ0ω(0) + 6

...

FS #49

φ0ω(0) + φ02(0) = φ0ω(0) + ω

φ0ω(0) + φ03(0) = φ0ω(0) + ε0

φ0ω(0) + φ04(0)

φ0ω(0) + φ05(0)

φ0ω(0) + φ06(0)

φ0ω(0) + φ07(0)

φ0ω(0) + φ08(0)

...

FS #50

φ0ω(0)2

φ0ω(0)3

φ0ω(0)4

φ0ω(0)5

φ0ω(0)6

φ0ω(0)7

φ0ω(0)8

...

FS #51

φ01(φ13(0) + φ0ω(0) + 1) = φ01(Ω + φ0ω(0) + 1)

φ01(φ14(0) + φ0ω(0) + 1)

φ01(φ15(0) + φ0ω(0) + 1)

φ01(φ16(0) + φ0ω(0) + 1)

φ01(φ17(0) + φ0ω(0) + 1)

φ01(φ18(0) + φ0ω(0) + 1)

φ01(φ19(0) + φ0ω(0) + 1)

...

FS #52

φ0ω(1) = φ0ω(φωω + 1(0)) = φ0ω + 1(0)

φ0ω(2)

φ0ω(3)

φ0ω(4)

φ0ω(5)

φ0ω(6)

φ0ω(7)

...

FS #53

φ0ω(φ02(0)) = φ0ω(ω)

φ0ω(φ03(0)) = φ0ω(ε0)

φ0ω(φ04(0))

φ0ω(φ05(0))

φ0ω(φ06(0))

φ0ω(φ07(0))

φ0ω(φ08(0))

...

FS #54

φ0ω(φ0ω(0))

φ0ω(φ0ω(φ0ω(0)))

φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(0))))

φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(0)))))

φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(0))))))

φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(0)))))))

φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(φ0ω(0))))))))

...

FS #55

φ0ω(Ω)

φ0ω(Ω2)

φ0ω(Ω3)

φ0ω(Ω4)

φ0ω(Ω5)

φ0ω(Ω6)

φ0ω(Ω7)

...

FS #56

φ0ω(Ωω) = φ0ω(φωω + 1(1)) = φ0ω + 1(1) = φ0ω(φωω + 1(φω + 1ω + 2(0))) = φ0ω + 2(0)

φ0ω(ΩωΩω)

φ0ω(ΩωΩω Ωω )

φ0ω(ΩωΩω Ωω Ωω )

φ0ω(ΩωΩω Ωω Ωω Ωω  )

φ0ω(ΩωΩω Ωω Ωω Ωω Ωω   )

φ0ω(ΩωΩω Ωω Ωω Ωω Ωω Ωω    )

...

FS #57

φ0ω(φωω + 1(Ωω + 1)) = φ0ω(φωω + 1(φω + 1ω + 2(1))) = φ0ω(φωω + 1(φω + 1ω + 2(φω + 2ω + 3(0)))) = φ0ω + 3(0) = TFB?

φ0ω + 4(0)

φ0ω + 5(0)

φ0ω + 6(0)

φ0ω + 7(0)

φ0ω + 8(0)

φ0ω + 9(0)

...

FS #58

φ0ω2(0)

φ0ω3(0)

φ0ω4(0)

φ0ω5(0)

φ0ω6(0)

φ0ω7(0)

φ0ω8(0)

...

FS #58

φ0ω2(0)

φ0ω3(0)

φ0ω4(0)

φ0ω5(0)

φ0ω6(0)

φ0ω7(0)

φ0ω8(0)

...

FS #58

φ0ωω(0)

φ0ωω ω(0)

φ0ωω ω ω(0)

φ0ωω ω ω ω(0)

φ0ωω ω ω ω ω(0)

φ0ωω ω ω ω ω ω(0)

φ0ωω ω ω ω ω ω ω(0)

...

FS #59

φ0φ0 3(0) (0) = φ0ε 0 (0)

φ0φ0 4(0) (0)

φ0φ0 5(0) (0)

φ0φ0 6(0) (0)

φ0φ0 7(0) (0)

φ0φ0 8(0) (0)

φ0φ0 9(0) (0)

...

FS #60

φ0φ0 ω(0) (0)

φ0φ0 φ0 ω(0) (0) (0)

φ0φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0)

φ0φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0)

φ0φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0)

φ0φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

φ0φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

...

FS #61

φ0Ω(0)

φ0Ω 2 (0)

φ0Ω 3 (0)

φ0Ω 4 (0)

φ0Ω 5 (0)

φ0Ω 6 (0)

φ0Ω 7 (0)

...

FS #62

φ0Ω φ0 2(0) (0) = φ0Ω ω (0)

φ0Ω φ0 3(0) (0) = φ0Ω ε 0  (0)

φ0Ω φ0 4(0) (0)

φ0Ω φ0 5(0) (0)

φ0Ω φ0 6(0) (0)

φ0Ω φ0 7(0) (0)

φ0Ω φ0 8(0) (0)

...

FS #63

φ0Ω φ0 φ0 2(0) (0) (0) = φ0Ω φ0 ω(0)  (0)

φ0Ω φ0 φ0 3(0) (0) (0) = φ0Ω φ0 ε 0 (0)  (0)

φ0Ω φ0 φ0 4(0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 5(0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 6(0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 7(0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 8(0) (0) (0)

...

FS #64

φ0Ω φ0 φ0 ω(0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

φ0Ω φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 φ0 ω(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

...

FS #65

φ0Ω φ0 Ω(0) (0)

φ0 Ω φ0Ω φ0 Ω(0) (0)  (0)

φ0 Ω φ0 Ω φ0Ω φ0 Ω(0) (0)  (0)  (0)

φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0Ω φ0 Ω(0) (0)  (0)  (0)  (0)

φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0Ω φ0 Ω(0) (0)  (0)  (0)  (0)  (0)

φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0Ω φ0 Ω(0) (0)  (0)  (0)  (0)  (0)  (0)

φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0 Ω φ0Ω φ0 Ω(0) (0)  (0)  (0)  (0)  (0)  (0)  (0)

...

FS #66

φ0Ω Ω (0)

φ0Ω Ω Ω (0)

φ0Ω Ω Ω Ω  (0)

φ0Ω Ω Ω Ω Ω   (0)

φ0Ω Ω Ω Ω Ω Ω    (0)

φ0Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω     (0)

φ0Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω      (0)

...

Currently I do not know, is TFB φ0ω + 3(0), because I still do not understand OCF's, and I can't check it. TFB also may be φ0ω + 2(0) or φ0ω + 1(0).