User:Hyp cos/Taranovsky's various ordinal notations/Π11-TR0

Up to \(\varepsilon_0\)
Up to \(\varepsilon_0\), BP only use C0(a,b), while other systems do not use Ω or Ωn. It turns out that systems except BP use identical terms for one ordinal. The shared property \(a\le C(a,b)\rightarrow C(a,b)=b+\omega^a\) apply on every term in this range.
 * 1) \(0\) is 0 in all systems
 * 2) \(1\)
 * 3) *BP: C0(0,0)
 * 4) *Others: C(0,0)
 * 5) \(2\)
 * 6) *BP: C0(0,C0(0,0))
 * 7) *Others: C(0,C(0,0))
 * 8) \(3\)
 * 9) *BP: C0(0,C0(0,C0(0,0)))
 * 10) *Others: C(0,C(0,C(0,0)))
 * 11) \(n\)
 * 12) *BP: C0(0,n-1)
 * 13) *Others: C(0,n-1)
 * 14) \(\omega\)
 * 15) *BP: C0(1,0) = C0(C0(0,0),0)
 * 16) *Others: C(1,0) = C(C(0,0),0)
 * 17) \(\omega+1\)
 * 18) *BP: C0(0,C0(1,0))
 * 19) *Others: C(0,C(1,0))
 * 20) \(\omega+2\)
 * 21) *BP: C0(0,C0(0,C0(1,0)))
 * 22) *Others: C(0,C(0,C(1,0)))
 * 23) \(\omega+n\)
 * 24) *BP: C0(0,\(\omega+(n-1)\))
 * 25) *Others: C(0,\(\omega+(n-1)\))
 * 26) \(\omega\cdot2\)
 * 27) *BP: C0(1,C0(1,0))
 * 28) *Others: C(1,C(1,0))
 * 29) \(\omega\cdot2+1\)
 * 30) *BP: C0(0,C0(1,C0(1,0)))
 * 31) *Others: C(0,C(1,C(1,0)))
 * 32) \(\omega\cdot3\)
 * 33) *BP: C0(1,C0(1,C0(1,0)))
 * 34) *Others: C(1,C(1,C(1,0)))
 * 35) \(\omega\cdot n\)
 * 36) *BP: C0(1,\(\omega\cdot(n-1)\))
 * 37) *Others: C(1,\(\omega\cdot(n-1)\))
 * 38) \(\omega^2\)
 * 39) *BP: C0(2,0)
 * 40) *Others: C(2,0)
 * 41) \(\omega^2+1\)
 * 42) *BP: C0(0,C0(2,0))
 * 43) *Others: C(0,C(2,0))
 * 44) \(\omega^2+2\)
 * 45) *BP: C0(0,C0(0,C0(2,0)))
 * 46) *Others: C(0,C(0,C(2,0)))
 * 47) \(\omega^2+\omega\)
 * 48) *BP: C0(1,C0(2,0))
 * 49) *Others: C(1,C(2,0))
 * 50) \(\omega^2+\omega+1\)
 * 51) *BP: C0(0,C0(1,C0(2,0)))
 * 52) *Others: C(0,C(1,C(2,0)))
 * 53) \(\omega^2+\omega\cdot2\)
 * 54) *BP: C0(1,C0(1,C0(2,0)))
 * 55) *Others: C(1,C(1,C(2,0)))
 * 56) \(\omega^2\cdot2\)
 * 57) *BP: C0(2,C0(2,0))
 * 58) *Others: C(2,C(2,0))
 * 59) \(\omega^3\)
 * 60) *BP: C0(3,0)
 * 61) *Others: C(3,0)
 * 62) \(\omega^4\)
 * 63) *BP: C0(4,0)
 * 64) *Others: C(4,0)
 * 65) \(\omega^k\cdot n_k+\omega^{k-1}\cdot n_{k-1}+\cdots+\omega\cdot n_1+n_0\)
 * 66) *BP: \(\underbrace{C_0(0,\cdots C_0(0,}_{n_0}\underbrace{C_0(1,\cdots C_0(1,}_{n_1}\cdots\underbrace{C_0(k-1,\cdots C_0(k-1,}_{n_{k-1}}\underbrace{C_0(k,\cdots C_0(k,}_{n_k}0)\cdots))\cdots)\cdots)\cdots))\cdots)\)
 * 67) *Others: \(\underbrace{C(0,\cdots C(0,}_{n_0}\underbrace{C(1,\cdots C(1,}_{n_1}\cdots\underbrace{C(k-1,\cdots C(k-1,}_{n_{k-1}}\underbrace{C(k,\cdots C(k,}_{n_k}0)\cdots))\cdots)\cdots)\cdots))\cdots)\)
 * 68) \(\omega^\omega\)
 * 69) *BP: C0(ω,0) = C0(C0(C0(0,0),0),0)
 * 70) *Others: C(ω,0) = C(C(C(0,0),0),0)