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Fish number 6
Fish number 6 (F6) is a number defined by Japanese googologist Fish in 2007. It is largest of the computable Fish numbers.

Fish function 6 uses m(m,n) map.

Definition and growth rate of Fish function 6, \(F_6(x)\), is

\begin{eqnarray*} F_6(x) &:=& m(x,2)m(x,1)(x) \\ F_6(x) &\approx& f_{\zeta_0}(x) \end{eqnarray*}

Then Fish number 5 is defined as: \[F_6 := F_6^{63}(3)\]

Therefore, Fish number 5 is greater than Fish number 3 and is approximately \(f_{\zeta_0+1}(63)\).

m(m,n) map

 * name=m(m,n) map
 * base=\(f^x(x)\)
 * fgh=\zeta_0}}

m(m,n)変換は、ふぃっしゅ数バージョン6で定義されたm(n)変換を2変数に拡張した写像である. 増加速度は急成長階層で \f_{\zeta_0}(n) 程度である.

集合\(M[m,n] (m=0,1,...; n=1,2,...)\) を以下のように定める.


 * \(M[0,1]\)=自然数から自然数への関数
 * \(M[m+1,1]=M(m,n) (n=1,2,...)\) の元1個ずつを要素に持つ集合（選択公理による）
 * \(M[m,1]\)の元は、その要素の要素の…要素である \(M[0,1]\) の元と同じ関数の働きを持つ.
 * \(M[m,n+1]\) = 写像 \(M[m,n] \rightarrow M[m,n]\) 全体の集合 \((n=1,2,...)\)

\(M[m,n]\) の元 \(m(m,n)\) を以下のように定める. ただし、\(a_i, b_i,f_i\) は \(m(m,i)\)の元とし、厳密な定義の構造はm(n)変換と同じである.

\begin{eqnarray*} m(0,1) (x) & := & x+1 \\ m(m,n+1) f_n f_{n-1} ...f_1 (x) & := & {f_n}^x f_{n-1}... f_1 (x) \\ & & (m=0; n=1,2,... and m=1,2,...; n=2,3,…) \\ m(m+1,1) & := & [m(m,1),m(m,2),m(m,3),…] \\ m(m+1,2)[a_1,a_2,...] & := & [b_1,b_2,…] \text{の} b_n \text{を以下で定める. } \\ b_n f_{n-1}...f_1(x) & := & a_y a_{y-1}...a_n f_{n-1}…f_1(x) (y=max(x,n)) \end{eqnarray*}

以下のように計算される. \begin{eqnarray*} m(1,1)(x) & = & [m(0,1),m(0,2),m(0,3),…](x) \\ & = & m(0,1)(x) = x+1 \\ \end{eqnarray*} \(m(1,2) m(1,1) = [a_1,a_2,a_3,…]\) とすると \begin{eqnarray*} a_1(x) & = & m(0,x) m(0,x-1) … m(0,1) (x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0}(x) \\ \therefore m(1,2) m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_0}(x) \\ m(0,2) a_1(x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + 1}(x) \\ m(0,3) m(0,2) a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + \omega}(x) \\ m(0,4) m(0,3) m(0,2) a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + \omega^{\omega}}(x) \\ m(0,5) m(0,4) m(0,3) m(0,2) a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + \omega^{\omega^{\omega}}}(x) \\ a_2 a_1(x) & = & m(0,y) m(0,y-1) …m(0,2) a_1(x) (y=max(x,2)) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0 \times 2}(x) \\ \end{eqnarray*} となる. そして、 \begin{eqnarray*} m(0,3) a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 \times \omega}(x) \\ m(0,4) m(0,3) a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 \times \omega^{\omega}}(x) \\ m(0,5) m(0,4) m(0,3) a_2 a_1 (x) &\approx & f_{\varepsilon_0 \times \omega^{\omega^{\omega}}}(x) \\ a_3 a_2 a_1(x) & = & m(0,y) m(0,y-1) ... m(0,3) a_2 a_1 (x) (y=max(x,3)) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0 ^2}(x) \end{eqnarray*} 次に、\(a_4\)については、 \begin{eqnarray*} m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^\omega}(x) \\ m(0,5) m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\omega \times 2}}(x) \\ m(0,6) m(0,5) m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\omega ^ 2}}(x) \\ m(0,7) m(0,6) m(0,5) m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\omega^{\omega}}}(x) \\ a_4 a_3 a_2 a_1(x) & = & m_y m_{y-1}...m_4 a_3 a_2 a_1(x) (y=max(x,4)) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0}}(x) \end{eqnarray*} と計算され、以下同様に \begin{eqnarray*} a_5 a_4 a_3 a_2 a_1(x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}(x) \\ a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1(x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}(x) \\ \end{eqnarray*} と計算され、 \begin{eqnarray*} m(1,2)^2 m(1,1) (x) &=& m(1,2)[a_1,a_2,...](x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0^\omega}(x) \\ &=& f_{\varepsilon_1}(x) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m(1,2)^3 m(1,1)(x) = [b_1,b_2,b_3,...](x) \end{eqnarray*} とすると、\(b_i\) は上記 \(a_i\) の \(\varepsilon_0\) を \(\varepsilon_1\) に変えた式となる. したがって、 \begin{eqnarray*} m(1,2)^3 m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_2}(x) \\ m(1,2)^4 m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_3}(x) \\ m(1,2)^n m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_{n-1}}(x) \\ \end{eqnarray*} 以下は、\(m(n)\)変換の計算と同様の構造で、 \begin{eqnarray*} m(1,3) m(1,2) m(1,1) (x) & \approx &  f_{\varepsilon_\omega} \\ m(1,4) m(1,3) m(1,2) m(1,1) (x) & \approx &  f_{\varepsilon_{\omega^\omega}} \\ m(1,5) m(1,4) m(1,3) m(1,2) m(1,1) (x) & \approx &  f_{\varepsilon_{\omega^{\omega^\omega}}} \\ m(2,2) m(2,1) (x) &=& m(1,x) m(1,x-1) ... m(1,2) m(1,1) (x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} \\ \end{eqnarray*} となる. そして、 \begin{eqnarray*} m(2,2)^2 m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_1}}(x) \\ m(2,2)^3 m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_2}}(x) \\ m(2,2)^4 m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_3}}(x) \\ m(2,3) m(2,2) m(2,1) (x) & \approx &  f_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega}}(x) \\ m(3,2) m(3,1) (x) &=& m(2,x) m(2,x-1) ... m(2,2) m(2,1) (x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}(x) \end{eqnarray*} となる. すなわち、 \begin{eqnarray*} m(1,2) m(1,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_0} (x) \\ m(2,2) m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} (x) \\ m(3,2) m(3,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}} (x) \\ m(4,2) m(4,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} (x) \\ \end{eqnarray*} と計算が続き、

\[m(x,2)m(x,1)(x) \approx f_{\zeta_0}(x)\]

となる.