User blog:Kyodaisuu/Classifying numbers with ordinals

Introduction
Robert Munafo classified natural numbers with classes. This method is useful for classifying large numbers of tetration level, but it is not useful for classifying numbers such as Graham's number.

Therefore in googology we classify functions which define large numbers. For example, in, an infinite set of functions \(E_i\) for some natural number \(i\) is introduced, and the n-th hierarchy \(\mathcal{E}^n\) which containes certain classes of functions are defined. The set has hierarchy structure such that

\[ \mathcal{E}^0 \subseteq \mathcal{E}^1 \subseteq \mathcal{E}^2 \subseteq \cdots\]

By extending this definition to ordinal, fast-growing hierarchy (FGH) is defined. FGH defined in googology wiki is


 * \(f_0(n) = n + 1\)
 * \(f_{\alpha+1}(n) = f^n_\alpha(n)\), where \(f^n\) denotes function iteration
 * \(f_\alpha(n) = f_{\alpha[n]}(n)\) if and only if \(\alpha\) is a limit ordinal

A fast-growing hierarchy consists of an ordinal \(\mu\) and a fundamental sequence system \(S: \mu \cap \text{Lim} \rightarrow (\mathbb{Z}_0 \rightarrow \mu)\), where \(S(\alpha)(n)\) is denoted \(\alpha[n]\). The semantics are as follows:

where \(\alpha[n]\) is the n-th ordinal of fundamental sequence for limit ordinal \(\alpha\). This definition defines a function \(f_\alpha\) to an ordinal \(\alpha\). Actually FGH is also called extended Grzegorczyk hierarchy, which defines a set of functions in the hierarchy of \(\alpha\), \(\mathcal{E}^\alpha\). The definition of FGH in the googology wiki is considered as extracting an example of functions which belong to the set of function in the hierarchy.

As the function can be strictly classified with the extended Grzegorczyk hierarchy, the Graham's number can be expressed as "a large number defined with a Graham function which belongs to the \(\omega+1\) level of hierarchy". This expression is a bit lengthy, and I want to express that a certain number belongs to a certain hierarchy, such as "Graham's number is in the \(\omega+1\) level of hierarchy". In this article, I propose a method to classify the numbers with hierarchy using FGH.

Goal
For an ordinal \(\alpha\), I want to define a set of natural numbers \(\mathcal{E}^{\alpha}\) so that

\[ \alpha < \beta \Rightarrow \mathcal{E}^\alpha <  \mathcal{E}^\beta \]

However, it is impossible. Therefore I set the goal as

A number \(n\) belongs to the class of an ordinal \(\alpha = C(n)\), and \( C(m) < C(n) \Rightarrow m < n \)

(1) Set of ordinals for hierarchy
(Translation from Japanese blog post is in progress)

極限順序数 \(\gamma\) 以下のすべての極限順序数 \(\beta\) に対して、基本列 \(\beta[n]\) が一意に定められているとする. すると、\(\gamma\) 以下のすべての順序数 \(\alpha\) に対して、急増加関数 \(f_{\alpha}\) が一意に定まる.

集合\(A\)を以下で定義する.


 * 1) \(\gamma \in A\)
 * 2) \(\beta \in A\) かつ \(\beta\) が極限順序数ならば \(\beta[0],\ldots,\beta[99] \in A\)
 * 3) 1と2によって\(A\)の元となるもの以外は\(A\)の元ではない

ここで、2において基本列を99番目までとしているため、\(A\)は有限集合となる（証明はコメント参照）.

(2) Limit function
\(\alpha \in A\) を定義域とする限界関数 \(L(\alpha)\) を、上記の急増加関数を使って

\[L(\alpha) = f_{\alpha}^6(100) \]

で定義する.

\(\alpha, \beta \in A\) に対して \(\alpha < \beta \Rightarrow L(\alpha) < L(\beta)\) となる（補足参照）.

(3) Classifying function
\(L(\gamma)\) 以下の自然数 \(n\) を定義域とするクラス分け関数 \(C(n)\) を、

\(n \le L(\alpha)\)

を満たすような最小の\(\alpha\)に対して

\(C(n) = \alpha\)

で定義する. \(n\) はクラス \(C(n)\) の数である.

補足
限界関数の定め方で

\[L(\alpha) = f_{\alpha}^6(100) \]

という関数の選び方は任意である. 一意にクラス分けできればなんでも良い. これは、ロバート・ムナフォの自然数のクラス分けと同じである. 気持ちとしては「FGHで\(\alpha\)の関数を使って簡便に近似できるような巨大数」の上限をどのように定めるか、というところにある. そこで、関数 \(f_\alpha\) を6回合成する程度の数を上限とした.

限界関数の定義域とする順序数を集合\(A\)、すなわち\(\gamma\)以下の順序数の一部に限定しているのは、\(\gamma\)以下の全ての順序数を定義域としてしまうと \(\alpha < \beta \Rightarrow L(\alpha) < L(\beta)\) が成立せずにクラス分けができなくなってしまうためである（たとえば \(\alpha = L(\omega)\) とすれば \(\alpha < \omega\) かつ \(L(\alpha) > L(\omega)\)）.

\(\alpha, \beta \in A\) に対して \(\alpha < \beta \Rightarrow L(\alpha) < L(\beta)\) の証明

\(A\)は有限集合なので、\(A\)の元を

\(\alpha_0 < \alpha_1 < ... < \alpha_N\)

とする. このとき、\(L(\alpha_n) < L(\alpha_{n+1})\) を示せば良い.

\(\alpha_{n+1}\)が後続順序数であれば

\(f_{\alpha_{n+1}}(n) = f_{\alpha_{n}+1}(n) = f_{\alpha_{n}}^n(n) > f_{\alpha_{n}}(n)\)

より、\(L(\alpha_n) < L(\alpha_{n+1})\)

\(\alpha_{n+1}\)が極限順序数であれば、\(\alpha_{n}=\alpha_{n+1}[99]\), \(f_{\alpha_{n+1}}(m)=f_{\alpha_{n+1}[m]}(m)\)より

\(L(\alpha_n) = f_{\alpha_{n+1}[99]}^6(100) < f_{\alpha_{n+1}}^6(100) = L(\alpha_{n+1})\)

Acknowledgement
集合\(A\)を定める方法については、ミカヅキモさんのこのブログへのコメントによる.

Examples
\(\gamma = \epsilon_0\) として、ワイナー階層を使う.


 * C(100) = 0
 * C(1000) = 1
 * C(Googolquadriplex) = 2
 * C(Tritri) = 3
 * C(Tritet) = 4
 * C(Moser's number) = \(\omega\)
 * C(Graham's number) = \(\omega + 1\)
 * C(Fish number 1) = \(\omega^2 + 1\)
 * C(Fish number 2) = \(\omega^3\)
 * COkojo-stoat number = \(\omega^\omega\)
 * C(Fish number 3) = \(\omega^{\omega+1} 63+1\)
 * C(Gongulus) = \(\omega^{\omega^{\omega}}\) (\(\omega^{\omega^{100}}\) は \(A\) に含まれない)

Limit function


 * L(0) = 106
 * L(1) = 6400
 * L(2) ≈ 10^10^10^10^10^10^31.5816 ≈ 10↑↑7.1759

Reference
ja:ユーザーブログ:Kyodaisuu/自然数の順序数によるクラス分け